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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 7, 1, 11, 6, 5. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 14, 15, 9, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 9, 14, 15, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 14
    3. Spannweite = 17 − 2 = 15
    Ergebnis:
    Median 14; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 6, 10, 16, 5, 3. Team Süd: 12, 6, 15, 13, 4. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd246810121416
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 6 + 10 + 16 + 5 + 3 = 40, 40 : 5 = 8
  2. Team Süd: 12 + 6 + 15 + 13 + 4 = 50, 50 : 5 = 10
  3. 10 ist mehr als 8.
  1. Team Nord: 6 + 10 + 16 + 5 + 3 = 40, 40 : 5 = 8
  2. Team Süd: 12 + 6 + 15 + 13 + 4 = 50, 50 : 5 = 10
  3. 10 ist mehr als 8.
Ergebnis:
Team Süd (10 Treffer gegen 8 Treffer)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 11, 17, 15, 19, 23. Team Süd: 28, 9, 24, 11, 18. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 11, 15, 17, 19, 23, Median 17
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 11, 15, 17, 19, 23, Median 17
    2. Team Süd geordnet: 9, 11, 18, 24, 28, Median 18
    3. 18 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 18 gegen 17)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 31, 21, 12, 8, 23. Jungen: 12, 34, 24, 14, 16. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 31 + 21 + 12 + 8 + 23 = 95, 95 : 5 = 19
    2. Jungen: 12 + 34 + 24 + 14 + 16 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Jungen (20 Hundert Schritte gegen 19 Hundert Schritte)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 25, 32, 10, 19, 39. Jungen: 16, 31, 7, 9, 37. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 10, 19, 25, 32, 39, Median 25
    2. Jungen geordnet: 7, 9, 16, 31, 37, Median 16
    3. 25 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 25 gegen 16)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 9, 41, 6, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Werte051015202530354045
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
  2. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 41, Median 7
  3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
  2. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 41, Median 7
  3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (7 statt 13)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 3, 36, 9, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    Mittelwert: 60 : 5 = 12
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 36, Median 6
    3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 12)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 56, 9, 6, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 16 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 56
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 56.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 5, 6, 8, 36, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 66 : 6 = 11
    2. Geordnet: 2, 5, 6, 8, 9, 36, Median 7
    3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 11)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 20, 25, 22. Welches Ergebnis fehlt?
bisher20212223242526?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 20 + 25 + 22 = 67
  3. 76 − 67 = 9
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 20 + 25 + 22 = 67
  3. 76 − 67 = 9
Ergebnis:
9 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 20 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 9, 26, 28. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
    2. Summe der bekannten: 9 + 26 + 28 = 63
    3. 80 − 63 = 17
    Ergebnis:
    17 Punkte
  2. ●8
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 291 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 361, 266, 292. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 291 = 1164
    2. Summe der bekannten: 361 + 266 + 292 = 919
    3. 1164 − 919 = 245
    Ergebnis:
    245 cm
  3. ★9
    Noah möchte bei 6 Runden Korbwurf im Mittel genau 9 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 14, 8, 13, 4, 3. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher246810121416?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 9 = 54
    2. Summe der bekannten: 14 + 8 + 13 + 4 + 3 = 42
    3. 54 − 42 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord17 von 25Team Süd5 von 20
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1725 = 0,68
  2. Team Süd: 520 = 0,25
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 1725 = 0,68
  2. Team Süd: 520 = 0,25
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Nord (0,68)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 18 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A7 von 10B18 von 50
    So fängst du an:
    Schule am Park: 710 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 710 = 0,7
    2. Schule am See: 1850 = 0,36
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord13 von 50Team Süd12 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1350 = 0,26
    2. Team Süd: 1220 = 0,6
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,6)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 16 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 13 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A16 von 40B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1640 = 0,4
    2. Schule am See: 1320 = 0,65
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in keiner AG?
AG jaAG neingesamtKlasse 54?14Klasse 614620gesamt181634
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 5: zusammen 14.
  2. 14 − 4 = 10
  3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 6 = 16
  1. Zeile Klasse 5: zusammen 14.
  2. 14 − 4 = 10
  3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 6 = 16
Ergebnis:
10

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen9??Jungen111324gesamt?22?
    So fängst du an:
    Spalte kein Frühstück: 22 − 13 = 9
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 22 − 13 = 9
    2. Zeile Mädchen: 9 + 9 = 18
    3. Insgesamt: 18 + 24 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 12 Mädchen. 7 Mädchen und 11 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 33 − 12 = 21
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 21 − 11 = 10
    3. Kontrolle: 7 + 5 + 11 + 10 = 33
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 542125Klasse 6358gesamt72633
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 425 = 0,16
    2. Klasse 6: 38 = 0,375
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6 (0,375)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer31842219
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 42 : 100 = 0,42
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 42 : 100 = 0,42
Ergebnis:
0,42

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer251781
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 17 : 100 = 0,17
    3. 81 : 500 = 0,162
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,162
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer31629154
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 29 : 100 = 0,29
    3. 154 : 500 = 0,308
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,308
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,6.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer62180395
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 395 : 1000 = 0,395
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,395

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
Ergebnis:
5 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 3 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 3: 1 und 3; 3 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungNoch einmal: Ergebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Mila und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 17, 8, 4, 3, 13. Jungen: 12, 4, 14, 11, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 17 + 8 + 4 + 3 + 13 = 45, 45 : 5 = 9
    2. Jungen: 12 + 4 + 14 + 11 + 9 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 10 − 9 = 1
    Ergebnis:
    Jungen, um 1 Treffer
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 28, 22, 12, 19, 24. Gruppe Falken: 22, 20, 20, 21, 22. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken121416182022242628
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 28 − 12 = 16
    2. Gruppe Falken: 22 − 20 = 2
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 2 gegen 16)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 57, 4, 8, 9, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 17 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 7, 8, 9, 57
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 57.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 6, 17, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
    2. Summe der bekannten: 6 + 17 + 13 = 36
    3. 44 − 36 = 8
    Ergebnis:
    8 Treffer
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 16 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A16 von 25B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1625 = 0,64
    2. Fußball-AG: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 100-mal geworfen. 79-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer79 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 79100
    2. 79100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 79 : 100 = 0,79
    Ergebnis:
    79100 = 0,79

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 15, 17, 7, 8, 18. Jungen: 12, 6, 16, 3, 3. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (13 Treffer gegen 8 Treffer)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 51, 5, 4, 7, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 51, Mittelwert 15 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 331 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 381, 244, 293, 366. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    371 cm

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 43 Kinder mit, davon sind 17 Kinder der Klasse 6a. 7 Kinder der Klasse 6a und 12 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31133155
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,31

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd (Median 18 gegen 17)
  2. Jungen (20 Hundert Schritte gegen 19 Hundert Schritte)
  3. Mädchen (Median 25 gegen 16)
  4. Median (6 statt 12)
  5. Nein, der Median 6 passt besser
  6. Median (7 statt 11)
  7. 17 Punkte
  8. 245 cm
  9. 12 Treffer
  10. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  11. Team Süd (0,6)
  12. Schule am See (0,65)
  13. 42
  14. 10
  15. Klasse 6 (0,375)
  16. 0,162
  17. 0,308
  18. Nein, eher 0,395
  19. 16
  20. 112
  21. 2 Ergebnisse
  22. fair (18 zu 18)
  23. fair (3 zu 3)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Jungen, um 1 Treffer
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 2 gegen 16)
  27. Nein, der Median 8 passt besser
  28. 8 Treffer
  29. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  30. 79100 = 0,79
  31. Mädchen (13 Treffer gegen 8 Treffer)
  32. Ausreißer 51, Mittelwert 15 statt 6
  33. 371 cm
  34. 14
  35. Nein, eher 0,31
  36. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  37. x̄ = 6
  38. Median 14; Spannweite 15