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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 9, 10, 5, 13, 2. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,8
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 18, 19, 9, 5. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 9, 10, 18, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 19 − 5 = 14
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 18, 18, 11, 9, 4. Team Süd: 7, 9, 14, 6, 4. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 4, 9, 11, 18, 18, Median 11
  2. Team Süd geordnet: 4, 6, 7, 9, 14, Median 7
  3. 11 ist mehr als 7.
  1. Team Nord geordnet: 4, 9, 11, 18, 18, Median 11
  2. Team Süd geordnet: 4, 6, 7, 9, 14, Median 7
  3. 11 ist mehr als 7.
Ergebnis:
Team Nord (Median 11 gegen 7)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 292, 298, 244, 324, 312. Team Süd: 305, 322, 313, 266, 249. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240250260270280290300310320330
    So fängst du an:
    Team Nord: 292 + 298 + 244 + 324 + 312 = 1470, 1470 : 5 = 294
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 292 + 298 + 244 + 324 + 312 = 1470, 1470 : 5 = 294
    2. Team Süd: 305 + 322 + 313 + 266 + 249 = 1455, 1455 : 5 = 291
    3. 294 ist mehr als 291.
    Ergebnis:
    Team Nord (294 cm gegen 291 cm)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 317, 333, 305, 274, 261. Gruppe Falken: 295, 344, 349, 259, 353. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 317 + 333 + 305 + 274 + 261 = 1490, 1490 : 5 = 298
    2. Gruppe Falken: 295 + 344 + 349 + 259 + 353 = 1600, 1600 : 5 = 320
    3. 320 − 298 = 22
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 22 cm
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 16, 17, 15, 28, 8, 18. Gruppe Falken: 25, 15, 27, 26, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 16 + 17 + 15 + 28 + 8 + 18 = 102, 102 : 6 = 17
    2. Gruppe Falken: 25 + 15 + 27 + 26 + 12 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 21 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (21 Punkte gegen 17 Punkte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 59, 24, 307, 33, 52. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 95 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 24, 33, 52, 59, 307
  2. Median: 52
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 307.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 24, 33, 52, 59, 307
  2. Median: 52
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 307.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 52 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 36, 6, 8, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte510152025303540
    So fängst du an:
    36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 248, 27, 24, 23, 18. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 340 : 5 = 68
    2. Geordnet: 18, 23, 24, 27, 248, Median 24
    3. Der Wert 248 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (24 statt 68)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 2, 5, 41, 3, 9. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 3, 5, 6, 9, 41
    2. Median: 5,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 29 min. Bekannt sind 45, 17, 11. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 29 = 116
  2. Summe der bekannten: 45 + 17 + 11 = 73
  3. 116 − 73 = 43
  1. Summe aller Werte: 4 · 29 = 116
  2. Summe der bekannten: 45 + 17 + 11 = 73
  3. 116 − 73 = 43
Ergebnis:
43 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 11 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 10, 10, 16, 6. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher681012141618?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
    2. Summe der bekannten: 10 + 10 + 16 + 6 = 42
    3. 55 − 42 = 13
    Ergebnis:
    13 Treffer
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 306 cm. Bekannt sind 315, 276, 369. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 306 = 1224
    2. Summe der bekannten: 315 + 276 + 369 = 960
    3. 1224 − 960 = 264
    Ergebnis:
    264 cm
  3. ★9
    Aylin möchte bei 6 Weitsprüngen im Mittel genau 298 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 268, 248, 306, 309, 272. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher240250260270280290300310320?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 298 = 1788
    2. Summe der bekannten: 268 + 248 + 306 + 309 + 272 = 1403
    3. 1788 − 1403 = 385
    Ergebnis:
    385 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 6 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 10 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A6 von 25B10 von 50
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 625 = 0,24
  2. Fußball-AG: 1050 = 0,2
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
  1. Theater-AG: 625 = 0,24
  2. Fußball-AG: 1050 = 0,2
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 28-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord16 von 20Team Süd28 von 50
    So fängst du an:
    Team Nord: 1620 = 0,8
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1620 = 0,8
    2. Team Süd: 2850 = 0,56
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A5 von 10B7 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 510 = 0,5
    2. Schule am See: 720 = 0,35
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 3 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 23 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6c kommen 30 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A3 von 10B23 von 50C30 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 310 = 0,3
    2. Klasse 6b: 2350 = 0,46
    3. Klasse 6c: 3040 = 0,75
    4. 0,75 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6c (0,75)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen7??Jungen131225gesamt?23?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 23 − 12 = 11
  2. Zeile Mädchen: 7 + 11 = 18
  3. Insgesamt: 18 + 25 = 43
  1. Spalte kein Frühstück: 23 − 12 = 11
  2. Zeile Mädchen: 7 + 11 = 18
  3. Insgesamt: 18 + 25 = 43
Ergebnis:
43

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen4?13Jungen15823gesamt191736
    So fängst du an:
    Zeile Mädchen: zusammen 13.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 13.
    2. 13 − 4 = 9
    3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 8 = 17
    Ergebnis:
    9
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen14418Jungen?315gesamt26733
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 15.
    2. 15 − 3 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 14 = 26
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 30 Kinder mit, davon sind 10 Kinder aus Klasse 5. 4 Kinder aus Klasse 5 und 14 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 30 − 10 = 20
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 20 − 14 = 6
    3. Kontrolle: 4 + 6 + 14 + 6 = 30
    Ergebnis:
    6

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer61937181
Schritt für Schritt
  1. 6 : 10 = 0,6
  2. 37 : 100 = 0,37
  3. 181 : 500 = 0,362
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 6 : 10 = 0,6
  2. 37 : 100 = 0,37
  3. 181 : 500 = 0,362
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,362

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer22133175
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 21 : 50 = 0,42
    Ergebnis:
    0,42
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer1818103
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 103 : 500 = 0,206
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,21.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,206
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer42281410
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 410 : 1000 = 0,41
    Ergebnis:
    0,41

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. 3 von 36, also 336 = 112
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
  1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
Ergebnis:
nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 33, 12, 18, 38, 19. Jungen: 12, 21, 6, 28, 28. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 33 + 12 + 18 + 38 + 19 = 120, 120 : 5 = 24
    2. Jungen: 12 + 21 + 6 + 28 + 28 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 24 − 19 = 5
    Ergebnis:
    Mädchen, um 5 Hundert Schritte
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 7, 13, 15, 7, 3. Team Süd: 10, 9, 10, 7, 9. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd246810121416
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 15 − 3 = 12
    2. Team Süd: 10 − 7 = 3
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 12)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 29, 20, 153, 20, 23. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte20406080100120140160
    Lösung zeigen
    1. 153 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 245 : 5 = 49
    3. Ohne ihn: 92 : 4 = 23
    Ergebnis:
    Ausreißer 153, Mittelwert 49 statt 23
  4. ●28
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 20 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 25, 13, 21, 25. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher121416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
    2. Summe der bekannten: 25 + 13 + 21 + 25 = 84
    3. 100 − 84 = 16
    Ergebnis:
    16 Punkte
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 10 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 22 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 20B22 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1020 = 0,5
    2. Klasse 6b: 2250 = 0,44
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 8 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 820
    2. Gekürzt: 820 = 25
    3. Als Dezimalzahl: 8 : 20 = 0,4
    Ergebnis:
    25 = 0,4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 16, 17, 16, 22, 19. Team Süd: 22, 23, 10, 23, 27. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 23 gegen 17)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 19, 21, 29, 23, 228. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 64 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 33 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 15, 41, 44, 42. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1520253035404550?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23 min

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 3-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 20 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord3 von 10Team Süd5 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 44 Kinder mit, davon sind 26 Kinder der Klasse 6a. 15 Kinder der Klasse 6a und 4 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer3111779
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,22

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (294 cm gegen 291 cm)
  2. Gruppe Falken, um 22 cm
  3. Gruppe Falken (21 Punkte gegen 17 Punkte)
  4. Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  5. Median (24 statt 68)
  6. Nein, der Median 5,5 passt besser
  7. 13 Treffer
  8. 264 cm
  9. 385 cm
  10. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  11. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  12. Klasse 6c (0,75)
  13. 9
  14. 12
  15. 6
  16. 0,42
  17. Nein, eher 0,206
  18. 0,41
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 5 Ergebnisse
  21. 2 Ergebnisse
  22. fair (15 zu 15)
  23. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. 2 Punkte
  25. Mädchen, um 5 Hundert Schritte
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 12)
  27. Ausreißer 153, Mittelwert 49 statt 23
  28. 16 Punkte
  29. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  30. 25 = 0,4
  31. Team Süd (Median 23 gegen 17)
  32. Nein, der Median 23 passt besser
  33. 23 min
  34. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  35. 14
  36. 0,22
  37. fair (18 zu 18)
  38. x̄ = 7,8
  39. Median 10; Spannweite 14