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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 6, 9, 4, 2, 7. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,6
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 9, 17, 13, 10, 14. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 9, 10, 13, 14, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 17 − 9 = 8
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 19, 32, 17, 38, 24. Jungen: 7, 31, 24, 12, 16. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
MädchenJungen510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 19 + 32 + 17 + 38 + 24 = 130, 130 : 5 = 26
  2. Jungen: 7 + 31 + 24 + 12 + 16 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 26 ist mehr als 18.
  1. Mädchen: 19 + 32 + 17 + 38 + 24 = 130, 130 : 5 = 26
  2. Jungen: 7 + 31 + 24 + 12 + 16 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 26 ist mehr als 18.
Ergebnis:
Mädchen (26 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 45, 53, 49, 16, 12. Gruppe Falken: 28, 34, 12, 12, 59. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 45 + 53 + 49 + 16 + 12 = 175, 175 : 5 = 35
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 45 + 53 + 49 + 16 + 12 = 175, 175 : 5 = 35
    2. Gruppe Falken: 28 + 34 + 12 + 12 + 59 = 145, 145 : 5 = 29
    3. 35 ist mehr als 29.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (35 min gegen 29 min)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 21, 23, 13, 23, 10. Gruppe Falken: 25, 13, 28, 25, 9. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 21 + 23 + 13 + 23 + 10 = 90, 90 : 5 = 18
    2. Gruppe Falken: 25 + 13 + 28 + 25 + 9 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (20 Punkte gegen 18 Punkte)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 267, 334, 246, 380, 308. Team Süd: 370, 267, 330, 296, 287. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 267 + 334 + 246 + 380 + 308 = 1535, 1535 : 5 = 307
    2. Team Süd: 370 + 267 + 330 + 296 + 287 = 1550, 1550 : 5 = 310
    3. 310 ist mehr als 307.
    Ergebnis:
    Team Süd (310 cm gegen 307 cm)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 362, 40, 49, 36, 23. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350400
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 510 : 5 = 102
  2. Geordnet: 23, 36, 40, 49, 362, Median 40
  3. Der Wert 362 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 510 : 5 = 102
  2. Geordnet: 23, 36, 40, 49, 362, Median 40
  3. Der Wert 362 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (40 statt 102)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 56, 6, 6, 5, 7. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    56 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 56 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 55, 21, 47, 25, 297. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. 297 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 445 : 5 = 89
    3. Ohne ihn: 148 : 4 = 37
    Ergebnis:
    Ausreißer 297, Mittelwert 89 statt 37
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 4, 5, 8, 7, 48. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 5, 6, 7, 8, 48
    2. Median: 6,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 48.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 39 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 52, 43, 10, 44. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
bisher10203040506070?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 39 = 195
  2. Summe der bekannten: 52 + 43 + 10 + 44 = 149
  3. 195 − 149 = 46
  1. Summe aller Werte: 5 · 39 = 195
  2. Summe der bekannten: 52 + 43 + 10 + 44 = 149
  3. 195 − 149 = 46
Ergebnis:
46 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 16, 23, 28. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1618202224262830?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 16 + 23 + 28 = 67
    3. 76 − 67 = 9
    Ergebnis:
    9 Punkte
  2. ●8
    Mila möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 40 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 55, 58, 52. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher10203040506070?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 40 = 200
    2. Summe der bekannten: 12 + 55 + 58 + 52 = 177
    3. 200 − 177 = 23
    Ergebnis:
    23 min
  3. ★9
    Lukas möchte bei 6 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 4, 16, 16, 4, 12. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher4681012141618?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 11 = 66
    2. Summe der bekannten: 4 + 16 + 16 + 4 + 12 = 52
    3. 66 − 52 = 14
    Ergebnis:
    14 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 3 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A3 von 10B16 von 40
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 310 = 0,3
  2. Schule am See: 1640 = 0,4
  3. 0,4 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 310 = 0,3
  2. Schule am See: 1640 = 0,4
  3. 0,4 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,4)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 23 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A23 von 50B7 von 10
    So fängst du an:
    Schule am Park: 2350 = 0,46
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2350 = 0,46
    2. Schule am See: 710 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,7)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 18 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A18 von 40B16 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1840 = 0,45
    2. Schule am See: 1620 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 34 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 10 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A34 von 50B10 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3450 = 0,68
    2. Klasse 6b: 1025 = 0,4
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,68)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen11??Jungen121123gesamt?16?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 16 − 11 = 5
  2. Zeile Mädchen: 11 + 5 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 23 = 39
  1. Spalte kein Frühstück: 16 − 11 = 5
  2. Zeile Mädchen: 11 + 5 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 23 = 39
Ergebnis:
39

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 21 Mädchen. 11 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 31 − 21 = 10
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 31 − 21 = 10
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 10 − 5 = 5
    3. Kontrolle: 11 + 10 + 5 + 5 = 31
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?418Jungen8513gesamt22931
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 18.
    2. 18 − 4 = 14
    3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 8 = 22
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 43 Kinder mit, davon sind 21 Mädchen. 10 Mädchen und 11 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 43 − 21 = 22
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 22 − 11 = 11
    3. Kontrolle: 10 + 11 + 11 + 11 = 43
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer181795
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 100 = 0,17
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 100 = 0,17
Ergebnis:
0,17

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11628146
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 16 : 50 = 0,32
    Ergebnis:
    0,32
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21631148
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 148 : 500 = 0,296
    Ergebnis:
    0,296
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer61873402
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 73 : 200 = 0,365
    Ergebnis:
    0,365

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 2 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 2: 4 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
Ergebnis:
nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 4, 16, 9, 7, 9. Jungen: 16, 18, 13, 8, 5. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 4, 7, 9, 9, 16, Median 9
    2. Jungen geordnet: 5, 8, 13, 16, 18, Median 13
    3. 13 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 13 gegen 9)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 19, 19, 18, 20, 19. Team Süd: 14, 27, 13, 19, 22. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd121416182022242628
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 20 − 18 = 2
    2. Team Süd: 27 − 13 = 14
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Nord.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 2 gegen 14)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 24, 28, 18, 186, 14. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 54 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 14, 18, 24, 28, 186
    2. Median: 24
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 186.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 24 passt besser
  4. ●28
    Mila möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 22, 27, 22. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher22232425262728?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
    2. Summe der bekannten: 22 + 27 + 22 = 71
    3. 88 − 71 = 17
    Ergebnis:
    17 Punkte
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 33 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A33 von 50B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3350 = 0,66
    2. Klasse 6b: 1320 = 0,65
    3. 0,66 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,66)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 50-mal geworfen. 11-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer11 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1150
    2. 1150 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 11 : 50 = 0,22
    Ergebnis:
    1150 = 0,22

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 15, 5, 10, 7, 3. Team Süd: 16, 14, 15, 17, 3. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 15 gegen 7)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 5, 4, 40, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Lukas möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 18 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 14, 30, 8. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A4 von 10B9 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5151126Klasse 6?1116gesamt202242
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (35 min gegen 29 min)
  2. Gruppe Falken (20 Punkte gegen 18 Punkte)
  3. Team Süd (310 cm gegen 307 cm)
  4. Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  5. Ausreißer 297, Mittelwert 89 statt 37
  6. Nein, der Median 6,5 passt besser
  7. 9 Punkte
  8. 23 min
  9. 14 Treffer
  10. Schule am See (0,7)
  11. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  12. Klasse 6a (0,68)
  13. 5
  14. 14
  15. 11
  16. 0,32
  17. 0,296
  18. 0,365
  19. 4 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 8 Ergebnisse
  22. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Jungen (Median 13 gegen 9)
  26. gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 2 gegen 14)
  27. Nein, der Median 24 passt besser
  28. 17 Punkte
  29. Klasse 6a (0,66)
  30. 1150 = 0,22
  31. Team Süd (Median 15 gegen 7)
  32. Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
  33. 20 Punkte
  34. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  35. 5
  36. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  37. x̄ = 5,6
  38. Median 13; Spannweite 8