Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 11, 15, 7, 12, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 11
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 13, 3, 14, 3, 16. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 3, 13, 14, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 16 − 3 = 13
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 18, 10, 12, 11, 4. Team Süd: 18, 17, 14, 12, 4. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 4, 10, 11, 12, 18, Median 11
  2. Team Süd geordnet: 4, 12, 14, 17, 18, Median 14
  3. 14 ist mehr als 11.
  1. Team Nord geordnet: 4, 10, 11, 12, 18, Median 11
  2. Team Süd geordnet: 4, 12, 14, 17, 18, Median 14
  3. 14 ist mehr als 11.
Ergebnis:
Team Süd (Median 14 gegen 11)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 40, 34, 10, 9, 32. Jungen: 17, 35, 12, 28, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 9, 10, 32, 34, 40, Median 32
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 9, 10, 32, 34, 40, Median 32
    2. Jungen geordnet: 8, 12, 17, 28, 35, Median 17
    3. 32 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 32 gegen 17)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 14, 18, 30, 8, 25. Gruppe Falken: 29, 9, 20, 13, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 14 + 18 + 30 + 8 + 25 = 95, 95 : 5 = 19
    2. Gruppe Falken: 29 + 9 + 20 + 13 + 9 = 80, 80 : 5 = 16
    3. 19 − 16 = 3
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 3 Punkte
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 8, 11, 3, 18, 7, 13. Jungen: 13, 15, 5, 8, 4. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 8 + 11 + 3 + 18 + 7 + 13 = 60, 60 : 6 = 10
    2. Jungen: 13 + 15 + 5 + 8 + 4 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 10 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Mädchen (10 Treffer gegen 9 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 4, 41, 9, 6, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte051015202530354045
Schritt für Schritt
  1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 36, 3, 3, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    Mittelwert: 60 : 5 = 12
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 3, 3, 9, 9, 36, Median 9
    3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (9 statt 12)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 5, 4, 35, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 55 : 5 = 11
    2. Geordnet: 4, 5, 5, 6, 35, Median 5
    3. Der Wert 35 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (5 statt 11)
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 17, 10, 15, 18, 197, 25. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 282 : 6 = 47
    2. Geordnet: 10, 15, 17, 18, 25, 197, Median 17,5
    3. Der Wert 197 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (17,5 statt 47)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 23, 27, 8. Welches Ergebnis fehlt?
bisher5101520253035?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 23 + 27 + 8 = 58
  3. 76 − 58 = 18
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 23 + 27 + 8 = 58
  3. 76 − 58 = 18
Ergebnis:
18 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 10 Treffer. Bekannt sind 17, 4, 6, 7. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
    2. Summe der bekannten: 17 + 4 + 6 + 7 = 34
    3. 50 − 34 = 16
    Ergebnis:
    16 Treffer
  2. ●8
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 14, 21, 25, 17. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
    2. Summe der bekannten: 14 + 21 + 25 + 17 = 77
    3. 85 − 77 = 8
    Ergebnis:
    8 Punkte
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Weitsprüngen im Mittel genau 298 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 344, 242, 345, 345, 243. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 298 = 1788
    2. Summe der bekannten: 344 + 242 + 345 + 345 + 243 = 1519
    3. 1788 − 1519 = 269
    Ergebnis:
    269 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 13 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 9 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A13 von 25B9 von 40
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 1325 = 0,52
  2. Klasse 6b: 940 = 0,225
  3. 0,52 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 1325 = 0,52
  2. Klasse 6b: 940 = 0,225
  3. 0,52 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,52)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 19 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 11 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A19 von 40B11 von 20
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 1940 = 0,475
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1940 = 0,475
    2. Klasse 6b: 1120 = 0,55
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 8 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 4 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 25B4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 825 = 0,32
    2. Klasse 6b: 410 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 10B7 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 510 = 0,5
    2. Fußball-AG: 725 = 0,28
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,5)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 34 Kinder mit, davon sind 12 Mädchen. 4 Mädchen und 8 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 34 − 12 = 22
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 22 − 8 = 14
  3. Kontrolle: 4 + 8 + 8 + 14 = 34
  1. Jungen: 34 − 12 = 22
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 22 − 8 = 14
  3. Kontrolle: 4 + 8 + 8 + 14 = 34
Ergebnis:
14

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 16 Kinder der Klasse 6a. 4 Kinder der Klasse 6a und 14 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder der Klasse 6b: 38 − 16 = 22
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 38 − 16 = 22
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 22 − 14 = 8
    3. Kontrolle: 4 + 12 + 14 + 8 = 38
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a4?18Klasse 6b111122gesamt152540
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 18.
    2. 18 − 4 = 14
    3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 11 = 25
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Haustierkein TiergesamtMädchen101020Jungen111425gesamt212445
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 1020 = 0,5
    2. Jungen: 1125 = 0,44
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Mädchen (0,5)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer32239201
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 201 : 500 = 0,402
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 201 : 500 = 0,402
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
Ergebnis:
Nein, eher 0,402

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer11327153
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 153 : 500 = 0,306
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,31.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,306
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer1111383
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 13 : 100 = 0,13
    3. 83 : 500 = 0,166
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,166
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer31328161
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 161 : 1000 = 0,161
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,161

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. 4 von 36, also 436 = 19
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. 4 von 36, also 436 = 19
Ergebnis:
19

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. 24 ist mehr als 12.
  1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. 24 ist mehr als 12.
Ergebnis:
nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  3. ★24
    Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 9, 20, 26, 10, 20. Team Süd: 9, 21, 21, 27, 22. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 9 + 20 + 26 + 10 + 20 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Team Süd: 9 + 21 + 21 + 27 + 22 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 − 17 = 3
    Ergebnis:
    Team Süd, um 3 Punkte
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 41, 25, 19, 35, 40. Jungen: 32, 30, 33, 31, 34. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen15202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 41 − 19 = 22
    2. Jungen: 34 − 30 = 4
    3. Die kleinere Spannweite hat Jungen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 22)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 7, 52, 6, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 52 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
    3. Ohne ihn: 28 : 4 = 7
    Ergebnis:
    Ausreißer 52, Mittelwert 16 statt 7
  4. ●28
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 315 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 258, 373, 268. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 315 = 1260
    2. Summe der bekannten: 258 + 373 + 268 = 899
    3. 1260 − 899 = 361
    Ergebnis:
    361 cm
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord5 von 10Team Süd15 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 510 = 0,5
    2. Team Süd: 1550 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 50 Kinder. 30 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 3050
    2. Gekürzt: 3050 = 35
    3. Als Dezimalzahl: 30 : 50 = 0,6
    Ergebnis:
    35 = 0,6

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 15, 40, 21, 33, 36. Jungen: 14, 37, 51, 43, 55. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen (40 min gegen 29 min)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 2, 9, 4, 51. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 9 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 9 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 7, 11, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher789101112?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Treffer

  4. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    34
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer2925131
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,18

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (Median 32 gegen 17)
  2. Gruppe Adler, um 3 Punkte
  3. Mädchen (10 Treffer gegen 9 Treffer)
  4. Median (9 statt 12)
  5. Median (5 statt 11)
  6. Median (17,5 statt 47)
  7. 16 Treffer
  8. 8 Punkte
  9. 269 cm
  10. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  12. Theater-AG (0,5)
  13. 8
  14. 14
  15. Mädchen (0,5)
  16. Nein, eher 0,306
  17. 0,166
  18. Nein, eher 0,161
  19. 4 Ergebnisse
  20. 5 Ergebnisse
  21. 16
  22. fair (15 zu 15)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Team Süd, um 3 Punkte
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 22)
  27. Ausreißer 52, Mittelwert 16 statt 7
  28. 361 cm
  29. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  30. 35 = 0,6
  31. Jungen (40 min gegen 29 min)
  32. Nein, der Median 9 passt besser
  33. 7 Treffer
  34. 0,18
  35. fair (18 zu 18)
  36. x̄ = 11
  37. Median 13; Spannweite 13