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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 14, 14, 5, 7, 7. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,4
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 18, 4, 10, 17, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 4, 10, 17, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 18 − 2 = 16
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 345, 270, 290, 369, 361. Team Süd: 365, 306, 244, 271, 314. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Team NordTeam Süd240260280300320340360380
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 270, 290, 345, 361, 369, Median 345
  2. Team Süd geordnet: 244, 271, 306, 314, 365, Median 306
  3. 345 ist mehr als 306.
  1. Team Nord geordnet: 270, 290, 345, 361, 369, Median 345
  2. Team Süd geordnet: 244, 271, 306, 314, 365, Median 306
  3. 345 ist mehr als 306.
Ergebnis:
Team Nord (Median 345 gegen 306)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 254, 334, 288, 242, 352. Gruppe Falken: 248, 323, 352, 387, 285. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 254 + 334 + 288 + 242 + 352 = 1470, 1470 : 5 = 294
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 254 + 334 + 288 + 242 + 352 = 1470, 1470 : 5 = 294
    2. Gruppe Falken: 248 + 323 + 352 + 387 + 285 = 1595, 1595 : 5 = 319
    3. 319 ist mehr als 294.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (319 cm gegen 294 cm)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 14, 18, 10, 4, 9. Jungen: 12, 6, 9, 8, 15. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 14 + 18 + 10 + 4 + 9 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Jungen: 12 + 6 + 9 + 8 + 15 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 11 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Mädchen (11 Treffer gegen 10 Treffer)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 14, 53, 42, 18, 24, 53. Gruppe Falken: 57, 10, 49, 10, 29. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 14 + 53 + 42 + 18 + 24 + 53 = 204, 204 : 6 = 34
    2. Gruppe Falken: 57 + 10 + 49 + 10 + 29 = 155, 155 : 5 = 31
    3. 34 ist mehr als 31.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (34 min gegen 31 min)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 8, 4, 46, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte01020304050
Schritt für Schritt
  1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 3, 45, 5, 3, 9. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    45 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 45 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 268, 58, 32, 31, 31. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 420 : 5 = 84
    2. Geordnet: 31, 31, 32, 58, 268, Median 32
    3. Der Wert 268 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (32 statt 84)
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 4, 9, 53, 4, 3. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 4, 4, 5, 9, 53
    2. Median: 4,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 53.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 4,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 11 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 16, 4, 15. Welches Ergebnis fehlt?
bisher4681012141618?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
  2. Summe der bekannten: 16 + 4 + 15 = 35
  3. 44 − 35 = 9
  1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
  2. Summe der bekannten: 16 + 4 + 15 = 35
  3. 44 − 35 = 9
Ergebnis:
9 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 321 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 337, 316, 275. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher270280290300310320330340350?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 321 = 1284
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 321 = 1284
    2. Summe der bekannten: 337 + 316 + 275 = 928
    3. 1284 − 928 = 356
    Ergebnis:
    356 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 34 min. Bekannt sind 17, 50, 26. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 34 = 136
    2. Summe der bekannten: 17 + 50 + 26 = 93
    3. 136 − 93 = 43
    Ergebnis:
    43 min
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Runden Korbwurf im Mittel genau 13 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 18, 12, 6, 14, 17. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 13 = 78
    2. Summe der bekannten: 18 + 12 + 6 + 14 + 17 = 67
    3. 78 − 67 = 11
    Ergebnis:
    11 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 27-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord27 von 50Team Süd8 von 10
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 2750 = 0,54
  2. Team Süd: 810 = 0,8
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 2750 = 0,54
  2. Team Süd: 810 = 0,8
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 23-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord14 von 25Team Süd23 von 50
    So fängst du an:
    Team Nord: 1425 = 0,56
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1425 = 0,56
    2. Team Süd: 2350 = 0,46
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A2 von 10B16 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 210 = 0,2
    2. Schule am See: 1625 = 0,64
    3. 0,64 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,64)
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 13 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 40B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1340 = 0,325
    2. Fußball-AG: 1320 = 0,65
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen13??Jungen9716gesamt?10?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 10 − 7 = 3
  2. Zeile Mädchen: 13 + 3 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 16 = 32
  1. Spalte kein Frühstück: 10 − 7 = 3
  2. Zeile Mädchen: 13 + 3 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 16 = 32
Ergebnis:
32

AchtungZwischenergebnis statt der gefragten Größe

So nicht
Zinsen 52,50 €, Guthaben? → 52,50 €
So richtig
Zinsen 52,50 €, Guthaben → 1.500 € + 52,50 € = 1.552,50 €

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter, bis genau das dasteht.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?1419Klasse 65914gesamt102333
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 5: zusammen 19.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 19.
    2. 19 − 14 = 5
    3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 5 = 10
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 46 Kinder mit, davon sind 21 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 12 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 46 − 21 = 25
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 25 − 12 = 13
    3. Kontrolle: 9 + 12 + 12 + 13 = 46
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?411Klasse 6b41216gesamt111627
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 11.
    2. 11 − 4 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 4 = 11
    Ergebnis:
    7

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer241885
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 85 : 500 = 0,17
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 85 : 500 = 0,17
Ergebnis:
0,17

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51732145
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 17 : 50 = 0,34
    Ergebnis:
    0,34
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,6.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer61836178
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 178 : 500 = 0,356
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,36.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,356
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer71997449
    Lösung zeigen
    1. 7 : 10 = 0,7
    2. 97 : 200 = 0,485
    3. 449 : 1000 = 0,449
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,449

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
  3. 24 ist mehr als 12.
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
  3. 24 ist mehr als 12.
Ergebnis:
nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
    4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 10, 14, 10, 28, 23. Gruppe Falken: 19, 26, 23, 12, 15. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 10, 10, 14, 23, 28, Median 14
    2. Gruppe Falken geordnet: 12, 15, 19, 23, 26, Median 19
    3. 19 ist mehr als 14.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 19 gegen 14)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 14, 20, 26, 29, 11. Jungen: 20, 23, 19, 18, 20. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen1015202530
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 29 − 11 = 18
    2. Jungen: 23 − 18 = 5
    3. Die kleinere Spannweite hat Jungen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 5 gegen 18)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 193, 29, 28, 19, 16. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 57 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 16, 19, 28, 29, 193
    2. Median: 28
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 193.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 28 passt besser
  4. ●28
    Lukas möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 15, 3, 17. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher2468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
    2. Summe der bekannten: 15 + 3 + 17 = 35
    3. 44 − 35 = 9
    Ergebnis:
    9 Treffer
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord17 von 50Team Süd15 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1750 = 0,34
    2. Team Süd: 1525 = 0,6
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,6)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 20-mal geworfen. 17-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer17 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1720
    2. 1720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 20 = 0,85
    Ergebnis:
    1720 = 0,85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 3, 18, 17, 4, 13. Team Süd: 7, 16, 16, 18, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 16 gegen 13)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 46, 5, 8, 3, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 17 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 14, 22, 15, 24. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher14161820222426?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Punkte

  4. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    34
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer62443221
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,442

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (319 cm gegen 294 cm)
  2. Mädchen (11 Treffer gegen 10 Treffer)
  3. Gruppe Adler (34 min gegen 31 min)
  4. Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  5. Median (32 statt 84)
  6. Nein, der Median 4,5 passt besser
  7. 356 cm
  8. 43 min
  9. 11 Treffer
  10. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  11. Schule am See (0,64)
  12. Fußball-AG (0,65)
  13. 5
  14. 13
  15. 7
  16. 0,34
  17. Nein, eher 0,356
  18. 0,449
  19. 4 Ergebnisse
  20. 19
  21. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  22. fair (3 zu 3)
  23. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. 2 Punkte
  25. Gruppe Falken (Median 19 gegen 14)
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 5 gegen 18)
  27. Nein, der Median 28 passt besser
  28. 9 Treffer
  29. Team Süd (0,6)
  30. 1720 = 0,85
  31. Team Süd (Median 16 gegen 13)
  32. Nein, der Median 8 passt besser
  33. 10 Punkte
  34. 0,442
  35. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  36. x̄ = 9,4
  37. Median 10; Spannweite 16