Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 9, 2, 6, 2, 2. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 4,2
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 20, 5, 6, 19, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 6, 6, 19, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 6
    3. Spannweite = 20 − 5 = 15
    Ergebnis:
    Median 6; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 17, 12, 17, 11, 28. Team Süd: 30, 12, 8, 12, 28. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Team NordTeam Süd51015202530
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 11, 12, 17, 17, 28, Median 17
  2. Team Süd geordnet: 8, 12, 12, 28, 30, Median 12
  3. 17 ist mehr als 12.
  1. Team Nord geordnet: 11, 12, 17, 17, 28, Median 17
  2. Team Süd geordnet: 8, 12, 12, 28, 30, Median 12
  3. 17 ist mehr als 12.
Ergebnis:
Team Nord (Median 17 gegen 12)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 12, 17, 14, 12. Team Süd: 16, 12, 3, 10, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    So fängst du an:
    Team Nord: 10 + 12 + 17 + 14 + 12 = 65, 65 : 5 = 13
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 10 + 12 + 17 + 14 + 12 = 65, 65 : 5 = 13
    2. Team Süd: 16 + 12 + 3 + 10 + 9 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 13 − 10 = 3
    Ergebnis:
    Team Nord, um 3 Treffer
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 22, 17, 21, 18, 12. Gruppe Falken: 16, 28, 13, 13, 10. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 12, 17, 18, 21, 22, Median 18
    2. Gruppe Falken geordnet: 10, 13, 13, 16, 28, Median 13
    3. 18 ist mehr als 13.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 18 gegen 13)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 39, 36, 11, 21, 13. Gruppe Falken: 15, 39, 19, 15, 22, 28. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 39 + 36 + 11 + 21 + 13 = 120, 120 : 5 = 24
    2. Gruppe Falken: 15 + 39 + 19 + 15 + 22 + 28 = 138, 138 : 6 = 23
    3. 24 ist mehr als 23.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (24 Hundert Schritte gegen 23 Hundert Schritte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 9, 4, 2, 35. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Werte05101520253035
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 55 : 5 = 11
  2. Geordnet: 2, 4, 5, 9, 35, Median 5
  3. Der Wert 35 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 55 : 5 = 11
  2. Geordnet: 2, 4, 5, 9, 35, Median 5
  3. Der Wert 35 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (5 statt 11)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 17, 12, 220, 25, 26. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 60 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Geordnet: 12, 17, 25, 26, 220
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 17, 25, 26, 220
    2. Median: 25
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 220.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 25 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 40, 3, 5, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 3, 5, 5, 7, 40, Median 5
    3. Der Wert 40 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (5 statt 12)
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 48, 5, 4, 9, 3. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 4, 5, 9, 9, 48
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 48.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 12, 19, 21. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 12 + 19 + 21 = 52
  3. 76 − 52 = 24
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 12 + 19 + 21 = 52
  3. 76 − 52 = 24
Ergebnis:
24 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 322 cm. Bekannt sind 262, 333, 351, 376. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 322 = 1610
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 322 = 1610
    2. Summe der bekannten: 262 + 333 + 351 + 376 = 1322
    3. 1610 − 1322 = 288
    Ergebnis:
    288 cm
  2. ●8
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 36 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 59, 50, 43, 13. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher10203040506070?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 36 = 180
    2. Summe der bekannten: 59 + 50 + 43 + 13 = 165
    3. 180 − 165 = 15
    Ergebnis:
    15 min
  3. ★9
    Noah hat in 5 Spielen im Mittel 6 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 8 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 6 = 30
    2. Summe nachher: 6 · 8 = 48
    3. 48 − 30 = 18
    Ergebnis:
    18 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 5 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 8 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A5 von 25B8 von 20
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 525 = 0,2
  2. Klasse 6b: 820 = 0,4
  3. 0,4 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 525 = 0,2
  2. Klasse 6b: 820 = 0,4
  3. 0,4 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6b (0,4)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 10 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 6 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 40B6 von 10
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1040 = 0,25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1040 = 0,25
    2. Fußball-AG: 610 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 16 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 30 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A16 von 20B30 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1620 = 0,8
    2. Schule am See: 3040 = 0,75
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 16 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 15 von 50 Kindern ein Haustier. In der Chor-AG haben 7 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A16 von 20B15 von 50C7 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1620 = 0,8
    2. Fußball-AG: 1550 = 0,3
    3. Chor-AG: 725 = 0,28
    4. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,8)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
RadBusgesamtKlasse 6a6?10Klasse 6b4812gesamt101222
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 10.
  2. 10 − 6 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 8 = 12
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 10.
  2. 10 − 6 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 8 = 12
Ergebnis:
4

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 58?16Klasse 612921gesamt201737
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 5: zusammen 16.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 16.
    2. 16 − 8 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 9 = 17
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a14??Klasse 6b10818gesamt?14?
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 14 − 8 = 6
    2. Zeile Klasse 6a: 14 + 6 = 20
    3. Insgesamt: 20 + 18 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Haustierkein TiergesamtMädchen358Jungen6410gesamt9918
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 38 = 0,375
    2. Jungen: 610 = 0,6
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Jungen (0,6)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer22149231
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 49 : 100 = 0,49
  3. 231 : 500 = 0,462
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 49 : 100 = 0,49
  3. 231 : 500 = 0,462
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,462

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer42648227
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 48 : 100 = 0,48
    Ergebnis:
    0,48
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer32147221
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 21 : 50 = 0,42
    Ergebnis:
    0,42
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer31753259
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 53 : 200 = 0,265
    Ergebnis:
    0,265

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 5 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 5: 1 und 5; 5 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 54, 30, 35, 46, 25. Gruppe Falken: 56, 42, 28, 27, 22. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken202530354045505560
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 54 + 30 + 35 + 46 + 25 = 190, 190 : 5 = 38
    2. Gruppe Falken: 56 + 42 + 28 + 27 + 22 = 175, 175 : 5 = 35
    3. 38 − 35 = 3
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 3 min
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 29, 25, 11, 18, 12. Team Süd: 20, 17, 19, 18, 21. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 29 − 11 = 18
    2. Team Süd: 21 − 17 = 4
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 18)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 55, 4, 6, 3, 7. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 55 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 55, Mittelwert 15 statt 5
  4. ●28
    Noah möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 8 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 3, 13, 10, 6. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher246810121416?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 8 = 40
    2. Summe der bekannten: 3 + 13 + 10 + 6 = 32
    3. 40 − 32 = 8
    Ergebnis:
    8 Treffer
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 20 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A20 von 50B6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2050 = 0,4
    2. Schule am See: 610 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 20-mal geworfen. 4-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer4 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 420
    2. Gekürzt: 420 = 15
    3. Als Dezimalzahl: 4 : 20 = 0,2
    Ergebnis:
    15 = 0,2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 28, 23, 27, 9, 23. Gruppe Falken: 28, 10, 24, 30, 8. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (22 Punkte gegen 20 Punkte)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 41, 2, 5, 9. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 10 Treffer. Bekannt sind 5, 16, 17, 5. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 11 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A11 von 50B4 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?520Klasse 6b15318gesamt30838
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord, um 3 Treffer
  2. Gruppe Adler (Median 18 gegen 13)
  3. Gruppe Adler (24 Hundert Schritte gegen 23 Hundert Schritte)
  4. Nein, der Median 25 passt besser
  5. Median (5 statt 12)
  6. Nein, der Median 7 passt besser
  7. 288 cm
  8. 15 min
  9. 18 Punkte
  10. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  11. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  12. Theater-AG (0,8)
  13. 8
  14. 38
  15. Jungen (0,6)
  16. 0,48
  17. 0,42
  18. 0,265
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. 2 Punkte
  24. fair (15 zu 15)
  25. Gruppe Adler, um 3 min
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 18)
  27. Ausreißer 55, Mittelwert 15 statt 5
  28. 8 Treffer
  29. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  30. 15 = 0,2
  31. Gruppe Adler (22 Punkte gegen 20 Punkte)
  32. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  33. 7 Treffer
  34. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  35. 15
  36. 3 Punkte
  37. x̄ = 4,2
  38. Median 6; Spannweite 15