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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 9, 8, 1, 14, 15. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,4
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 19, 12, 3, 13. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 12, 13, 17, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 19 − 3 = 16
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 36, 20, 28, 6, 30. Gruppe Falken: 25, 29, 27, 9, 40. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 36 + 20 + 28 + 6 + 30 = 120, 120 : 5 = 24
  2. Gruppe Falken: 25 + 29 + 27 + 9 + 40 = 130, 130 : 5 = 26
  3. 26 ist mehr als 24.
  1. Gruppe Adler: 36 + 20 + 28 + 6 + 30 = 120, 120 : 5 = 24
  2. Gruppe Falken: 25 + 29 + 27 + 9 + 40 = 130, 130 : 5 = 26
  3. 26 ist mehr als 24.
Ergebnis:
Gruppe Falken (26 Hundert Schritte gegen 24 Hundert Schritte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 6, 4, 17, 10, 18. Team Süd: 11, 18, 3, 4, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    So fängst du an:
    Team Nord: 6 + 4 + 17 + 10 + 18 = 55, 55 : 5 = 11
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 6 + 4 + 17 + 10 + 18 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Team Süd: 11 + 18 + 3 + 4 + 9 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 11 − 9 = 2
    Ergebnis:
    Team Nord, um 2 Treffer
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 12, 3, 13, 16, 11. Team Süd: 18, 3, 8, 13, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 3, 11, 12, 13, 16, Median 12
    2. Team Süd geordnet: 3, 8, 8, 13, 18, Median 8
    3. 12 ist mehr als 8.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 12 gegen 8)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 15, 44, 34, 13, 41, 33. Gruppe Falken: 22, 57, 22, 23. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 15 + 44 + 34 + 13 + 41 + 33 = 180, 180 : 6 = 30
    2. Gruppe Falken: 22 + 57 + 22 + 23 = 124, 124 : 4 = 31
    3. 31 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (31 min gegen 30 min)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 3, 9, 5, 55, 3. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 3, 3, 5, 9, 55
  2. Median: 5
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 3, 3, 5, 9, 55
  2. Median: 5
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 5 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 389, 21, 45, 29, 41. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    So fängst du an:
    Mittelwert: 525 : 5 = 105
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 525 : 5 = 105
    2. Geordnet: 21, 29, 41, 45, 389, Median 41
    3. Der Wert 389 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (41 statt 105)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 217, 24, 12, 15, 17. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 57 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 15, 17, 24, 217
    2. Median: 17
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 217.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 17 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 23, 28, 238, 20, 16. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 238 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 348 : 6 = 58
    3. Ohne ihn: 110 : 5 = 22
    Ergebnis:
    Ausreißer 238, Mittelwert 58 statt 22

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 13 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 5, 13, 16. Was braucht Noah beim letzten Mal?
bisher4681012141618?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
  2. Summe der bekannten: 5 + 13 + 16 = 34
  3. 52 − 34 = 18
  1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
  2. Summe der bekannten: 5 + 13 + 16 = 34
  3. 52 − 34 = 18
Ergebnis:
18 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 21 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 29, 15, 15. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher14161820222426283032?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 21 = 84
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 21 = 84
    2. Summe der bekannten: 29 + 15 + 15 = 59
    3. 84 − 59 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte
  2. ●8
    Aylin möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 8 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 6, 7, 14, 8. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher6789101112131415?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 8 = 40
    2. Summe der bekannten: 6 + 7 + 14 + 8 = 35
    3. 40 − 35 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer
  3. ★9
    Noah möchte bei 6 Weitsprüngen im Mittel genau 303 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 389, 343, 257, 272, 302. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 303 = 1818
    2. Summe der bekannten: 389 + 343 + 257 + 272 + 302 = 1563
    3. 1818 − 1563 = 255
    Ergebnis:
    255 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 34 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A34 von 50B6 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 3450 = 0,68
  2. Schule am See: 610 = 0,6
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 3450 = 0,68
  2. Schule am See: 610 = 0,6
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,68)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 34-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 20-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord34 von 50Team Süd20 von 25
    So fängst du an:
    Team Nord: 3450 = 0,68
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 3450 = 0,68
    2. Team Süd: 2025 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 3 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A3 von 10B14 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 310 = 0,3
    2. Schule am See: 1450 = 0,28
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 25-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord18 von 25Team Süd25 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1825 = 0,72
    2. Team Süd: 2550 = 0,5
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
AG jaAG neingesamtKlasse 512??Klasse 67916gesamt?21?
Schritt für Schritt
  1. Spalte AG nein: 21 − 9 = 12
  2. Zeile Klasse 5: 12 + 12 = 24
  3. Insgesamt: 24 + 16 = 40
  1. Spalte AG nein: 21 − 9 = 12
  2. Zeile Klasse 5: 12 + 12 = 24
  3. Insgesamt: 24 + 16 = 40
Ergebnis:
40

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen151227Jungen5?17gesamt202444
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 17.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 17.
    2. 17 − 5 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 12 = 24
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?613Klasse 6b121123gesamt191736
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 13.
    2. 13 − 6 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 12 = 19
    Ergebnis:
    7
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 27 Kinder mit, davon sind 17 Kinder aus Klasse 5. 12 Kinder aus Klasse 5 und 4 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 27 − 17 = 10
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 10 − 4 = 6
    3. Kontrolle: 12 + 5 + 4 + 6 = 27
    Ergebnis:
    6

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer31227151
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 27 : 100 = 0,27
  3. 151 : 500 = 0,302
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 27 : 100 = 0,27
  3. 151 : 500 = 0,302
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,302

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51843229
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 43 : 100 = 0,43
    Ergebnis:
    0,43
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer4112195
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 21 : 100 = 0,21
    Ergebnis:
    0,21
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer62276395
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 76 : 200 = 0,38
    3. 395 : 1000 = 0,395
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,395

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
Ergebnis:
4 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 340, 385, 299, 337, 279. Team Süd: 250, 376, 361, 316, 382. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 279, 299, 337, 340, 385, Median 337
    2. Team Süd geordnet: 250, 316, 361, 376, 382, Median 361
    3. 361 ist mehr als 337.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 361 gegen 337)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 17, 10, 10, 17, 6. Jungen: 13, 14, 12, 10, 11. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 17 − 6 = 11
    2. Jungen: 14 − 10 = 4
    3. Die kleinere Spannweite hat Jungen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 11)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 6, 56, 7, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 56 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  4. ●28
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 326 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 385, 323, 372, 248. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 326 = 1630
    2. Summe der bekannten: 385 + 323 + 372 + 248 = 1328
    3. 1630 − 1328 = 302
    Ergebnis:
    302 cm
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord5 von 10Team Süd6 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 510 = 0,5
    2. Team Süd: 620 = 0,3
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,5)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 38-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer38 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 3850
    2. Gekürzt: 3850 = 1925
    3. Als Dezimalzahl: 38 : 50 = 0,76
    Ergebnis:
    1925 = 0,76

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 8, 7, 10, 9, 6. Jungen: 16, 9, 16, 3, 16. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen246810121416
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen (12 Treffer gegen 8 Treffer)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 48, 348, 42, 42, 40. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 348, Mittelwert 104 statt 43

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 22 Punkte. Bekannt sind 29, 17, 17. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 16 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 20B16 von 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,65)

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Mila und Ben werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord, um 2 Treffer
  2. Team Nord (Median 12 gegen 8)
  3. Gruppe Falken (31 min gegen 30 min)
  4. Median (41 statt 105)
  5. Nein, der Median 17 passt besser
  6. Ausreißer 238, Mittelwert 58 statt 22
  7. 25 Punkte
  8. 5 Treffer
  9. 255 cm
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  12. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  13. 12
  14. 7
  15. 6
  16. 0,43
  17. 0,21
  18. 0,395
  19. 4 Ergebnisse
  20. 19
  21. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  22. 2 Punkte
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  25. Team Süd (Median 361 gegen 337)
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 11)
  27. Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  28. 302 cm
  29. Team Nord (0,5)
  30. 1925 = 0,76
  31. Jungen (12 Treffer gegen 8 Treffer)
  32. Ausreißer 348, Mittelwert 104 statt 43
  33. 25 Punkte
  34. Theater-AG (0,65)
  35. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  36. x̄ = 9,4
  37. Median 13; Spannweite 16