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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 7, 12, 5, 13, 5. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,4
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 5, 8, 19, 19. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 7, 8, 19, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 19 − 5 = 14
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 7, 9, 18, 3, 13. Jungen: 14, 9, 5, 17, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
MädchenJungen24681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 7 + 9 + 18 + 3 + 13 = 50, 50 : 5 = 10
  2. Jungen: 14 + 9 + 5 + 17 + 10 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 11 ist mehr als 10.
  1. Mädchen: 7 + 9 + 18 + 3 + 13 = 50, 50 : 5 = 10
  2. Jungen: 14 + 9 + 5 + 17 + 10 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 11 ist mehr als 10.
Ergebnis:
Jungen (11 Treffer gegen 10 Treffer)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 306, 274, 281, 275, 379. Gruppe Falken: 366, 281, 334, 279, 385. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 306 + 274 + 281 + 275 + 379 = 1515, 1515 : 5 = 303
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 306 + 274 + 281 + 275 + 379 = 1515, 1515 : 5 = 303
    2. Gruppe Falken: 366 + 281 + 334 + 279 + 385 = 1645, 1645 : 5 = 329
    3. 329 ist mehr als 303.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (329 cm gegen 303 cm)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 11, 14, 5, 15, 10. Team Süd: 7, 13, 13, 10, 17. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 5, 10, 11, 14, 15, Median 11
    2. Team Süd geordnet: 7, 10, 13, 13, 17, Median 13
    3. 13 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 13 gegen 11)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 8, 38, 21, 36, 37. Gruppe Falken: 33, 9, 22, 16. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 8 + 38 + 21 + 36 + 37 = 140, 140 : 5 = 28
    2. Gruppe Falken: 33 + 9 + 22 + 16 = 80, 80 : 4 = 20
    3. 28 − 20 = 8
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 8 Hundert Schritte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 30, 16, 249, 15, 15. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 325 : 5 = 65
  2. Geordnet: 15, 15, 16, 30, 249, Median 16
  3. Der Wert 249 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 325 : 5 = 65
  2. Geordnet: 15, 15, 16, 30, 249, Median 16
  3. Der Wert 249 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (16 statt 65)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 7, 37, 3, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    Mittelwert: 65 : 5 = 13
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 3, 7, 9, 9, 37, Median 9
    3. Der Wert 37 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (9 statt 13)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 20, 14, 15, 214. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 290 : 5 = 58
    2. Geordnet: 14, 15, 20, 27, 214, Median 20
    3. Der Wert 214 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20 statt 58)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 6, 6, 53, 3, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 78 : 6 = 13
    2. Geordnet: 3, 4, 6, 6, 6, 53, Median 6
    3. Der Wert 53 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 13)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 22 Punkte. Bekannt sind 28, 23, 20, 27. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 22 = 110
  2. Summe der bekannten: 28 + 23 + 20 + 27 = 98
  3. 110 − 98 = 12
  1. Summe aller Werte: 5 · 22 = 110
  2. Summe der bekannten: 28 + 23 + 20 + 27 = 98
  3. 110 − 98 = 12
Ergebnis:
12 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 34 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 52, 38, 36. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher36384042444648505254?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 34 = 136
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 34 = 136
    2. Summe der bekannten: 52 + 38 + 36 = 126
    3. 136 − 126 = 10
    Ergebnis:
    10 min
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 315 cm. Bekannt sind 359, 354, 249. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 315 = 1260
    2. Summe der bekannten: 359 + 354 + 249 = 962
    3. 1260 − 962 = 298
    Ergebnis:
    298 cm
  3. ★9
    Aylin möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 16 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 15, 12, 9, 22. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher81012141618202224?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 16 = 96
    2. Summe der bekannten: 16 + 15 + 12 + 9 + 22 = 74
    3. 96 − 74 = 22
    Ergebnis:
    22 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 33-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord8 von 10Team Süd33 von 50
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 810 = 0,8
  2. Team Süd: 3350 = 0,66
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
  1. Team Nord: 810 = 0,8
  2. Team Süd: 3350 = 0,66
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 24 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 9 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A24 von 40B9 von 20
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 2440 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2440 = 0,6
    2. Klasse 6b: 920 = 0,45
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,6)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 37 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 3 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A37 von 50B3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 3750 = 0,74
    2. Fußball-AG: 310 = 0,3
    3. 0,74 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,74)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 26-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord26 von 50Team Süd12 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2650 = 0,52
    2. Team Süd: 1225 = 0,48
    3. 0,52 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,52)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 22 Mädchen. 12 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 40 − 22 = 18
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 18 − 5 = 13
  3. Kontrolle: 12 + 10 + 5 + 13 = 40
  1. Jungen: 40 − 22 = 18
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 18 − 5 = 13
  3. Kontrolle: 12 + 10 + 5 + 13 = 40
Ergebnis:
13

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen7815Jungen4?10gesamt111425
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 10.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 10.
    2. 10 − 4 = 6
    3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 8 = 14
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen11?17Jungen13922gesamt241539
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 17.
    2. 17 − 11 = 6
    3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 9 = 15
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Frühstück“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen71825Jungen22325gesamt94150
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 725 = 0,28
    2. Jungen: 225 = 0,08
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Mädchen (0,28)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,6.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer62441196
Schritt für Schritt
  1. 6 : 10 = 0,6
  2. 196 : 500 = 0,392
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
  1. 6 : 10 = 0,6
  2. 196 : 500 = 0,392
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
Ergebnis:
Nein, eher 0,392

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer2101484
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 84 : 500 = 0,168
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,168
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer52029145
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 29 : 100 = 0,29
    Ergebnis:
    0,29
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer11064290
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 290 : 1000 = 0,29
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,29.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,29

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. 3 von 36, also 336 = 112
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 5? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Mila und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 5, 7, 4, 6, 18. Jungen: 9, 7, 14, 4, 11. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 5 + 7 + 4 + 6 + 18 = 40, 40 : 5 = 8
    2. Jungen: 9 + 7 + 14 + 4 + 11 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 9 − 8 = 1
    Ergebnis:
    Jungen, um 1 Treffer
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 37, 42, 41, 36, 44. Jungen: 51, 38, 38, 32, 41. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen303540455055
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 44 − 36 = 8
    2. Jungen: 51 − 32 = 19
    3. Die kleinere Spannweite hat Mädchen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 8 gegen 19)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 51, 48, 24, 340, 37. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 100 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 24, 37, 48, 51, 340
    2. Median: 48
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 340.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 48 passt besser
  4. ●28
    Tim möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 41 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 42, 33, 40. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher32343638404244?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
    2. Summe der bekannten: 42 + 33 + 40 = 115
    3. 164 − 115 = 49
    Ergebnis:
    49 min
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 25 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B25 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 810 = 0,8
    2. Fußball-AG: 2550 = 0,5
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,8)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 100-mal geworfen. 78-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer78 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 78100
    2. Gekürzt: 78100 = 3950
    3. Als Dezimalzahl: 78 : 100 = 0,78
    Ergebnis:
    3950 = 0,78

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 18, 3, 6, 6, 12. Jungen: 10, 5, 12, 12, 16. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen, um 2 Treffer

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 45, 43, 33, 23, 391. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 107 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 43 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 21 Punkte. Bekannt sind 25, 17, 14, 30. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19 Punkte

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 20 Mädchen. 12 Mädchen und 4 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer32038171
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,342

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (329 cm gegen 303 cm)
  2. Team Süd (Median 13 gegen 11)
  3. Gruppe Adler, um 8 Hundert Schritte
  4. Median (9 statt 13)
  5. Median (20 statt 58)
  6. Median (6 statt 13)
  7. 10 min
  8. 298 cm
  9. 22 Punkte
  10. Klasse 6a (0,6)
  11. Theater-AG (0,74)
  12. Team Nord (0,52)
  13. 6
  14. 6
  15. Mädchen (0,28)
  16. Nein, eher 0,168
  17. 0,29
  18. Nein, eher 0,29
  19. 118
  20. 19
  21. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Jungen, um 1 Treffer
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 8 gegen 19)
  27. Nein, der Median 48 passt besser
  28. 49 min
  29. Theater-AG (0,8)
  30. 3950 = 0,78
  31. Jungen, um 2 Treffer
  32. Nein, der Median 43 passt besser
  33. 19 Punkte
  34. 9
  35. Nein, eher 0,342
  36. 2 Punkte
  37. x̄ = 8,4
  38. Median 8; Spannweite 14