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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 7, 9, 7, 6, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,4
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 13, 8, 5, 18, 3. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 5, 8, 13, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 18 − 3 = 15
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 286, 310, 338, 269, 287. Team Süd: 307, 306, 314, 322, 346. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Team NordTeam Süd260270280290300310320330340350
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 269, 286, 287, 310, 338, Median 287
  2. Team Süd geordnet: 306, 307, 314, 322, 346, Median 314
  3. 314 ist mehr als 287.
  1. Team Nord geordnet: 269, 286, 287, 310, 338, Median 287
  2. Team Süd geordnet: 306, 307, 314, 322, 346, Median 314
  3. 314 ist mehr als 287.
Ergebnis:
Team Süd (Median 314 gegen 287)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 28, 18, 22, 32, 20. Gruppe Falken: 38, 14, 32, 34, 7. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 28 + 18 + 22 + 32 + 20 = 120, 120 : 5 = 24
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 28 + 18 + 22 + 32 + 20 = 120, 120 : 5 = 24
    2. Gruppe Falken: 38 + 14 + 32 + 34 + 7 = 125, 125 : 5 = 25
    3. 25 ist mehr als 24.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (25 Hundert Schritte gegen 24 Hundert Schritte)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 11, 17, 17, 7, 3. Team Süd: 4, 6, 12, 16, 7. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 3, 7, 11, 17, 17, Median 11
    2. Team Süd geordnet: 4, 6, 7, 12, 16, Median 7
    3. 11 ist mehr als 7.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 11 gegen 7)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 17, 13, 15, 17, 26, 26. Gruppe Falken: 21, 19, 29, 11, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 17 + 13 + 15 + 17 + 26 + 26 = 114, 114 : 6 = 19
    2. Gruppe Falken: 21 + 19 + 29 + 11 + 10 = 90, 90 : 5 = 18
    3. 19 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (19 Punkte gegen 18 Punkte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 5, 6, 47, 9, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte01020304050
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 5, 6, 8, 9, 47
  2. Median: 8
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 47.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 5, 6, 8, 9, 47
  2. Median: 8
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 47.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 8 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 18, 21, 212, 10, 19. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    212 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 212 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 280 : 5 = 56
    3. Ohne ihn: 68 : 4 = 17
    Ergebnis:
    Ausreißer 212, Mittelwert 56 statt 17
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 44, 38, 295, 33, 45. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. 295 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 455 : 5 = 91
    3. Ohne ihn: 160 : 4 = 40
    Ergebnis:
    Ausreißer 295, Mittelwert 91 statt 40
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 22, 16, 29, 24, 19, 202. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 52 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 16, 19, 22, 24, 29, 202
    2. Median: 23
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 202.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 10 Treffer. Bekannt sind 18, 3, 14. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
  2. Summe der bekannten: 18 + 3 + 14 = 35
  3. 40 − 35 = 5
  1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
  2. Summe der bekannten: 18 + 3 + 14 = 35
  3. 40 − 35 = 5
Ergebnis:
5 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 10, 28, 9. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    2. Summe der bekannten: 10 + 28 + 9 = 47
    3. 68 − 47 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte
  2. ●8
    Mila möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 9 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 11, 12, 5, 5. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher5678910111213?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
    2. Summe der bekannten: 11 + 12 + 5 + 5 = 33
    3. 45 − 33 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Runden Korbwurf ist 12 Treffer. Bekannt sind 4, 3, 14, 15, 18. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 12 = 72
    2. Summe der bekannten: 4 + 3 + 14 + 15 + 18 = 54
    3. 72 − 54 = 18
    Ergebnis:
    18 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord17 von 25Team Süd14 von 20
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1725 = 0,68
  2. Team Süd: 1420 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
  1. Team Nord: 1725 = 0,68
  2. Team Süd: 1420 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 23-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord14 von 20Team Süd23 von 50
    So fängst du an:
    Team Nord: 1420 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1420 = 0,7
    2. Team Süd: 2350 = 0,46
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,7)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 26 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A26 von 50B8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2650 = 0,52
    2. Fußball-AG: 810 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,8)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 10 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 15 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 20B15 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1020 = 0,5
    2. Klasse 6b: 1550 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben ein Haustier?
Haustierkein TiergesamtMädchen4610Jungen?1320gesamt111930
Schritt für Schritt
  1. Zeile Jungen: zusammen 20.
  2. 20 − 13 = 7
  3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 4 = 11
  1. Zeile Jungen: zusammen 20.
  2. 20 − 13 = 7
  3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 4 = 11
Ergebnis:
7

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen11??Jungen111425gesamt?27?
    So fängst du an:
    Spalte kein Frühstück: 27 − 14 = 13
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 27 − 14 = 13
    2. Zeile Mädchen: 11 + 13 = 24
    3. Insgesamt: 24 + 25 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 23 Kinder der Klasse 6a. 12 Kinder der Klasse 6a und 6 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 33 − 23 = 10
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 10 − 6 = 4
    3. Kontrolle: 12 + 11 + 6 + 4 = 33
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen11516Jungen11?19gesamt221335
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 19.
    2. 19 − 11 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 5 = 13
    Ergebnis:
    8

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer241789
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 89 : 500 = 0,178
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 89 : 500 = 0,178
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
Ergebnis:
Nein, eher 0,178

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer1111478
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 14 : 100 = 0,14
    Ergebnis:
    0,14
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer4121998
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 19 : 100 = 0,19
    3. 98 : 500 = 0,196
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,196
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer31972348
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 72 : 200 = 0,36
    3. 348 : 1000 = 0,348
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,348

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. 5 von 36, also 536 = 536
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 3-mal so oft.
    4. Lotta braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte
  2. ●23
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  3. ★24
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 10, 23, 10, 29, 28. Gruppe Falken: 25, 18, 23, 19, 20. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 10 + 23 + 10 + 29 + 28 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Falken: 25 + 18 + 23 + 19 + 20 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 21 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (21 Punkte gegen 20 Punkte)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 21, 23, 26, 13, 17. Team Süd: 21, 18, 19, 20, 22. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd1214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 100 : 5 = 20
    2. Team Nord: 26 − 13 = 13
    3. Team Süd: 22 − 18 = 4
    4. Die Werte von Team Süd liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 13)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 2, 8, 2, 60. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 16 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 2, 8, 8, 60
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 60.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  4. ●28
    Mila möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 42 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 32, 42, 60, 32. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher3035404550556065?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 42 = 210
    2. Summe der bekannten: 32 + 42 + 60 + 32 = 166
    3. 210 − 166 = 44
    Ergebnis:
    44 min
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 17 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A5 von 10B17 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 510 = 0,5
    2. Schule am See: 1750 = 0,34
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 50-mal auf den Korb und trifft 37-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer37 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 3750
    2. 3750 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 37 : 50 = 0,74
    Ergebnis:
    3750 = 0,74

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 3, 12, 12, 12, 11. Team Süd: 15, 6, 3, 14, 7. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd246810121416
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (10 Treffer gegen 9 Treffer)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 24, 20, 26, 14, 216. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (24 statt 60)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 13, 16, 24. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher1214161820222426?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 18 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 10 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A18 von 50B10 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen9??Jungen71118gesamt?17?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer181788
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,176

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (25 Hundert Schritte gegen 24 Hundert Schritte)
  2. Team Nord (Median 11 gegen 7)
  3. Gruppe Adler (19 Punkte gegen 18 Punkte)
  4. Ausreißer 212, Mittelwert 56 statt 17
  5. Ausreißer 295, Mittelwert 91 statt 40
  6. Nein, der Median 23 passt besser
  7. 21 Punkte
  8. 12 Treffer
  9. 18 Treffer
  10. Team Nord (0,7)
  11. Fußball-AG (0,8)
  12. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  13. 49
  14. 4
  15. 8
  16. 0,14
  17. 0,196
  18. 0,348
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 4 Ergebnisse
  21. 118
  22. 3 Punkte
  23. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Gruppe Falken (21 Punkte gegen 20 Punkte)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 13)
  27. Nein, der Median 8 passt besser
  28. 44 min
  29. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  30. 3750 = 0,74
  31. Team Nord (10 Treffer gegen 9 Treffer)
  32. Median (24 statt 60)
  33. 27 Punkte
  34. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  35. 33
  36. 0,176
  37. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  38. x̄ = 7,4
  39. Median 8; Spannweite 15