Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 13, 14, 8, 6, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,8
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 16, 19, 3, 9. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 9, 16, 17, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 16
    3. Spannweite = 19 − 3 = 16
    Ergebnis:
    Median 16; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 34, 26, 32, 27, 6. Jungen: 18, 14, 30, 26, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
MädchenJungen5101520253035
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 34 + 26 + 32 + 27 + 6 = 125, 125 : 5 = 25
  2. Jungen: 18 + 14 + 30 + 26 + 12 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 25 ist mehr als 20.
  1. Mädchen: 34 + 26 + 32 + 27 + 6 = 125, 125 : 5 = 25
  2. Jungen: 18 + 14 + 30 + 26 + 12 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 25 ist mehr als 20.
Ergebnis:
Mädchen (25 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 15, 28, 22, 23, 22. Gruppe Falken: 28, 12, 22, 21, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken121416182022242628
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 15 + 28 + 22 + 23 + 22 = 110, 110 : 5 = 22
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 15 + 28 + 22 + 23 + 22 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Gruppe Falken: 28 + 12 + 22 + 21 + 17 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 22 − 20 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 2 Punkte
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 8, 23, 10, 16, 33. Jungen: 19, 23, 40, 10, 38. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 8, 10, 16, 23, 33, Median 16
    2. Jungen geordnet: 10, 19, 23, 38, 40, Median 23
    3. 23 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 23 gegen 16)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 19, 19, 25, 22, 15, 14. Gruppe Falken: 14, 28, 14, 28. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1416182022242628
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 14, 15, 19, 19, 22, 25, Median 19
    2. Gruppe Falken geordnet: 14, 14, 28, 28, Median 21
    3. 21 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 21 gegen 19)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 25, 316, 58, 25, 36. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 92 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 25, 25, 36, 58, 316
  2. Median: 36
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 316.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 25, 25, 36, 58, 316
  2. Median: 36
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 316.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 36 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 4, 36, 3, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 9, 42, 4, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 42 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
    3. Ohne ihn: 28 : 4 = 7
    Ergebnis:
    Ausreißer 42, Mittelwert 14 statt 7
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 14, 20, 223, 28, 22, 11. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 53 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 11, 14, 20, 22, 28, 223
    2. Median: 21
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 223.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 21 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 27 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 21, 41, 32. Welches Ergebnis fehlt?
bisher20253035404550?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 27 = 108
  2. Summe der bekannten: 21 + 41 + 32 = 94
  3. 108 − 94 = 14
  1. Summe aller Werte: 4 · 27 = 108
  2. Summe der bekannten: 21 + 41 + 32 = 94
  3. 108 − 94 = 14
Ergebnis:
14 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 304 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 324, 255, 366, 330. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 304 = 1520
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 304 = 1520
    2. Summe der bekannten: 324 + 255 + 366 + 330 = 1275
    3. 1520 − 1275 = 245
    Ergebnis:
    245 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 41 min. Bekannt sind 26, 56, 55, 36. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 41 = 205
    2. Summe der bekannten: 26 + 56 + 55 + 36 = 173
    3. 205 − 173 = 32
    Ergebnis:
    32 min
  3. ★9
    Mila möchte bei 6 Lesetagen im Mittel genau 27 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 29, 19, 11, 30, 19. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 27 = 162
    2. Summe der bekannten: 29 + 19 + 11 + 30 + 19 = 108
    3. 162 − 108 = 54
    Ergebnis:
    54 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 33 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 25 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A33 von 50B25 von 40
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 3350 = 0,66
  2. Schule am See: 2540 = 0,625
  3. 0,66 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 3350 = 0,66
  2. Schule am See: 2540 = 0,625
  3. 0,66 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,66)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 12 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 19 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 20B19 von 50
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1220 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1220 = 0,6
    2. Fußball-AG: 1950 = 0,38
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 32 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A7 von 10B32 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 710 = 0,7
    2. Fußball-AG: 3250 = 0,64
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 3-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord5 von 25Team Süd3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 525 = 0,2
    2. Team Süd: 310 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
RadBusgesamtKlasse 6a?1125Klasse 6b14317gesamt281442
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 25.
  2. 25 − 11 = 14
  3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 14 = 28
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 25.
  2. 25 − 11 = 14
  3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 14 = 28
Ergebnis:
14

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 510818Klasse 611?14gesamt211132
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6: zusammen 14.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 14.
    2. 14 − 11 = 3
    3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 8 = 11
    Ergebnis:
    3
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen11314Jungen?417gesamt24731
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 17.
    2. 17 − 4 = 13
    3. Kontrolle mit der Spalte: 13 + 11 = 24
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen12??Jungen141327gesamt?21?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 21 − 13 = 8
    2. Zeile Mädchen: 12 + 8 = 20
    3. Insgesamt: 20 + 27 = 47
    Ergebnis:
    47

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer2131878
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 78 : 500 = 0,156
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 78 : 500 = 0,156
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
Ergebnis:
Nein, eher 0,156

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer151585
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 15 : 100 = 0,15
    3. 85 : 500 = 0,17
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,17
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer1121687
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 87 : 500 = 0,174
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,174
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer4733159
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 159 : 1000 = 0,159
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,159

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 5? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. 4 von 36, also 436 = 19
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. 4 von 36, also 436 = 19
Ergebnis:
19

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 3 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 3: 3 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 3 + 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 24, 29, 27, 19, 11. Team Süd: 26, 23, 8, 19, 19. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 24 + 29 + 27 + 19 + 11 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Team Süd: 26 + 23 + 8 + 19 + 19 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 22 − 19 = 3
    Ergebnis:
    Team Nord, um 3 Punkte
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 11, 10, 13, 10, 11. Jungen: 6, 13, 12, 17, 7. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 55 : 5 = 11
    2. Mädchen: 13 − 10 = 3
    3. Jungen: 17 − 6 = 11
    4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 3 gegen 11)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 30, 16, 197, 19. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. 197 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 285 : 5 = 57
    3. Ohne ihn: 88 : 4 = 22
    Ergebnis:
    Ausreißer 197, Mittelwert 57 statt 22
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 34 min. Bekannt sind 11, 55, 31, 54. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 34 = 170
    2. Summe der bekannten: 11 + 55 + 31 + 54 = 151
    3. 170 − 151 = 19
    Ergebnis:
    19 min
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 24 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 34 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A24 von 40B34 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2440 = 0,6
    2. Fußball-AG: 3450 = 0,68
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,68)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 13 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1320
    2. 1320 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 13 : 20 = 0,65
    Ergebnis:
    1320 = 0,65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 19, 24, 37, 10, 15. Jungen: 31, 23, 27, 17, 17. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen (23 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 5, 8, 45, 3. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 16, 17. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher161718?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 20-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord16 von 50Team Süd20 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (0,8)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a12??Klasse 6b131225gesamt?17?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler, um 2 Punkte
  2. Jungen (Median 23 gegen 16)
  3. Gruppe Falken (Median 21 gegen 19)
  4. Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  5. Ausreißer 42, Mittelwert 14 statt 7
  6. Nein, der Median 21 passt besser
  7. 245 cm
  8. 32 min
  9. 54 min
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  12. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  13. 3
  14. 13
  15. 47
  16. 0,17
  17. Nein, eher 0,174
  18. Nein, eher 0,159
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 19
  21. 6 Ergebnisse
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. 2 Punkte
  25. Team Nord, um 3 Punkte
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 3 gegen 11)
  27. Ausreißer 197, Mittelwert 57 statt 22
  28. 19 min
  29. Fußball-AG (0,68)
  30. 1320 = 0,65
  31. Jungen (23 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  32. Nein, der Median 5 passt besser
  33. 27 Punkte
  34. Team Süd (0,8)
  35. 42
  36. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  37. x̄ = 8,8
  38. Median 16; Spannweite 16