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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 7, 7, 14, 12, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 13, 5, 12, 12, 4. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 5, 12, 12, 13
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 13 − 4 = 9
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 15, 26, 23, 14, 22. Gruppe Falken: 16, 30, 17, 13, 14. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 14, 15, 22, 23, 26, Median 22
  2. Gruppe Falken geordnet: 13, 14, 16, 17, 30, Median 16
  3. 22 ist mehr als 16.
  1. Gruppe Adler geordnet: 14, 15, 22, 23, 26, Median 22
  2. Gruppe Falken geordnet: 13, 14, 16, 17, 30, Median 16
  3. 22 ist mehr als 16.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 22 gegen 16)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 10, 25, 23, 10, 17. Team Süd: 13, 10, 30, 13, 14. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd1015202530
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 10, 10, 17, 23, 25, Median 17
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 10, 10, 17, 23, 25, Median 17
    2. Team Süd geordnet: 10, 13, 13, 14, 30, Median 13
    3. 17 ist mehr als 13.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 17 gegen 13)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 45, 23, 20, 59, 53. Jungen: 25, 56, 33, 34, 42. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen202530354045505560
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 45 + 23 + 20 + 59 + 53 = 200, 200 : 5 = 40
    2. Jungen: 25 + 56 + 33 + 34 + 42 = 190, 190 : 5 = 38
    3. 40 − 38 = 2
    Ergebnis:
    Mädchen, um 2 min
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 9, 4, 14, 16, 18, 5. Team Süd: 5, 12, 14, 17, 12. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 4, 5, 9, 14, 16, 18, Median 11,5
    2. Team Süd geordnet: 5, 12, 12, 14, 17, Median 12
    3. 12 ist mehr als 11,5.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 12 gegen 11,5)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 32, 35, 32, 57, 354. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350400
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 510 : 5 = 102
  2. Geordnet: 32, 32, 35, 57, 354, Median 35
  3. Der Wert 354 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 510 : 5 = 102
  2. Geordnet: 32, 32, 35, 57, 354, Median 35
  3. Der Wert 354 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (35 statt 102)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 11, 14, 27, 244, 24. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 64 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Geordnet: 11, 14, 24, 27, 244
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 11, 14, 24, 27, 244
    2. Median: 24
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 244.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 24 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 7, 6, 46, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 5, 6, 6, 7, 46
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 382, 26, 45, 26, 31, 42. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 552 : 6 = 92
    2. Geordnet: 26, 26, 31, 42, 45, 382, Median 36,5
    3. Der Wert 382 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (36,5 statt 92)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 323 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 377, 334, 315. Was braucht Tim beim letzten Mal?
bisher310320330340350360370380390?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 323 = 1292
  2. Summe der bekannten: 377 + 334 + 315 = 1026
  3. 1292 − 1026 = 266
  1. Summe aller Werte: 4 · 323 = 1292
  2. Summe der bekannten: 377 + 334 + 315 = 1026
  3. 1292 − 1026 = 266
Ergebnis:
266 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 9 Treffer. Bekannt sind 9, 4, 16. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
    2. Summe der bekannten: 9 + 4 + 16 = 29
    3. 36 − 29 = 7
    Ergebnis:
    7 Treffer
  2. ●8
    Tim möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 17 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 9, 25, 11, 24. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher810121416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
    2. Summe der bekannten: 9 + 25 + 11 + 24 = 69
    3. 85 − 69 = 16
    Ergebnis:
    16 Punkte
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 34 min. Bekannt sind 43, 57, 50, 12, 24. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 34 = 204
    2. Summe der bekannten: 43 + 57 + 50 + 12 + 24 = 186
    3. 204 − 186 = 18
    Ergebnis:
    18 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord5 von 20Team Süd14 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 520 = 0,25
  2. Team Süd: 1440 = 0,35
  3. 0,35 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 520 = 0,25
  2. Team Süd: 1440 = 0,35
  3. 0,35 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,35)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 28 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B28 von 50
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 610 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 610 = 0,6
    2. Klasse 6b: 2850 = 0,56
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 12 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 14 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 25B14 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1225 = 0,48
    2. Fußball-AG: 1450 = 0,28
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 25-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord25 von 50Team Süd6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2550 = 0,5
    2. Team Süd: 610 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
Haustierkein TiergesamtMädchen4?9Jungen61218gesamt101727
Schritt für Schritt
  1. Zeile Mädchen: zusammen 9.
  2. 9 − 4 = 5
  3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 12 = 17
  1. Zeile Mädchen: zusammen 9.
  2. 9 − 4 = 5
  3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 12 = 17
Ergebnis:
5

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 513?17Klasse 612416gesamt25833
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 5: zusammen 17.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 17.
    2. 17 − 13 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a11??Klasse 6b9413gesamt?17?
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 17 − 4 = 13
    2. Zeile Klasse 6a: 11 + 13 = 24
    3. Insgesamt: 24 + 13 = 37
    Ergebnis:
    37
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 523225Klasse 65510gesamt28735
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 2325 = 0,92
    2. Klasse 6: 510 = 0,5
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 5 (0,92)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer371889
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 18 : 100 = 0,18
  3. 89 : 500 = 0,178
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 18 : 100 = 0,18
  3. 89 : 500 = 0,178
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,178

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer41536180
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 180 : 500 = 0,36
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,36.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,36
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer61634174
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 34 : 100 = 0,34
    3. 174 : 500 = 0,348
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,348
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer51677358
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 358 : 1000 = 0,358
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,36.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,358

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 1 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 1: 5 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 5 + 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
Ergebnis:
nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 7, 11, 11, 12, 4. Team Süd: 14, 9, 14, 8, 5. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd468101214
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 4, 7, 11, 11, 12, Median 11
    2. Team Süd geordnet: 5, 8, 9, 14, 14, Median 9
    3. 11 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 11 gegen 9)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 18, 17, 18, 21, 21. Gruppe Falken: 14, 14, 22, 26, 19. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken14161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 21 − 17 = 4
    2. Gruppe Falken: 26 − 14 = 12
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 12)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 51, 4, 6, 6, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
    2. Geordnet: 4, 6, 6, 8, 51, Median 6
    3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 15)
  4. ●28
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 299 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 314, 331, 246. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 299 = 1196
    2. Summe der bekannten: 314 + 331 + 246 = 891
    3. 1196 − 891 = 305
    Ergebnis:
    305 cm
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B14 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 610 = 0,6
    2. Schule am See: 1450 = 0,28
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 100-mal auf den Korb und trifft 35-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer35 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 35100
    2. Gekürzt: 35100 = 720
    3. Als Dezimalzahl: 35 : 100 = 0,35
    Ergebnis:
    720 = 0,35

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 285, 343, 384, 327, 311. Team Süd: 261, 305, 386, 390, 358. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd, um 10 cm

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 31, 9, 5, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 20, 16, 27, 8. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 12 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 22 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 25B22 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 13 Mädchen und 13 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11532148
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,296

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (Median 17 gegen 13)
  2. Mädchen, um 2 min
  3. Team Süd (Median 12 gegen 11,5)
  4. Nein, der Median 24 passt besser
  5. Nein, der Median 6 passt besser
  6. Median (36,5 statt 92)
  7. 7 Treffer
  8. 16 Punkte
  9. 18 min
  10. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  12. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  13. 4
  14. 37
  15. Klasse 5 (0,92)
  16. Nein, eher 0,36
  17. 0,348
  18. Nein, eher 0,358
  19. 536
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 10 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. 2 Punkte
  24. fair (18 zu 18)
  25. Team Nord (Median 11 gegen 9)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 12)
  27. Median (6 statt 15)
  28. 305 cm
  29. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  30. 720 = 0,35
  31. Team Süd, um 10 cm
  32. Nein, der Median 6 passt besser
  33. 14 Punkte
  34. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  35. 3
  36. 0,296
  37. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  38. 3 Punkte
  39. x̄ = 8,6
  40. Median 12; Spannweite 9