Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 12, 5, 1, 15, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,8
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 7, 14, 20, 10. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 7, 10, 14, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 20 − 7 = 13
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 15, 3, 11, 4, 12. Jungen: 12, 7, 18, 6, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
MädchenJungen24681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 15 + 3 + 11 + 4 + 12 = 45, 45 : 5 = 9
  2. Jungen: 12 + 7 + 18 + 6 + 12 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 11 ist mehr als 9.
  1. Mädchen: 15 + 3 + 11 + 4 + 12 = 45, 45 : 5 = 9
  2. Jungen: 12 + 7 + 18 + 6 + 12 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 11 ist mehr als 9.
Ergebnis:
Jungen (11 Treffer gegen 9 Treffer)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 55, 11, 32, 34, 33. Jungen: 31, 25, 18, 40, 46. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen: 55 + 11 + 32 + 34 + 33 = 165, 165 : 5 = 33
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 55 + 11 + 32 + 34 + 33 = 165, 165 : 5 = 33
    2. Jungen: 31 + 25 + 18 + 40 + 46 = 160, 160 : 5 = 32
    3. 33 ist mehr als 32.
    Ergebnis:
    Mädchen (33 min gegen 32 min)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 364, 263, 265, 320, 288. Gruppe Falken: 352, 321, 285, 281, 241. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 263, 265, 288, 320, 364, Median 288
    2. Gruppe Falken geordnet: 241, 281, 285, 321, 352, Median 285
    3. 288 ist mehr als 285.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 288 gegen 285)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 20, 33, 32, 33, 13, 7. Jungen: 12, 9, 39, 28. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 7, 13, 20, 32, 33, 33, Median 26
    2. Jungen geordnet: 9, 12, 28, 39, Median 20
    3. 26 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 26 gegen 20)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 20, 46, 52, 253, 54. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250300
Schritt für Schritt
  1. 253 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 425 : 5 = 85
  3. Ohne ihn: 172 : 4 = 43
  1. 253 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 425 : 5 = 85
  3. Ohne ihn: 172 : 4 = 43
Ergebnis:
Ausreißer 253, Mittelwert 85 statt 43

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 3, 35, 7, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte05101520253035
    So fängst du an:
    35 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 35 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 55 : 5 = 11
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 35, Mittelwert 11 statt 5
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 2, 5, 4, 45. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 4, 5, 9, 45
    2. Median: 5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 45.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5 passt besser
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 3, 7, 6, 36, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 66 : 6 = 11
    2. Geordnet: 3, 6, 7, 7, 7, 36, Median 7
    3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 11)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 300 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 256, 281, 317. Was braucht Noah beim letzten Mal?
bisher250260270280290300310320330?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 300 = 1200
  2. Summe der bekannten: 256 + 281 + 317 = 854
  3. 1200 − 854 = 346
  1. Summe aller Werte: 4 · 300 = 1200
  2. Summe der bekannten: 256 + 281 + 317 = 854
  3. 1200 − 854 = 346
Ergebnis:
346 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 11, 27, 11, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
    2. Summe der bekannten: 11 + 27 + 11 + 13 = 62
    3. 85 − 62 = 23
    Ergebnis:
    23 Punkte
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 38 min. Bekannt sind 16, 46, 31. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 38 = 152
    2. Summe der bekannten: 16 + 46 + 31 = 93
    3. 152 − 93 = 59
    Ergebnis:
    59 min
  3. ★9
    Tim hat die Ergebnisse von 6 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 24, 16, 24, 11, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher101214161820222426?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 16 = 96
    2. Summe der bekannten: 24 + 16 + 24 + 11 + 11 = 86
    3. 96 − 86 = 10
    Ergebnis:
    10 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 27-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord7 von 10Team Süd27 von 50
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 710 = 0,7
  2. Team Süd: 2750 = 0,54
  3. 0,7 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 710 = 0,7
  2. Team Süd: 2750 = 0,54
  3. 0,7 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Nord (0,7)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 33 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A33 von 50B7 von 10
    So fängst du an:
    Schule am Park: 3350 = 0,66
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 3350 = 0,66
    2. Schule am See: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 10 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 5 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 50B5 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1050 = 0,2
    2. Schule am See: 520 = 0,25
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 24 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 16 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A24 von 40B16 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2440 = 0,6
    2. Fußball-AG: 1625 = 0,64
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
AG jaAG neingesamtKlasse 56??Klasse 6131124gesamt?21?
Schritt für Schritt
  1. Spalte AG nein: 21 − 11 = 10
  2. Zeile Klasse 5: 6 + 10 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 24 = 40
  1. Spalte AG nein: 21 − 11 = 10
  2. Zeile Klasse 5: 6 + 10 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 24 = 40
Ergebnis:
40

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a9?21Klasse 6b14923gesamt232144
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6a: zusammen 21.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 21.
    2. 21 − 9 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 9 = 21
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 23 Mädchen. 9 Mädchen und 7 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 41 − 23 = 18
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 18 − 7 = 11
    3. Kontrolle: 9 + 14 + 7 + 11 = 41
    Ergebnis:
    11
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen51116Jungen?614gesamt131730
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 14.
    2. 14 − 6 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 5 = 13
    Ergebnis:
    8

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer51532146
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 146 : 500 = 0,292
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 146 : 500 = 0,292
Ergebnis:
0,292

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11627152
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 16 : 50 = 0,32
    Ergebnis:
    0,32
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer1111980
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 80 : 500 = 0,16
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,16
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer21685408
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 16 : 50 = 0,32
    Ergebnis:
    0,32

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 6, 9, 13, 10, 17. Team Süd: 3, 17, 11, 8, 11. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 6, 9, 10, 13, 17, Median 10
    2. Team Süd geordnet: 3, 8, 11, 11, 17, Median 11
    3. 11 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 11 gegen 10)
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 374, 323, 347, 277, 269. Gruppe Falken: 331, 313, 313, 322, 311. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 374 − 269 = 105
    2. Gruppe Falken: 331 − 311 = 20
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 20 gegen 105)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 56, 7, 4, 5, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 56 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  4. ●28
    Aylin möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 38 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 47, 51, 14, 49. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher1015202530354045505560?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 38 = 190
    2. Summe der bekannten: 47 + 51 + 14 + 49 = 161
    3. 190 − 161 = 29
    Ergebnis:
    29 min
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord8 von 10Team Süd16 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 1640 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 10-mal geworfen. 5-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 510
    2. Gekürzt: 510 = 12
    3. Als Dezimalzahl: 5 : 10 = 0,5
    Ergebnis:
    12 = 0,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 44, 53, 16, 14, 28. Gruppe Falken: 37, 52, 11, 25, 35. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 35 gegen 28)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 41, 9, 3, 9, 3. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 21 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 20, 14, 27, 26. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher141618202224262830?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 Punkte

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 15 Mädchen. 6 Mädchen und 11 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer11128145
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,29

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (33 min gegen 32 min)
  2. Gruppe Adler (Median 288 gegen 285)
  3. Mädchen (Median 26 gegen 20)
  4. Ausreißer 35, Mittelwert 11 statt 5
  5. Nein, der Median 5 passt besser
  6. Median (7 statt 11)
  7. 23 Punkte
  8. 59 min
  9. 10 Punkte
  10. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  11. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  12. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  13. 12
  14. 11
  15. 8
  16. 0,32
  17. Nein, eher 0,16
  18. 0,32
  19. 19
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 16
  22. fair (15 zu 15)
  23. fair (15 zu 15)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Team Süd (Median 11 gegen 10)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 20 gegen 105)
  27. Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  28. 29 min
  29. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  30. 12 = 0,5
  31. Gruppe Falken (Median 35 gegen 28)
  32. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  33. 18 Punkte
  34. 14
  35. 0,29
  36. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  37. x̄ = 7,8
  38. Median 10; Spannweite 13