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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 1, 12, 2, 2, 14. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,2
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 9, 11, 8, 11, 9. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 9, 9, 11, 11
    2. Median = mittlerer Wert = 9
    3. Spannweite = 11 − 8 = 3
    Ergebnis:
    Median 9; Spannweite 3

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 25, 22, 26, 21, 16. Team Süd: 8, 25, 15, 24, 23. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Team NordTeam Süd51015202530
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 25 + 22 + 26 + 21 + 16 = 110, 110 : 5 = 22
  2. Team Süd: 8 + 25 + 15 + 24 + 23 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 22 − 19 = 3
  1. Team Nord: 25 + 22 + 26 + 21 + 16 = 110, 110 : 5 = 22
  2. Team Süd: 8 + 25 + 15 + 24 + 23 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 22 − 19 = 3
Ergebnis:
Team Nord, um 3 Punkte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 323, 312, 306, 289, 280. Team Süd: 248, 299, 383, 369, 316. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Team Nord: 323 + 312 + 306 + 289 + 280 = 1510, 1510 : 5 = 302
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 323 + 312 + 306 + 289 + 280 = 1510, 1510 : 5 = 302
    2. Team Süd: 248 + 299 + 383 + 369 + 316 = 1615, 1615 : 5 = 323
    3. 323 − 302 = 21
    Ergebnis:
    Team Süd, um 21 cm
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 10, 18, 15, 18, 4. Jungen: 10, 3, 14, 11, 12. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 10 + 18 + 15 + 18 + 4 = 65, 65 : 5 = 13
    2. Jungen: 10 + 3 + 14 + 11 + 12 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 13 − 10 = 3
    Ergebnis:
    Mädchen, um 3 Treffer
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 8, 12, 12, 10, 3. Jungen: 10, 10, 6, 13, 6, 3. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen2468101214
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 8 + 12 + 12 + 10 + 3 = 45, 45 : 5 = 9
    2. Jungen: 10 + 10 + 6 + 13 + 6 + 3 = 48, 48 : 6 = 8
    3. 9 ist mehr als 8.
    Ergebnis:
    Mädchen (9 Treffer gegen 8 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 8, 40, 4, 4, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0510152025303540
Schritt für Schritt
  1. 40 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
  3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
  1. 40 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
  3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
Ergebnis:
Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 11, 11, 234, 26, 28. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    234 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 234 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 310 : 5 = 62
    3. Ohne ihn: 76 : 4 = 19
    Ergebnis:
    Ausreißer 234, Mittelwert 62 statt 19
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 37, 59, 51, 21, 247. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 415 : 5 = 83
    2. Geordnet: 21, 37, 51, 59, 247, Median 51
    3. Der Wert 247 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (51 statt 83)
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 51, 29, 34, 249, 44, 37. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 74 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 29, 34, 37, 44, 51, 249
    2. Median: 40,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 249.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 40,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 13 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 11, 18, 11. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
bisher111213141516171819?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
  2. Summe der bekannten: 11 + 18 + 11 = 40
  3. 52 − 40 = 12
  1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
  2. Summe der bekannten: 11 + 18 + 11 = 40
  3. 52 − 40 = 12
Ergebnis:
12 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 21 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 15, 27, 19, 29. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher14161820222426283032?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 21 = 105
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 21 = 105
    2. Summe der bekannten: 15 + 27 + 19 + 29 = 90
    3. 105 − 90 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte
  2. ●8
    Tim möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 339 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 370, 329, 362. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher320330340350360370380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 339 = 1356
    2. Summe der bekannten: 370 + 329 + 362 = 1061
    3. 1356 − 1061 = 295
    Ergebnis:
    295 cm
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 17 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 17, 22, 20, 12, 14. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher12141618202224?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 17 = 102
    2. Summe der bekannten: 17 + 22 + 20 + 12 + 14 = 85
    3. 102 − 85 = 17
    Ergebnis:
    17 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 13 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A13 von 20B14 von 40
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 1320 = 0,65
  2. Schule am See: 1440 = 0,35
  3. 0,65 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 1320 = 0,65
  2. Schule am See: 1440 = 0,35
  3. 0,65 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,65)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 8 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 34 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 40B34 von 50
    So fängst du an:
    Schule am Park: 840 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 840 = 0,2
    2. Schule am See: 3450 = 0,68
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,68)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 10B7 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 510 = 0,5
    2. Schule am See: 720 = 0,35
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,5)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 12 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6c kommen 25 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A12 von 50B7 von 25C25 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1250 = 0,24
    2. Klasse 6b: 725 = 0,28
    3. Klasse 6c: 2540 = 0,625
    4. 0,625 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6c (0,625)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
RadBusgesamtKlasse 6a8??Klasse 6b15621gesamt?16?
Schritt für Schritt
  1. Spalte Bus: 16 − 6 = 10
  2. Zeile Klasse 6a: 8 + 10 = 18
  3. Insgesamt: 18 + 21 = 39
  1. Spalte Bus: 16 − 6 = 10
  2. Zeile Klasse 6a: 8 + 10 = 18
  3. Insgesamt: 18 + 21 = 39
Ergebnis:
39

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 17 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 10 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder der Klasse 6b: 37 − 17 = 20
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 37 − 17 = 20
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 10 = 10
    3. Kontrolle: 9 + 8 + 10 + 10 = 37
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a15924Klasse 6b?814gesamt211738
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 14.
    2. 14 − 8 = 6
    3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 15 = 21
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 21 Kinder aus Klasse 5. 15 Kinder aus Klasse 5 und 15 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 42 − 21 = 21
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 21 − 15 = 6
    3. Kontrolle: 15 + 6 + 15 + 6 = 42
    Ergebnis:
    6

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer191588
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 88 : 500 = 0,176
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 88 : 500 = 0,176
Ergebnis:
0,176

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer21338179
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 38 : 100 = 0,38
    3. 179 : 500 = 0,358
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,358
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21939200
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 200 : 500 = 0,4
    Ergebnis:
    0,4
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer11229172
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 29 : 200 = 0,145
    3. 172 : 1000 = 0,172
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,172

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
Ergebnis:
5 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 3 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 3: 3 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 3 + 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 255, 297, 346, 305, 387. Team Süd: 305, 320, 351, 366, 308. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 255, 297, 305, 346, 387, Median 305
    2. Team Süd geordnet: 305, 308, 320, 351, 366, Median 320
    3. 320 ist mehr als 305.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 320 gegen 305)
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 262, 348, 331, 250, 349. Team Süd: 322, 293, 308, 318, 299. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd240260280300320340360
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 1540 : 5 = 308
    2. Team Nord: 349 − 250 = 99
    3. Team Süd: 322 − 293 = 29
    4. Die Werte von Team Süd liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 29 gegen 99)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 4, 4, 9, 46. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
  4. ●28
    Noah möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 37 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 39, 24, 37, 56. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher20253035404550556065?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 37 = 185
    2. Summe der bekannten: 39 + 24 + 37 + 56 = 156
    3. 185 − 156 = 29
    Ergebnis:
    29 min
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 5 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 25B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 525 = 0,2
    2. Klasse 6b: 1320 = 0,65
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,65)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 10-mal geworfen. 5-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 510
    2. Gekürzt: 510 = 12
    3. Als Dezimalzahl: 5 : 10 = 0,5
    Ergebnis:
    12 = 0,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 354, 277, 319, 379, 241. Team Süd: 284, 293, 334, 336, 318. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 319 gegen 318)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 3, 9, 50, 2. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 30 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 34, 10, 29. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher10152025303540?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47 min

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen13??Jungen4711gesamt?15?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd, um 21 cm
  2. Mädchen, um 3 Treffer
  3. Mädchen (9 Treffer gegen 8 Treffer)
  4. Ausreißer 234, Mittelwert 62 statt 19
  5. Median (51 statt 83)
  6. Nein, der Median 40,5 passt besser
  7. 15 Punkte
  8. 295 cm
  9. 17 Punkte
  10. Schule am See (0,68)
  11. Schule am Park (0,5)
  12. Klasse 6c (0,625)
  13. 10
  14. 6
  15. 6
  16. 0,358
  17. 0,4
  18. 0,172
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 6 Ergebnisse
  22. fair (18 zu 18)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  25. Team Süd (Median 320 gegen 305)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 29 gegen 99)
  27. Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
  28. 29 min
  29. Klasse 6b (0,65)
  30. 12 = 0,5
  31. Team Nord (Median 319 gegen 318)
  32. Nein, der Median 6 passt besser
  33. 47 min
  34. 32
  35. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  36. x̄ = 6,2
  37. Median 9; Spannweite 3