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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 15, 10, 1, 7, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 13, 18, 14, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 11, 11, 13, 14, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 18 − 11 = 7
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 16, 9, 17, 12, 11. Team Süd: 11, 14, 8, 9, 13. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd81012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 9, 11, 12, 16, 17, Median 12
  2. Team Süd geordnet: 8, 9, 11, 13, 14, Median 11
  3. 12 ist mehr als 11.
  1. Team Nord geordnet: 9, 11, 12, 16, 17, Median 12
  2. Team Süd geordnet: 8, 9, 11, 13, 14, Median 11
  3. 12 ist mehr als 11.
Ergebnis:
Team Nord (Median 12 gegen 11)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 48, 30, 13, 54, 20. Jungen: 60, 53, 54, 25, 13. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen: 48 + 30 + 13 + 54 + 20 = 165, 165 : 5 = 33
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 48 + 30 + 13 + 54 + 20 = 165, 165 : 5 = 33
    2. Jungen: 60 + 53 + 54 + 25 + 13 = 205, 205 : 5 = 41
    3. 41 − 33 = 8
    Ergebnis:
    Jungen, um 8 min
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 8, 10, 21, 23, 28. Team Süd: 24, 14, 10, 8, 29. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 8, 10, 21, 23, 28, Median 21
    2. Team Süd geordnet: 8, 10, 14, 24, 29, Median 14
    3. 21 ist mehr als 14.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 21 gegen 14)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 24, 19, 36, 21, 15. Jungen: 24, 34, 40, 10. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 15, 19, 21, 24, 36, Median 21
    2. Jungen geordnet: 10, 24, 34, 40, Median 29
    3. 29 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 29 gegen 21)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 5, 41, 8, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte051015202530354045
Schritt für Schritt
  1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 195, 21, 12, 23, 24. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 55 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    So fängst du an:
    Geordnet: 12, 21, 23, 24, 195
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 21, 23, 24, 195
    2. Median: 23
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 195.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 13, 30, 182, 10. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 50 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 10, 13, 15, 30, 182
    2. Median: 15
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 182.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 15 passt besser
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 46, 22, 25, 51, 51, 279. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. 279 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 474 : 6 = 79
    3. Ohne ihn: 195 : 5 = 39
    Ergebnis:
    Ausreißer 279, Mittelwert 79 statt 39

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 312 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 311, 263, 385, 284. Was braucht Mila beim letzten Mal?
bisher260280300320340360380400420?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 312 = 1560
  2. Summe der bekannten: 311 + 263 + 385 + 284 = 1243
  3. 1560 − 1243 = 317
  1. Summe aller Werte: 5 · 312 = 1560
  2. Summe der bekannten: 311 + 263 + 385 + 284 = 1243
  3. 1560 − 1243 = 317
Ergebnis:
317 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 315 cm. Bekannt sind 347, 327, 356, 284. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 315 = 1575
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 315 = 1575
    2. Summe der bekannten: 347 + 327 + 356 + 284 = 1314
    3. 1575 − 1314 = 261
    Ergebnis:
    261 cm
  2. ●8
    Lukas möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 42 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 46, 43, 24, 46. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher2025303540455055?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 42 = 210
    2. Summe der bekannten: 46 + 43 + 24 + 46 = 159
    3. 210 − 159 = 51
    Ergebnis:
    51 min
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 37 min. Bekannt sind 31, 49, 44, 31, 42. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 37 = 222
    2. Summe der bekannten: 31 + 49 + 44 + 31 + 42 = 197
    3. 222 − 197 = 25
    Ergebnis:
    25 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 25-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 19-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord25 von 50Team Süd19 von 25
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 2550 = 0,5
  2. Team Süd: 1925 = 0,76
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
  1. Team Nord: 2550 = 0,5
  2. Team Süd: 1925 = 0,76
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord8 von 10Team Süd12 von 40
    So fängst du an:
    Team Nord: 810 = 0,8
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 1240 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 17 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 23 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A17 von 25B23 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1725 = 0,68
    2. Klasse 6b: 2350 = 0,46
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 13 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 10 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am Markt sagen 14 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 20B10 von 25C14 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1320 = 0,65
    2. Schule am See: 1025 = 0,4
    3. Schule am Markt: 1450 = 0,28
    4. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 19 Mädchen. 12 Mädchen und 11 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 33 − 19 = 14
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 14 − 11 = 3
  3. Kontrolle: 12 + 7 + 11 + 3 = 33
  1. Jungen: 33 − 19 = 14
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 14 − 11 = 3
  3. Kontrolle: 12 + 7 + 11 + 3 = 33
Ergebnis:
3

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht
52 − 27 = 35
So richtig
52 − 27: 12 − 7 = 5, 4 − 2 = 2 → 25

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?820Klasse 671017gesamt191837
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 5: zusammen 20.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 20.
    2. 20 − 8 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 7 = 19
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 48 Kinder mit, davon sind 20 Mädchen. 11 Mädchen und 14 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 48 − 20 = 28
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 28 − 14 = 14
    3. Kontrolle: 11 + 9 + 14 + 14 = 48
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen8??Jungen41317gesamt?24?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 24 − 13 = 11
    2. Zeile Mädchen: 8 + 11 = 19
    3. Insgesamt: 19 + 17 = 36
    Ergebnis:
    36

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer32237196
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 37 : 100 = 0,37
  3. 196 : 500 = 0,392
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 37 : 100 = 0,37
  3. 196 : 500 = 0,392
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,392

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer22239171
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 171 : 500 = 0,342
    Ergebnis:
    0,342
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer11122130
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 130 : 500 = 0,26
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,26.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,26
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer4429162
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 29 : 200 = 0,145
    3. 162 : 1000 = 0,162
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,162

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 0 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 0: beide Würfel gleich, das sind 6 Felder.
    3. 6 von 36
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 14, 26, 22, 17, 21. Team Süd: 15, 11, 29, 15, 20. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 14, 17, 21, 22, 26, Median 21
    2. Team Süd geordnet: 11, 15, 15, 20, 29, Median 15
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 21 gegen 15)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 11, 10, 10, 13, 11. Jungen: 14, 13, 7, 10, 11. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen7891011121314
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 13 − 10 = 3
    2. Jungen: 14 − 7 = 7
    3. Die kleinere Spannweite hat Mädchen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 3 gegen 7)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 220, 22, 10, 29, 19. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 220 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 300 : 5 = 60
    3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
    Ergebnis:
    Ausreißer 220, Mittelwert 60 statt 20
  4. ●28
    Mila möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 17, 10, 12. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher101112131415161718?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
    2. Summe der bekannten: 17 + 10 + 12 = 39
    3. 44 − 39 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord18 von 50Team Süd7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1850 = 0,36
    2. Team Süd: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 50-mal auf den Korb und trifft 39-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer39 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 3950
    2. 3950 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 39 : 50 = 0,78
    Ergebnis:
    3950 = 0,78

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 15, 32, 28, 12, 13. Jungen: 8, 22, 8, 16, 36. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (20 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 163, 25, 28, 15, 24. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 163, Mittelwert 51 statt 23

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 337 cm. Bekannt sind 358, 322, 322, 382. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    301 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 20 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 27 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A20 von 25B27 von 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen, um 8 min
  2. Team Nord (Median 21 gegen 14)
  3. Jungen (Median 29 gegen 21)
  4. Nein, der Median 23 passt besser
  5. Nein, der Median 15 passt besser
  6. Ausreißer 279, Mittelwert 79 statt 39
  7. 261 cm
  8. 51 min
  9. 25 min
  10. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  12. Schule am Park (0,65)
  13. 12
  14. 14
  15. 36
  16. 0,342
  17. Nein, eher 0,26
  18. 0,162
  19. 2 Ergebnisse
  20. 16
  21. 6 Ergebnisse
  22. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. 2 Punkte
  25. Team Nord (Median 21 gegen 15)
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 3 gegen 7)
  27. Ausreißer 220, Mittelwert 60 statt 20
  28. 5 Treffer
  29. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  30. 3950 = 0,78
  31. Mädchen (20 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)
  32. Ausreißer 163, Mittelwert 51 statt 23
  33. 301 cm
  34. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  35. fair (3 zu 3)
  36. x̄ = 9
  37. Median 13; Spannweite 7