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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 8, 6, 1, 2, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 14, 14, 2, 16, 18. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 14, 14, 16, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 14
    3. Spannweite = 18 − 2 = 16
    Ergebnis:
    Median 14; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 330, 374, 359, 282, 250. Gruppe Falken: 371, 267, 363, 254, 295. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 250, 282, 330, 359, 374, Median 330
  2. Gruppe Falken geordnet: 254, 267, 295, 363, 371, Median 295
  3. 330 ist mehr als 295.
  1. Gruppe Adler geordnet: 250, 282, 330, 359, 374, Median 330
  2. Gruppe Falken geordnet: 254, 267, 295, 363, 371, Median 295
  3. 330 ist mehr als 295.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 330 gegen 295)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 14, 21, 12, 15, 18. Gruppe Falken: 14, 26, 8, 28, 29. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 14 + 21 + 12 + 15 + 18 = 80, 80 : 5 = 16
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 14 + 21 + 12 + 15 + 18 = 80, 80 : 5 = 16
    2. Gruppe Falken: 14 + 26 + 8 + 28 + 29 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 21 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (21 Punkte gegen 16 Punkte)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 29, 33, 10, 17, 21. Gruppe Falken: 8, 16, 40, 33, 8. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 29 + 33 + 10 + 17 + 21 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Gruppe Falken: 8 + 16 + 40 + 33 + 8 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 22 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (22 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 6, 4, 9, 9, 13, 7. Jungen: 17, 10, 5, 9, 14, 17. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 6 + 4 + 9 + 9 + 13 + 7 = 48, 48 : 6 = 8
    2. Jungen: 17 + 10 + 5 + 9 + 14 + 17 = 72, 72 : 6 = 12
    3. 12 ist mehr als 8.
    Ergebnis:
    Jungen (12 Treffer gegen 8 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 26, 56, 52, 30, 276. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250300
Schritt für Schritt
  1. 276 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 440 : 5 = 88
  3. Ohne ihn: 164 : 4 = 41
  1. 276 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 440 : 5 = 88
  3. Ohne ihn: 164 : 4 = 41
Ergebnis:
Ausreißer 276, Mittelwert 88 statt 41

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 42, 329, 55, 31, 28. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    So fängst du an:
    Mittelwert: 485 : 5 = 97
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 485 : 5 = 97
    2. Geordnet: 28, 31, 42, 55, 329, Median 42
    3. Der Wert 329 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (42 statt 97)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 13, 23, 188, 17, 19. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. 188 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 260 : 5 = 52
    3. Ohne ihn: 72 : 4 = 18
    Ergebnis:
    Ausreißer 188, Mittelwert 52 statt 18
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 49, 271, 54, 55, 29, 28. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 81 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 28, 29, 49, 54, 55, 271
    2. Median: 51,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 271.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 51,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 14, 15, 12. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
  2. Summe der bekannten: 14 + 15 + 12 = 41
  3. 68 − 41 = 27
  1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
  2. Summe der bekannten: 14 + 15 + 12 = 41
  3. 68 − 41 = 27
Ergebnis:
27 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 23, 25, 17. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher17181920212223242526?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 23 + 25 + 17 = 65
    3. 76 − 65 = 11
    Ergebnis:
    11 Punkte
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 336 cm. Bekannt sind 289, 347, 371, 372. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 336 = 1680
    2. Summe der bekannten: 289 + 347 + 371 + 372 = 1379
    3. 1680 − 1379 = 301
    Ergebnis:
    301 cm
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Runden Korbwurf ist 9 Treffer. Bekannt sind 5, 5, 13, 16, 6. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 9 = 54
    2. Summe der bekannten: 5 + 5 + 13 + 16 + 6 = 45
    3. 54 − 45 = 9
    Ergebnis:
    9 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 16 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 39 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A16 von 20B39 von 50
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1620 = 0,8
  2. Fußball-AG: 3950 = 0,78
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
  1. Theater-AG: 1620 = 0,8
  2. Fußball-AG: 3950 = 0,78
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 28 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A28 von 40B13 von 25
    So fängst du an:
    Theater-AG: 2840 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2840 = 0,7
    2. Fußball-AG: 1325 = 0,52
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,7)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 31-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord8 von 10Team Süd31 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 3140 = 0,775
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 37 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 14 von 25 Kindern ein Haustier. In der Chor-AG haben 10 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A37 von 50B14 von 25C10 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 3750 = 0,74
    2. Fußball-AG: 1425 = 0,56
    3. Chor-AG: 1040 = 0,25
    4. 0,74 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,74)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 49 Kinder mit, davon sind 22 Kinder aus Klasse 5. 13 Kinder aus Klasse 5 und 13 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder aus Klasse 6: 49 − 22 = 27
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 27 − 13 = 14
  3. Kontrolle: 13 + 9 + 13 + 14 = 49
  1. Kinder aus Klasse 6: 49 − 22 = 27
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 27 − 13 = 14
  3. Kontrolle: 13 + 9 + 13 + 14 = 49
Ergebnis:
14

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen549Jungen?921gesamt171330
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 21.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 21.
    2. 21 − 9 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 5 = 17
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen7411Jungen12?19gesamt191130
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 19.
    2. 19 − 12 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 4 = 11
    Ergebnis:
    7
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Haustierkein TiergesamtMädchen131225Jungen358gesamt161733
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 1325 = 0,52
    2. Jungen: 38 = 0,375
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Mädchen (0,52)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer31121105
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 105 : 500 = 0,21
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 105 : 500 = 0,21
Ergebnis:
0,21

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer2923120
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 120 : 500 = 0,24
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,24.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,24
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer151479
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 14 : 100 = 0,14
    3. 79 : 500 = 0,158
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,158
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer2529172
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 5 : 50 = 0,1
    Ergebnis:
    0,1

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 36, 27, 31, 40, 41. Jungen: 39, 53, 25, 21, 17. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 27, 31, 36, 40, 41, Median 36
    2. Jungen geordnet: 17, 21, 25, 39, 53, Median 25
    3. 36 ist mehr als 25.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 36 gegen 25)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 18, 19, 17, 16, 15. Gruppe Falken: 10, 24, 8, 27, 16. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 19 − 15 = 4
    2. Gruppe Falken: 27 − 8 = 19
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 19)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 8, 4, 41, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 3, 4, 8, 9, 41, Median 8
    3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 13)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 28 min. Bekannt sind 31, 27, 26. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 28 = 112
    2. Summe der bekannten: 31 + 27 + 26 = 84
    3. 112 − 84 = 28
    Ergebnis:
    28 min
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 9 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A9 von 40B14 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 940 = 0,225
    2. Schule am See: 1420 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,7)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 11-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer11 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1150
    2. 1150 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 11 : 50 = 0,22
    Ergebnis:
    1150 = 0,22

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 6, 29, 21, 28, 6. Jungen: 31, 11, 12, 25, 36. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen, um 5 Hundert Schritte

  2. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    32
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 41 min. Bekannt sind 35, 29, 53, 47. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41 min

  3. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    33
    Bei einer Umfrage machen 29 Kinder mit, davon sind 11 Kinder der Klasse 6a. 8 Kinder der Klasse 6a und 11 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (21 Punkte gegen 16 Punkte)
  2. Gruppe Adler (22 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  3. Jungen (12 Treffer gegen 8 Treffer)
  4. Median (42 statt 97)
  5. Ausreißer 188, Mittelwert 52 statt 18
  6. Nein, der Median 51,5 passt besser
  7. 11 Punkte
  8. 301 cm
  9. 9 Treffer
  10. Theater-AG (0,7)
  11. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  12. Theater-AG (0,74)
  13. 12
  14. 7
  15. Mädchen (0,52)
  16. Nein, eher 0,24
  17. 0,158
  18. 0,1
  19. 5 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. fair (15 zu 15)
  23. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Mädchen (Median 36 gegen 25)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 19)
  27. Median (8 statt 13)
  28. 28 min
  29. Schule am See (0,7)
  30. 1150 = 0,22
  31. Jungen, um 5 Hundert Schritte
  32. 41 min
  33. 7
  34. fair (15 zu 15)
  35. x̄ = 6
  36. Median 14; Spannweite 16