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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 14, 7, 11, 3, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,2
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 11, 11, 13, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 11, 11, 11, 13
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 13 − 2 = 11
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 6, 3, 14, 13, 4. Jungen: 16, 15, 9, 11, 4. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen246810121416
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 6 + 3 + 14 + 13 + 4 = 40, 40 : 5 = 8
  2. Jungen: 16 + 15 + 9 + 11 + 4 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 11 − 8 = 3
  1. Mädchen: 6 + 3 + 14 + 13 + 4 = 40, 40 : 5 = 8
  2. Jungen: 16 + 15 + 9 + 11 + 4 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 11 − 8 = 3
Ergebnis:
Jungen, um 3 Treffer

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 39, 46, 27, 53, 15. Gruppe Falken: 53, 21, 41, 51, 39. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540455055
    So fängst du an:
    Gruppe Adler geordnet: 15, 27, 39, 46, 53, Median 39
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 15, 27, 39, 46, 53, Median 39
    2. Gruppe Falken geordnet: 21, 39, 41, 51, 53, Median 41
    3. 41 ist mehr als 39.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 41 gegen 39)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 11, 9, 22, 24, 14. Gruppe Falken: 23, 16, 9, 10, 27. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 9, 11, 14, 22, 24, Median 14
    2. Gruppe Falken geordnet: 9, 10, 16, 23, 27, Median 16
    3. 16 ist mehr als 14.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 16 gegen 14)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 24, 27, 8, 24, 17. Team Süd: 30, 10, 18, 10. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 24 + 27 + 8 + 24 + 17 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Team Süd: 30 + 10 + 18 + 10 = 68, 68 : 4 = 17
    3. 20 − 17 = 3
    Ergebnis:
    Team Nord, um 3 Punkte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 51, 8, 4, 8, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
  2. Geordnet: 4, 4, 8, 8, 51, Median 8
  3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
  2. Geordnet: 4, 4, 8, 8, 51, Median 8
  3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (8 statt 15)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 16, 23, 171, 23, 22. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 51 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160180
    So fängst du an:
    Geordnet: 16, 22, 23, 23, 171
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 16, 22, 23, 23, 171
    2. Median: 23
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 171.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 5, 8, 7, 57. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 17 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 5, 7, 8, 8, 57
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 57.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 17, 17, 10, 13, 28, 185. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 270 : 6 = 45
    2. Geordnet: 10, 13, 17, 17, 28, 185, Median 17
    3. Der Wert 185 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (17 statt 45)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 332 cm. Bekannt sind 318, 363, 344. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 332 = 1328
  2. Summe der bekannten: 318 + 363 + 344 = 1025
  3. 1328 − 1025 = 303
  1. Summe aller Werte: 4 · 332 = 1328
  2. Summe der bekannten: 318 + 363 + 344 = 1025
  3. 1328 − 1025 = 303
Ergebnis:
303 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 18 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 29, 19, 12. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
    2. Summe der bekannten: 29 + 19 + 12 = 60
    3. 72 − 60 = 12
    Ergebnis:
    12 Punkte
  2. ●8
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 307 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 356, 312, 273. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 307 = 1228
    2. Summe der bekannten: 356 + 312 + 273 = 941
    3. 1228 − 941 = 287
    Ergebnis:
    287 cm
  3. ★9
    Tim hat die Ergebnisse von 6 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 36 min. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 23, 47, 14, 48, 55. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher10203040506070?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 36 = 216
    2. Summe der bekannten: 23 + 47 + 14 + 48 + 55 = 187
    3. 216 − 187 = 29
    Ergebnis:
    29 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 24-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 22-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord24 von 50Team Süd22 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 2450 = 0,48
  2. Team Süd: 2240 = 0,55
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
  1. Team Nord: 2450 = 0,48
  2. Team Süd: 2240 = 0,55
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord18 von 40Team Süd12 von 50
    So fängst du an:
    Team Nord: 1840 = 0,45
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1840 = 0,45
    2. Team Süd: 1250 = 0,24
    3. 0,45 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,45)
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 18 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A18 von 50B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1850 = 0,36
    2. Klasse 6b: 1320 = 0,65
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 29-mal bei 40 Schüssen. Team West trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1825 = 0,72
    2. Team Süd: 2940 = 0,725
    3. Team West: 1020 = 0,5
    4. 0,725 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,725)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
RadBusgesamtKlasse 6a7??Klasse 6b91120gesamt?23?
Schritt für Schritt
  1. Spalte Bus: 23 − 11 = 12
  2. Zeile Klasse 6a: 7 + 12 = 19
  3. Insgesamt: 19 + 20 = 39
  1. Spalte Bus: 23 − 11 = 12
  2. Zeile Klasse 6a: 7 + 12 = 19
  3. Insgesamt: 19 + 20 = 39
Ergebnis:
39

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a4812Klasse 6b14?22gesamt181634
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6b: zusammen 22.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 22.
    2. 22 − 14 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 8 = 16
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 18 Kinder der Klasse 6a. 5 Kinder der Klasse 6a und 4 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 33 − 18 = 15
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 15 − 4 = 11
    3. Kontrolle: 5 + 13 + 4 + 11 = 33
    Ergebnis:
    11
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 19 Mädchen. 15 Mädchen und 10 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 36 − 19 = 17
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 17 − 10 = 7
    3. Kontrolle: 15 + 4 + 10 + 7 = 36
    Ergebnis:
    7

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer131989
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 3 : 50 = 0,06
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 3 : 50 = 0,06
Ergebnis:
0,06

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer191988
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 19 : 100 = 0,19
    3. 88 : 500 = 0,176
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,176
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer361684
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 84 : 500 = 0,168
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,168
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer22482393
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 82 : 200 = 0,41
    Ergebnis:
    0,41

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
Ergebnis:
6 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 2? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 2: 1 und 1
    3. 1 von 36, also 136 = 136
    Ergebnis:
    136

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 8, 19, 29, 19, 20. Gruppe Falken: 10, 28, 21, 24, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 8 + 19 + 29 + 19 + 20 = 95, 95 : 5 = 19
    2. Gruppe Falken: 10 + 28 + 21 + 24 + 17 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 − 19 = 1
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 1 Punkte
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 39, 40, 33, 36, 37. Gruppe Falken: 17, 54, 36, 27, 51. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 185 : 5 = 37
    2. Gruppe Adler: 40 − 33 = 7
    3. Gruppe Falken: 54 − 17 = 37
    4. Die Werte von Gruppe Adler liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 7 gegen 37)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 17, 21, 161, 29, 17. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. 161 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 245 : 5 = 49
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 161, Mittelwert 49 statt 21
  4. ●28
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 13 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 7, 11, 18. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    2. Summe der bekannten: 7 + 11 + 18 = 36
    3. 52 − 36 = 16
    Ergebnis:
    16 Treffer
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord7 von 10Team Süd8 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 710 = 0,7
    2. Team Süd: 825 = 0,32
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,7)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 10-mal geworfen. 2-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer2 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 210
    2. Gekürzt: 210 = 15
    3. Als Dezimalzahl: 2 : 10 = 0,2
    Ergebnis:
    15 = 0,2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 7, 9, 5, 14, 10. Jungen: 14, 5, 8, 10, 3. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen2468101214
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 9 gegen 8)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 10, 29, 15, 167, 14. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 167, Mittelwert 47 statt 17

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 13 Treffer. Bekannt sind 18, 18, 8, 10. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 6 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 10 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 25B10 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a5??Klasse 6b6713gesamt?14?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer11638171
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,342

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (Median 41 gegen 39)
  2. Gruppe Falken (Median 16 gegen 14)
  3. Team Nord, um 3 Punkte
  4. Nein, der Median 23 passt besser
  5. Nein, der Median 8 passt besser
  6. Median (17 statt 45)
  7. 12 Punkte
  8. 287 cm
  9. 29 min
  10. Team Nord (0,45)
  11. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  12. Team Süd (0,725)
  13. 8
  14. 11
  15. 7
  16. 0,176
  17. Nein, eher 0,168
  18. 0,41
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 2 Ergebnisse
  21. 136
  22. fair (18 zu 18)
  23. 2 Punkte
  24. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  25. Gruppe Falken, um 1 Punkte
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 7 gegen 37)
  27. Ausreißer 161, Mittelwert 49 statt 21
  28. 16 Treffer
  29. Team Nord (0,7)
  30. 15 = 0,2
  31. Mädchen (Median 9 gegen 8)
  32. Ausreißer 167, Mittelwert 47 statt 17
  33. 11 Treffer
  34. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  35. 25
  36. Nein, eher 0,342
  37. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  38. x̄ = 8,2
  39. Median 11; Spannweite 11