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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 14, 15, 1, 11, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,4
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 13, 15, 9, 7, 20. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 9, 13, 15, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 20 − 7 = 13
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 9, 29, 29, 40, 18. Jungen: 39, 23, 11, 8, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 9 + 29 + 29 + 40 + 18 = 125, 125 : 5 = 25
  2. Jungen: 39 + 23 + 11 + 8 + 9 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 25 − 18 = 7
  1. Mädchen: 9 + 29 + 29 + 40 + 18 = 125, 125 : 5 = 25
  2. Jungen: 39 + 23 + 11 + 8 + 9 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 25 − 18 = 7
Ergebnis:
Mädchen, um 7 Hundert Schritte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 30, 9, 18, 21, 27. Team Süd: 17, 28, 19, 11, 20. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    So fängst du an:
    Team Nord: 30 + 9 + 18 + 21 + 27 = 105, 105 : 5 = 21
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 30 + 9 + 18 + 21 + 27 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Team Süd: 17 + 28 + 19 + 11 + 20 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 21 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Team Nord (21 Punkte gegen 19 Punkte)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 29, 28, 20, 14, 9. Gruppe Falken: 9, 8, 18, 30, 25. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 29 + 28 + 20 + 14 + 9 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Falken: 9 + 8 + 18 + 30 + 25 = 90, 90 : 5 = 18
    3. 20 − 18 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 2 Punkte
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 45, 59, 12, 42, 22. Gruppe Falken: 58, 46, 36, 33, 10, 57. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 45 + 59 + 12 + 42 + 22 = 180, 180 : 5 = 36
    2. Gruppe Falken: 58 + 46 + 36 + 33 + 10 + 57 = 240, 240 : 6 = 40
    3. 40 − 36 = 4
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 4 min

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 15, 26, 241, 16. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. 241 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 325 : 5 = 65
  3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
  1. 241 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 325 : 5 = 65
  3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
Ergebnis:
Ausreißer 241, Mittelwert 65 statt 21

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 45, 51, 296, 41, 27. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 92 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    So fängst du an:
    Geordnet: 27, 41, 45, 51, 296
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 27, 41, 45, 51, 296
    2. Median: 45
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 296.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 45 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 9, 51, 2, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 51
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 29, 13, 11, 189, 22, 30. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. 189 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 294 : 6 = 49
    3. Ohne ihn: 105 : 5 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 189, Mittelwert 49 statt 21

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 36 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 45, 26, 20. Was braucht Tim beim letzten Mal?
bisher20253035404550?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 36 = 144
  2. Summe der bekannten: 45 + 26 + 20 = 91
  3. 144 − 91 = 53
  1. Summe aller Werte: 4 · 36 = 144
  2. Summe der bekannten: 45 + 26 + 20 = 91
  3. 144 − 91 = 53
Ergebnis:
53 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 43 min. Bekannt sind 39, 22, 53, 45. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 43 = 215
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 43 = 215
    2. Summe der bekannten: 39 + 22 + 53 + 45 = 159
    3. 215 − 159 = 56
    Ergebnis:
    56 min
  2. ●8
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 337 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 253, 348, 380. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 337 = 1348
    2. Summe der bekannten: 253 + 348 + 380 = 981
    3. 1348 − 981 = 367
    Ergebnis:
    367 cm
  3. ★9
    Tim hat die Ergebnisse von 6 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 325 cm. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 254, 374, 351, 378, 262. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 325 = 1950
    2. Summe der bekannten: 254 + 374 + 351 + 378 + 262 = 1619
    3. 1950 − 1619 = 331
    Ergebnis:
    331 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 19 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 4 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A19 von 50B4 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 1950 = 0,38
  2. Schule am See: 410 = 0,4
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
  1. Schule am Park: 1950 = 0,38
  2. Schule am See: 410 = 0,4
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 7 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A7 von 25B5 von 10
    So fängst du an:
    Theater-AG: 725 = 0,28
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 725 = 0,28
    2. Fußball-AG: 510 = 0,5
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,5)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 29 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A2 von 10B29 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 210 = 0,2
    2. Schule am See: 2940 = 0,725
    3. 0,725 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,725)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 8 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 15 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 20B15 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 820 = 0,4
    2. Klasse 6b: 1525 = 0,6
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,6)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben nicht gefrühstückt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen13?21Jungen91423gesamt222244
Schritt für Schritt
  1. Zeile Mädchen: zusammen 21.
  2. 21 − 13 = 8
  3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 14 = 22
  1. Zeile Mädchen: zusammen 21.
  2. 21 − 13 = 8
  3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 14 = 22
Ergebnis:
8

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 15 Mädchen. 5 Mädchen und 9 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 38 − 15 = 23
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 38 − 15 = 23
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 23 − 9 = 14
    3. Kontrolle: 5 + 10 + 9 + 14 = 38
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 6 Mädchen und 15 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 36 − 18 = 18
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 18 − 15 = 3
    3. Kontrolle: 6 + 12 + 15 + 3 = 36
    Ergebnis:
    3
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen7??Jungen131225gesamt?16?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 16 − 12 = 4
    2. Zeile Mädchen: 7 + 4 = 11
    3. Insgesamt: 11 + 25 = 36
    Ergebnis:
    36

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer291389
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 13 : 100 = 0,13
  3. 89 : 500 = 0,178
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 13 : 100 = 0,13
  3. 89 : 500 = 0,178
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,178

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer32033173
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 33 : 100 = 0,33
    3. 173 : 500 = 0,346
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,346
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer51538174
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 38 : 100 = 0,38
    3. 174 : 500 = 0,348
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,348
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer1941211
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 211 : 1000 = 0,211
    Ergebnis:
    0,211

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 6 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 6, 10, 12, 3, 14. Jungen: 11, 18, 10, 18, 8. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 6 + 10 + 12 + 3 + 14 = 45, 45 : 5 = 9
    2. Jungen: 11 + 18 + 10 + 18 + 8 = 65, 65 : 5 = 13
    3. 13 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Jungen (13 Treffer gegen 9 Treffer)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 26, 22, 21, 21, 25. Jungen: 29, 25, 16, 12, 33. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 115 : 5 = 23
    2. Mädchen: 26 − 21 = 5
    3. Jungen: 33 − 12 = 21
    4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 21)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 29, 44, 26, 298, 53. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 450 : 5 = 90
    2. Geordnet: 26, 29, 44, 53, 298, Median 44
    3. Der Wert 298 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (44 statt 90)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 32 min. Bekannt sind 13, 16, 30, 42. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 32 = 160
    2. Summe der bekannten: 13 + 16 + 30 + 42 = 101
    3. 160 − 101 = 59
    Ergebnis:
    59 min
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 32 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 35 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A32 von 40B35 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3240 = 0,8
    2. Klasse 6b: 3550 = 0,7
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,8)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 100-mal geworfen. 83-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer83 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 83100
    2. 83100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 83 : 100 = 0,83
    Ergebnis:
    83100 = 0,83

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 262, 314, 278, 303, 333. Gruppe Falken: 354, 318, 302, 343, 258. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (315 cm gegen 298 cm)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 38, 42, 48, 261, 56. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 261, Mittelwert 89 statt 46

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 34 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 28, 16, 19, 52. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher15202530354045505560?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55 min

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a14??Klasse 6b13518gesamt?13?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Mila und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (21 Punkte gegen 19 Punkte)
  2. Gruppe Adler, um 2 Punkte
  3. Gruppe Falken, um 4 min
  4. Nein, der Median 45 passt besser
  5. Nein, der Median 7 passt besser
  6. Ausreißer 189, Mittelwert 49 statt 21
  7. 56 min
  8. 367 cm
  9. 331 cm
  10. Fußball-AG (0,5)
  11. Schule am See (0,725)
  12. Klasse 6b (0,6)
  13. 14
  14. 3
  15. 36
  16. 0,346
  17. 0,348
  18. 0,211
  19. 536
  20. 4 Ergebnisse
  21. 6 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  25. Jungen (13 Treffer gegen 9 Treffer)
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 21)
  27. Median (44 statt 90)
  28. 59 min
  29. Klasse 6a (0,8)
  30. 83100 = 0,83
  31. Gruppe Falken (315 cm gegen 298 cm)
  32. Ausreißer 261, Mittelwert 89 statt 46
  33. 55 min
  34. 40
  35. fair (3 zu 3)
  36. x̄ = 9,4
  37. Median 13; Spannweite 13