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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 15, 7, 12, 15, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 11,4
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 14, 18, 10, 3, 5. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 5, 10, 14, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 18 − 3 = 15
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 14, 24, 16, 6, 35. Gruppe Falken: 35, 34, 16, 17, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken5101520253035
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 6, 14, 16, 24, 35, Median 16
  2. Gruppe Falken geordnet: 8, 16, 17, 34, 35, Median 17
  3. 17 ist mehr als 16.
  1. Gruppe Adler geordnet: 6, 14, 16, 24, 35, Median 16
  2. Gruppe Falken geordnet: 8, 16, 17, 34, 35, Median 17
  3. 17 ist mehr als 16.
Ergebnis:
Gruppe Falken (Median 17 gegen 16)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 60, 20, 29, 35, 11. Jungen: 52, 60, 22, 31, 50. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen: 60 + 20 + 29 + 35 + 11 = 155, 155 : 5 = 31
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 60 + 20 + 29 + 35 + 11 = 155, 155 : 5 = 31
    2. Jungen: 52 + 60 + 22 + 31 + 50 = 215, 215 : 5 = 43
    3. 43 − 31 = 12
    Ergebnis:
    Jungen, um 12 min
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 12, 12, 7, 10, 14. Jungen: 3, 17, 6, 14, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 12 + 12 + 7 + 10 + 14 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Jungen: 3 + 17 + 6 + 14 + 10 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 11 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Mädchen (11 Treffer gegen 10 Treffer)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 28, 58, 13, 56, 53, 50. Jungen: 46, 49, 34, 53, 29, 29. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 28 + 58 + 13 + 56 + 53 + 50 = 258, 258 : 6 = 43
    2. Jungen: 46 + 49 + 34 + 53 + 29 + 29 = 240, 240 : 6 = 40
    3. 43 − 40 = 3
    Ergebnis:
    Mädchen, um 3 min

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 391, 60, 41, 21, 42. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350400
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 555 : 5 = 111
  2. Geordnet: 21, 41, 42, 60, 391, Median 42
  3. Der Wert 391 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 555 : 5 = 111
  2. Geordnet: 21, 41, 42, 60, 391, Median 42
  3. Der Wert 391 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (42 statt 111)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 30, 18, 28, 12, 152. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte020406080100120140160
    So fängst du an:
    Mittelwert: 240 : 5 = 48
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 240 : 5 = 48
    2. Geordnet: 12, 18, 28, 30, 152, Median 28
    3. Der Wert 152 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (28 statt 48)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 3, 8, 50, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 3, 3, 6, 8, 50, Median 6
    3. Der Wert 50 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 14)
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 30, 16, 193, 25, 12, 12. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 288 : 6 = 48
    2. Geordnet: 12, 12, 16, 25, 30, 193, Median 20,5
    3. Der Wert 193 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20,5 statt 48)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 303 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 248, 376, 266. Was braucht Noah beim letzten Mal?
bisher240260280300320340360380400?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 303 = 1212
  2. Summe der bekannten: 248 + 376 + 266 = 890
  3. 1212 − 890 = 322
  1. Summe aller Werte: 4 · 303 = 1212
  2. Summe der bekannten: 248 + 376 + 266 = 890
  3. 1212 − 890 = 322
Ergebnis:
322 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 6, 13, 12. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
    2. Summe der bekannten: 6 + 13 + 12 = 31
    3. 44 − 31 = 13
    Ergebnis:
    13 Treffer
  2. ●8
    Mila hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 300 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 359, 313, 248. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 300 = 1200
    2. Summe der bekannten: 359 + 313 + 248 = 920
    3. 1200 − 920 = 280
    Ergebnis:
    280 cm
  3. ★9
    Mila hat die Ergebnisse von 6 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 7, 18, 14, 8, 3. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 10 = 60
    2. Summe der bekannten: 7 + 18 + 14 + 8 + 3 = 50
    3. 60 − 50 = 10
    Ergebnis:
    10 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 5 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A5 von 25B4 von 10
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 525 = 0,2
  2. Fußball-AG: 410 = 0,4
  3. 0,4 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 525 = 0,2
  2. Fußball-AG: 410 = 0,4
  3. 0,4 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Fußball-AG (0,4)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 19-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord19 von 40Team Süd6 von 25
    So fängst du an:
    Team Nord: 1940 = 0,475
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1940 = 0,475
    2. Team Süd: 625 = 0,24
    3. 0,475 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,475)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 4 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 15 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 20B15 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 420 = 0,2
    2. Schule am See: 1540 = 0,375
    3. 0,375 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,375)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 30 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A30 von 50B14 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 3050 = 0,6
    2. Schule am See: 1420 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben gefrühstückt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen538Jungen?713gesamt111021
Schritt für Schritt
  1. Zeile Jungen: zusammen 13.
  2. 13 − 7 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 5 = 11
  1. Zeile Jungen: zusammen 13.
  2. 13 − 7 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 5 = 11
Ergebnis:
6

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen91221Jungen14?21gesamt231942
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 21.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 21.
    2. 21 − 14 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 12 = 19
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 45 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 15 Mädchen und 13 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 45 − 18 = 27
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 27 − 13 = 14
    3. Kontrolle: 15 + 3 + 13 + 14 = 45
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 16 Kinder der Klasse 6a. 8 Kinder der Klasse 6a und 10 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 37 − 16 = 21
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 21 − 10 = 11
    3. Kontrolle: 8 + 8 + 10 + 11 = 37
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer51627146
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 27 : 100 = 0,27
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 27 : 100 = 0,27
Ergebnis:
0,27

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer2111980
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 80 : 500 = 0,16
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,16
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer61846219
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 46 : 100 = 0,46
    Ergebnis:
    0,46
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer11366307
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 66 : 200 = 0,33
    3. 307 : 1000 = 0,307
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,307

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 3 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 3: 3 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 3 + 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
  3. Jonas gewinnt 3-mal so oft.
  4. Ben braucht 3 Punkte je Treffer.
  1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
  3. Jonas gewinnt 3-mal so oft.
  4. Ben braucht 3 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
3 Punkte

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Mila und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 13, 12, 28, 22, 10. Gruppe Falken: 21, 24, 29, 19, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 13 + 12 + 28 + 22 + 10 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Gruppe Falken: 21 + 24 + 29 + 19 + 17 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 − 17 = 5
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 5 Punkte
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 42, 32, 20, 48, 18. Gruppe Falken: 36, 29, 28, 35, 32. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1520253035404550
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 48 − 18 = 30
    2. Gruppe Falken: 36 − 28 = 8
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 8 gegen 30)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 10, 198, 14, 20, 28. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 270 : 5 = 54
    2. Geordnet: 10, 14, 20, 28, 198, Median 20
    3. Der Wert 198 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20 statt 54)
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 305 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 279, 304, 301. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher275280285290295300305310?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 305 = 1220
    2. Summe der bekannten: 279 + 304 + 301 = 884
    3. 1220 − 884 = 336
    Ergebnis:
    336 cm
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 21-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord21 von 50Team Süd17 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2150 = 0,42
    2. Team Süd: 1725 = 0,68
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 100-mal geworfen. 51-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer51 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 51100
    2. 51100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 51 : 100 = 0,51
    Ergebnis:
    51100 = 0,51

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 20, 17, 25, 22, 21. Gruppe Falken: 23, 25, 14, 30, 8. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 1 Punkte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 327, 53, 39, 27, 29. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (39 statt 95)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 295 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 244, 296, 328. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    312 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 5 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 4 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A5 von 25B4 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen, um 12 min
  2. Mädchen (11 Treffer gegen 10 Treffer)
  3. Mädchen, um 3 min
  4. Median (28 statt 48)
  5. Median (6 statt 14)
  6. Median (20,5 statt 48)
  7. 13 Treffer
  8. 280 cm
  9. 10 Treffer
  10. Team Nord (0,475)
  11. Schule am See (0,375)
  12. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  13. 7
  14. 14
  15. 11
  16. Nein, eher 0,16
  17. 0,46
  18. 0,307
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 2 Ergebnisse
  21. 6 Ergebnisse
  22. fair (18 zu 18)
  23. fair (15 zu 15)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Gruppe Falken, um 5 Punkte
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 8 gegen 30)
  27. Median (20 statt 54)
  28. 336 cm
  29. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  30. 51100 = 0,51
  31. Gruppe Adler, um 1 Punkte
  32. Median (39 statt 95)
  33. 312 cm
  34. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  35. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  36. x̄ = 11,4
  37. Median 10; Spannweite 15