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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 15, 11, 9, 13, 14. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 12,4
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 9, 5, 15, 5, 7. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 5, 7, 9, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 15 − 5 = 10
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 38, 45, 21, 11, 55. Jungen: 45, 39, 42, 43, 11. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
MädchenJungen102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 38 + 45 + 21 + 11 + 55 = 170, 170 : 5 = 34
  2. Jungen: 45 + 39 + 42 + 43 + 11 = 180, 180 : 5 = 36
  3. 36 ist mehr als 34.
  1. Mädchen: 38 + 45 + 21 + 11 + 55 = 170, 170 : 5 = 34
  2. Jungen: 45 + 39 + 42 + 43 + 11 = 180, 180 : 5 = 36
  3. 36 ist mehr als 34.
Ergebnis:
Jungen (36 min gegen 34 min)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 8, 10, 8, 18, 6. Jungen: 12, 14, 13, 18, 3. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 6, 8, 8, 10, 18, Median 8
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 6, 8, 8, 10, 18, Median 8
    2. Jungen geordnet: 3, 12, 13, 14, 18, Median 13
    3. 13 ist mehr als 8.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 13 gegen 8)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 27, 7, 19, 34, 23. Jungen: 11, 32, 10, 40, 7. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 27 + 7 + 19 + 34 + 23 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Jungen: 11 + 32 + 10 + 40 + 7 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 22 − 20 = 2
    Ergebnis:
    Mädchen, um 2 Hundert Schritte
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 14, 30, 22, 21, 8. Gruppe Falken: 30, 12, 11, 19. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 14 + 30 + 22 + 21 + 8 = 95, 95 : 5 = 19
    2. Gruppe Falken: 30 + 12 + 11 + 19 = 72, 72 : 4 = 18
    3. 19 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (19 Punkte gegen 18 Punkte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 51, 32, 256, 47, 54. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 88 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 32, 47, 51, 54, 256
  2. Median: 51
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 256.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 32, 47, 51, 54, 256
  2. Median: 51
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 256.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 51 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 3, 35, 7, 3. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte05101520253035
    So fängst du an:
    Geordnet: 3, 3, 7, 7, 35
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 3, 7, 7, 35
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 35.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 7, 9, 5, 57, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 85 : 5 = 17
    2. Geordnet: 5, 7, 7, 9, 57, Median 7
    3. Der Wert 57 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 17)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 41, 6, 2, 8, 4, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 4, 5, 6, 8, 41
    2. Median: 5,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 21 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 21, 8, 26. Welches Ergebnis fehlt?
bisher5101520253035?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 21 = 84
  2. Summe der bekannten: 21 + 8 + 26 = 55
  3. 84 − 55 = 29
  1. Summe aller Werte: 4 · 21 = 84
  2. Summe der bekannten: 21 + 8 + 26 = 55
  3. 84 − 55 = 29
Ergebnis:
29 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 33 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 36, 15, 51. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher15202530354045505560?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
    2. Summe der bekannten: 36 + 15 + 51 = 102
    3. 132 − 102 = 30
    Ergebnis:
    30 min
  2. ●8
    Lukas möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 11, 15, 16, 29. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
    2. Summe der bekannten: 11 + 15 + 16 + 29 = 71
    3. 100 − 71 = 29
    Ergebnis:
    29 Punkte
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Runden Korbwurf ist 12 Treffer. Bekannt sind 18, 13, 10, 6, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 12 = 72
    2. Summe der bekannten: 18 + 13 + 10 + 6 + 13 = 60
    3. 72 − 60 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 14 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A14 von 40B6 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 1440 = 0,35
  2. Schule am See: 610 = 0,6
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
  1. Schule am Park: 1440 = 0,35
  2. Schule am See: 610 = 0,6
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 13 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 20 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 40B20 von 25
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 1340 = 0,325
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1340 = 0,325
    2. Klasse 6b: 2025 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,8)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 30-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 19-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord30 von 50Team Süd19 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 3050 = 0,6
    2. Team Süd: 1940 = 0,475
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,6)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 19-mal bei 25 Schüssen. Team West trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord17 von 40Team Süd19 von 25Team West16 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1740 = 0,425
    2. Team Süd: 1925 = 0,76
    3. Team West: 1650 = 0,32
    4. 0,76 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,76)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
RadBusgesamtKlasse 6a11??Klasse 6b101222gesamt?26?
Schritt für Schritt
  1. Spalte Bus: 26 − 12 = 14
  2. Zeile Klasse 6a: 11 + 14 = 25
  3. Insgesamt: 25 + 22 = 47
  1. Spalte Bus: 26 − 12 = 14
  2. Zeile Klasse 6a: 11 + 14 = 25
  3. Insgesamt: 25 + 22 = 47
Ergebnis:
47

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 47 Kinder mit, davon sind 21 Kinder aus Klasse 5. 13 Kinder aus Klasse 5 und 13 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 47 − 21 = 26
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 47 − 21 = 26
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 26 − 13 = 13
    3. Kontrolle: 13 + 8 + 13 + 13 = 47
    Ergebnis:
    13
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 59918Klasse 6?1225gesamt222143
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 25.
    2. 25 − 12 = 13
    3. Kontrolle mit der Spalte: 13 + 9 = 22
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Frühstück“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen111425Jungen61420gesamt172845
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 1125 = 0,44
    2. Jungen: 620 = 0,3
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Mädchen (0,44)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer32038181
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 20 : 50 = 0,4
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 20 : 50 = 0,4
Ergebnis:
0,4

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer51225124
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 25 : 100 = 0,25
    3. 124 : 500 = 0,248
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,248
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31941202
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 202 : 500 = 0,404
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,404
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer62382392
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 392 : 1000 = 0,392
    Ergebnis:
    0,392

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 28, 12, 27, 8, 30. Team Süd: 28, 26, 29, 8, 19. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 28 + 12 + 27 + 8 + 30 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Team Süd: 28 + 26 + 29 + 8 + 19 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Team Süd (22 Punkte gegen 21 Punkte)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 22, 21, 19, 21, 17. Jungen: 21, 23, 12, 29, 15. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen1015202530
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 22 − 17 = 5
    2. Jungen: 29 − 12 = 17
    3. Die kleinere Spannweite hat Mädchen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 17)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 7, 8, 41, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 4, 5, 7, 8, 41, Median 7
    3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 13)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 11, 25, 27. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 11 + 25 + 27 = 63
    3. 76 − 63 = 13
    Ergebnis:
    13 Punkte
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 9 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 8 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A9 von 25B8 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 925 = 0,36
    2. Klasse 6b: 820 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 20-mal geworfen. 13-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1320
    2. 1320 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 13 : 20 = 0,65
    Ergebnis:
    1320 = 0,65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 50, 28, 28, 41, 38. Gruppe Falken: 59, 35, 23, 35, 18. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (37 min gegen 34 min)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 38, 30, 32, 36, 244. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 76 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 36 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 19, 27, 8. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Punkte

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 30 Kinder mit, davon sind 17 Kinder aus Klasse 5. 7 Kinder aus Klasse 5 und 5 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (Median 13 gegen 8)
  2. Mädchen, um 2 Hundert Schritte
  3. Gruppe Adler (19 Punkte gegen 18 Punkte)
  4. Nein, der Median 7 passt besser
  5. Median (7 statt 17)
  6. Nein, der Median 5,5 passt besser
  7. 30 min
  8. 29 Punkte
  9. 12 Treffer
  10. Klasse 6b (0,8)
  11. Team Nord (0,6)
  12. Team Süd (0,76)
  13. 13
  14. 13
  15. Mädchen (0,44)
  16. 0,248
  17. Nein, eher 0,404
  18. 0,392
  19. 112
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  25. Team Süd (22 Punkte gegen 21 Punkte)
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 17)
  27. Median (7 statt 13)
  28. 13 Punkte
  29. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  30. 1320 = 0,65
  31. Gruppe Adler (37 min gegen 34 min)
  32. Nein, der Median 36 passt besser
  33. 14 Punkte
  34. 8
  35. fair (18 zu 18)
  36. x̄ = 12,4
  37. Median 7; Spannweite 10