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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 1, 8, 3, 3, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,6
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 15, 14, 3, 8, 7. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 7, 8, 14, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 15 − 3 = 12
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 36, 47, 29, 40, 43. Gruppe Falken: 12, 47, 13, 56, 42. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 29, 36, 40, 43, 47, Median 40
  2. Gruppe Falken geordnet: 12, 13, 42, 47, 56, Median 42
  3. 42 ist mehr als 40.
  1. Gruppe Adler geordnet: 29, 36, 40, 43, 47, Median 40
  2. Gruppe Falken geordnet: 12, 13, 42, 47, 56, Median 42
  3. 42 ist mehr als 40.
Ergebnis:
Gruppe Falken (Median 42 gegen 40)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 275, 261, 293, 356, 375. Team Süd: 274, 345, 260, 373, 373. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380
    So fängst du an:
    Team Nord: 275 + 261 + 293 + 356 + 375 = 1560, 1560 : 5 = 312
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 275 + 261 + 293 + 356 + 375 = 1560, 1560 : 5 = 312
    2. Team Süd: 274 + 345 + 260 + 373 + 373 = 1625, 1625 : 5 = 325
    3. 325 − 312 = 13
    Ergebnis:
    Team Süd, um 13 cm
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 20, 9, 14, 17, 25. Gruppe Falken: 19, 23, 22, 21, 15. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken8101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 20 + 9 + 14 + 17 + 25 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Gruppe Falken: 19 + 23 + 22 + 21 + 15 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (20 Punkte gegen 17 Punkte)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 14, 23, 25, 14, 23, 9. Gruppe Falken: 11, 23, 26, 30, 15. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 14 + 23 + 25 + 14 + 23 + 9 = 108, 108 : 6 = 18
    2. Gruppe Falken: 11 + 23 + 26 + 30 + 15 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 21 − 18 = 3
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 3 Punkte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 4, 6, 6, 40, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte0510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
  2. Geordnet: 4, 4, 6, 6, 40, Median 6
  3. Der Wert 40 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
  2. Geordnet: 4, 4, 6, 6, 40, Median 6
  3. Der Wert 40 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (6 statt 12)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 28, 11, 243, 26. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Mittelwert: 335 : 5 = 67
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 335 : 5 = 67
    2. Geordnet: 11, 26, 27, 28, 243, Median 27
    3. Der Wert 243 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (27 statt 67)
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 329, 26, 26, 32, 52. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 93 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 26, 26, 32, 52, 329
    2. Median: 32
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 329.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 32 passt besser
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 58, 48, 42, 37, 40, 279. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. 279 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 504 : 6 = 84
    3. Ohne ihn: 225 : 5 = 45
    Ergebnis:
    Ausreißer 279, Mittelwert 84 statt 45

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 33 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 35, 10, 38. Welches Ergebnis fehlt?
bisher1015202530354045?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
  2. Summe der bekannten: 35 + 10 + 38 = 83
  3. 132 − 83 = 49
  1. Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
  2. Summe der bekannten: 35 + 10 + 38 = 83
  3. 132 − 83 = 49
Ergebnis:
49 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 23, 8, 10, 20. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher8101214161820222426?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
    2. Summe der bekannten: 23 + 8 + 10 + 20 = 61
    3. 90 − 61 = 29
    Ergebnis:
    29 Punkte
  2. ●8
    Tim möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 13 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 18, 15, 12, 15. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher1213141516171819?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 13 = 65
    2. Summe der bekannten: 18 + 15 + 12 + 15 = 60
    3. 65 − 60 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer
  3. ★9
    Noah hat die Ergebnisse von 6 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 43 min. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 47, 34, 40, 24, 58. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher20253035404550556065?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 43 = 258
    2. Summe der bekannten: 47 + 34 + 40 + 24 + 58 = 203
    3. 258 − 203 = 55
    Ergebnis:
    55 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 8 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 4 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A8 von 25B4 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 825 = 0,32
  2. Schule am See: 410 = 0,4
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
  1. Schule am Park: 825 = 0,32
  2. Schule am See: 410 = 0,4
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 23 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 28 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A23 von 50B28 von 40
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 2350 = 0,46
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2350 = 0,46
    2. Klasse 6b: 2840 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,7)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 33-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord15 von 20Team Süd33 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1520 = 0,75
    2. Team Süd: 3350 = 0,66
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 10 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A7 von 10B10 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 710 = 0,7
    2. Fußball-AG: 1025 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
AG jaAG neingesamtKlasse 56814Klasse 6?1216gesamt102030
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6: zusammen 16.
  2. 16 − 12 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 6 = 10
  1. Zeile Klasse 6: zusammen 16.
  2. 16 − 12 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 6 = 10
Ergebnis:
4

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a10?21Klasse 6b5914gesamt152035
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6a: zusammen 21.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 21.
    2. 21 − 10 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 9 = 20
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen9??Jungen101323gesamt?25?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Tier: 25 − 13 = 12
    2. Zeile Mädchen: 9 + 12 = 21
    3. Insgesamt: 21 + 23 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 34 Kinder mit, davon sind 12 Mädchen. 6 Mädchen und 13 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 34 − 12 = 22
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 22 − 13 = 9
    3. Kontrolle: 6 + 6 + 13 + 9 = 34
    Ergebnis:
    9

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer31223119
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 12 : 50 = 0,24
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 12 : 50 = 0,24
Ergebnis:
0,24

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer41124128
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 128 : 500 = 0,256
    Ergebnis:
    0,256
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer361587
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 87 : 500 = 0,174
    Ergebnis:
    0,174
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer21863291
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 63 : 200 = 0,315
    3. 291 : 1000 = 0,291
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,291

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 6 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 6: 1 und 6; 2 und 3; 3 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 3-mal so oft.
    4. Emre braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte
  2. ●23
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 7, 13, 14, 14, 7. Team Süd: 14, 12, 18, 9, 12. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 7 + 13 + 14 + 14 + 7 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Team Süd: 14 + 12 + 18 + 9 + 12 = 65, 65 : 5 = 13
    3. 13 − 11 = 2
    Ergebnis:
    Team Süd, um 2 Treffer
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 29, 11, 32, 26, 12. Jungen: 23, 19, 24, 25, 19. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 32 − 11 = 21
    2. Jungen: 25 − 19 = 6
    3. Die kleinere Spannweite hat Jungen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 6 gegen 21)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 28, 243, 13, 11, 20. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 315 : 5 = 63
    2. Geordnet: 11, 13, 20, 28, 243, Median 20
    3. Der Wert 243 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20 statt 63)
  4. ●28
    Tim möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 9, 30, 18, 30. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    2. Summe der bekannten: 9 + 30 + 18 + 30 = 87
    3. 95 − 87 = 8
    Ergebnis:
    8 Punkte
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 12 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 25B8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1225 = 0,48
    2. Klasse 6b: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 10-mal auf den Korb und trifft 4-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 410
    2. Gekürzt: 410 = 25
    3. Als Dezimalzahl: 4 : 10 = 0,4
    Ergebnis:
    25 = 0,4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 27, 17, 10, 12, 29. Gruppe Falken: 15, 15, 19, 15, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 17 gegen 15)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 45, 321, 49, 40, 50. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 101 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 49 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 327 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 330, 387, 318. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher310320330340350360370380390400?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    273 cm

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 45 Kinder mit, davon sind 23 Kinder der Klasse 6a. 10 Kinder der Klasse 6a und 9 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer3151994
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,188

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd, um 13 cm
  2. Gruppe Falken (20 Punkte gegen 17 Punkte)
  3. Gruppe Falken, um 3 Punkte
  4. Median (27 statt 67)
  5. Nein, der Median 32 passt besser
  6. Ausreißer 279, Mittelwert 84 statt 45
  7. 29 Punkte
  8. 5 Treffer
  9. 55 min
  10. Klasse 6b (0,7)
  11. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  12. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  13. 11
  14. 44
  15. 9
  16. 0,256
  17. 0,174
  18. 0,291
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 118
  21. 4 Ergebnisse
  22. 3 Punkte
  23. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Team Süd, um 2 Treffer
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 6 gegen 21)
  27. Median (20 statt 63)
  28. 8 Punkte
  29. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  30. 25 = 0,4
  31. Gruppe Adler (Median 17 gegen 15)
  32. Nein, der Median 49 passt besser
  33. 273 cm
  34. 13
  35. Nein, eher 0,188
  36. 2 Punkte
  37. x̄ = 5,6
  38. Median 8; Spannweite 12