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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 11, 9, 8, 2, 4. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,8
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 2, 15, 19, 16. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 15, 16, 19, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 16
    3. Spannweite = 19 − 2 = 17
    Ergebnis:
    Median 16; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 15, 9, 8, 25, 28. Team Süd: 11, 12, 26, 24, 17. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Team NordTeam Süd51015202530
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 8, 9, 15, 25, 28, Median 15
  2. Team Süd geordnet: 11, 12, 17, 24, 26, Median 17
  3. 17 ist mehr als 15.
  1. Team Nord geordnet: 8, 9, 15, 25, 28, Median 15
  2. Team Süd geordnet: 11, 12, 17, 24, 26, Median 17
  3. 17 ist mehr als 15.
Ergebnis:
Team Süd (Median 17 gegen 15)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 44, 48, 34, 24, 15. Gruppe Falken: 39, 29, 31, 25, 46. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1520253035404550
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 44 + 48 + 34 + 24 + 15 = 165, 165 : 5 = 33
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 44 + 48 + 34 + 24 + 15 = 165, 165 : 5 = 33
    2. Gruppe Falken: 39 + 29 + 31 + 25 + 46 = 170, 170 : 5 = 34
    3. 34 − 33 = 1
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 1 min
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 8, 12, 12, 31, 37. Gruppe Falken: 40, 33, 18, 7, 27. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 8 + 12 + 12 + 31 + 37 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Falken: 40 + 33 + 18 + 7 + 27 = 125, 125 : 5 = 25
    3. 25 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (25 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 59, 49, 23, 27, 37. Jungen: 48, 15, 59, 42. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 59 + 49 + 23 + 27 + 37 = 195, 195 : 5 = 39
    2. Jungen: 48 + 15 + 59 + 42 = 164, 164 : 4 = 41
    3. 41 − 39 = 2
    Ergebnis:
    Jungen, um 2 min

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 22, 13, 14, 219. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 295 : 5 = 59
  2. Geordnet: 13, 14, 22, 27, 219, Median 22
  3. Der Wert 219 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 295 : 5 = 59
  2. Geordnet: 13, 14, 22, 27, 219, Median 22
  3. Der Wert 219 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (22 statt 59)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 3, 40, 6, 7, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    Mittelwert: 60 : 5 = 12
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 3, 4, 6, 7, 40, Median 6
    3. Der Wert 40 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 12)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 240, 20, 15, 18, 27. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 320 : 5 = 64
    2. Geordnet: 15, 18, 20, 27, 240, Median 20
    3. Der Wert 240 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20 statt 64)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 3, 41, 5, 7, 2. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 66 : 6 = 11
    2. Geordnet: 2, 3, 5, 7, 8, 41, Median 6
    3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 11)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 9 Treffer. Bekannt sind 14, 10, 4, 7. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
  2. Summe der bekannten: 14 + 10 + 4 + 7 = 35
  3. 45 − 35 = 10
  1. Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
  2. Summe der bekannten: 14 + 10 + 4 + 7 = 35
  3. 45 − 35 = 10
Ergebnis:
10 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 332 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 366, 288, 303, 325. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher280290300310320330340350360370380?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 332 = 1660
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 332 = 1660
    2. Summe der bekannten: 366 + 288 + 303 + 325 = 1282
    3. 1660 − 1282 = 378
    Ergebnis:
    378 cm
  2. ●8
    Mila möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 13 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 18, 8, 8. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher8101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    2. Summe der bekannten: 18 + 8 + 8 = 34
    3. 52 − 34 = 18
    Ergebnis:
    18 Treffer
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 38 min. Bekannt sind 34, 40, 57, 45, 30. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 38 = 228
    2. Summe der bekannten: 34 + 40 + 57 + 45 + 30 = 206
    3. 228 − 206 = 22
    Ergebnis:
    22 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 28-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 27-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord28 von 50Team Süd27 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 2850 = 0,56
  2. Team Süd: 2740 = 0,675
  3. 0,675 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 2850 = 0,56
  2. Team Süd: 2740 = 0,675
  3. 0,675 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,675)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 20 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A7 von 10B20 von 50
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 710 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 710 = 0,7
    2. Klasse 6b: 2050 = 0,4
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,7)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 3 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A3 von 10B9 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 310 = 0,3
    2. Fußball-AG: 940 = 0,225
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 14 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 15 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A14 von 25B15 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1425 = 0,56
    2. Schule am See: 1540 = 0,375
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 5 Mädchen und 6 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 35 − 17 = 18
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 18 − 6 = 12
  3. Kontrolle: 5 + 12 + 6 + 12 = 35
  1. Jungen: 35 − 17 = 18
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 18 − 6 = 12
  3. Kontrolle: 5 + 12 + 6 + 12 = 35
Ergebnis:
12

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen131326Jungen14?21gesamt272047
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 21.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 21.
    2. 21 − 14 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 13 = 20
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 513??Klasse 614923gesamt?23?
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 23 − 9 = 14
    2. Zeile Klasse 5: 13 + 14 = 27
    3. Insgesamt: 27 + 23 = 50
    Ergebnis:
    50
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 5 Mädchen und 8 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 35 − 18 = 17
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 17 − 8 = 9
    3. Kontrolle: 5 + 13 + 8 + 9 = 35
    Ergebnis:
    9

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer41732178
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 178 : 500 = 0,356
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 178 : 500 = 0,356
Ergebnis:
0,356

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer31634177
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 34 : 100 = 0,34
    Ergebnis:
    0,34
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer21219104
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 19 : 100 = 0,19
    3. 104 : 500 = 0,208
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,208
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer42486409
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 86 : 200 = 0,43
    3. 409 : 1000 = 0,409
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,409

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 3 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 3: 3 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 3 + 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 359, 242, 340, 274, 345. Gruppe Falken: 254, 381, 247, 328, 380. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 359 + 242 + 340 + 274 + 345 = 1560, 1560 : 5 = 312
    2. Gruppe Falken: 254 + 381 + 247 + 328 + 380 = 1590, 1590 : 5 = 318
    3. 318 − 312 = 6
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 6 cm
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 366, 265, 250, 357, 267. Team Süd: 316, 298, 288, 309, 294. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 366 − 250 = 116
    2. Team Süd: 316 − 288 = 28
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 28 gegen 116)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 20, 21, 205, 20, 19. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 57 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 19, 20, 20, 21, 205
    2. Median: 20
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 205.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 20 passt besser
  4. ●28
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 310 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 261, 364, 270, 266. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 310 = 1550
    2. Summe der bekannten: 261 + 364 + 270 + 266 = 1161
    3. 1550 − 1161 = 389
    Ergebnis:
    389 cm
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 23-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord23 von 50Team Süd8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2350 = 0,46
    2. Team Süd: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 10-mal auf den Korb und trifft 5-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 510
    2. Gekürzt: 510 = 12
    3. Als Dezimalzahl: 5 : 10 = 0,5
    Ergebnis:
    12 = 0,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 23, 28, 19, 20, 20. Team Süd: 25, 18, 8, 8, 26. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord, um 5 Punkte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 8, 41, 4, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 310 cm. Bekannt sind 279, 319, 277. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    365 cm

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 512??Klasse 69716gesamt?10?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken, um 1 min
  2. Gruppe Falken (25 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)
  3. Jungen, um 2 min
  4. Median (6 statt 12)
  5. Median (20 statt 64)
  6. Median (6 statt 11)
  7. 378 cm
  8. 18 Treffer
  9. 22 min
  10. Klasse 6a (0,7)
  11. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  12. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  13. 7
  14. 50
  15. 9
  16. 0,34
  17. 0,208
  18. 0,409
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 536
  21. 6 Ergebnisse
  22. fair (15 zu 15)
  23. fair (18 zu 18)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Gruppe Falken, um 6 cm
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 28 gegen 116)
  27. Nein, der Median 20 passt besser
  28. 389 cm
  29. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  30. 12 = 0,5
  31. Team Nord, um 5 Punkte
  32. Nein, der Median 8 passt besser
  33. 365 cm
  34. 31
  35. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  36. x̄ = 6,8
  37. Median 16; Spannweite 17