Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 15, 11, 6, 3, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,4
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 12, 17, 20, 4, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 6, 12, 17, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 20 − 4 = 16
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 4, 15, 10, 16. Team Süd: 17, 6, 4, 7, 6. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 10 + 4 + 15 + 10 + 16 = 55, 55 : 5 = 11
  2. Team Süd: 17 + 6 + 4 + 7 + 6 = 40, 40 : 5 = 8
  3. 11 ist mehr als 8.
  1. Team Nord: 10 + 4 + 15 + 10 + 16 = 55, 55 : 5 = 11
  2. Team Süd: 17 + 6 + 4 + 7 + 6 = 40, 40 : 5 = 8
  3. 11 ist mehr als 8.
Ergebnis:
Team Nord (11 Treffer gegen 8 Treffer)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 21, 20, 16, 21, 17. Team Süd: 16, 26, 13, 22, 23. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd1214161820222426
    So fängst du an:
    Team Nord: 21 + 20 + 16 + 21 + 17 = 95, 95 : 5 = 19
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 21 + 20 + 16 + 21 + 17 = 95, 95 : 5 = 19
    2. Team Süd: 16 + 26 + 13 + 22 + 23 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Team Süd (20 Punkte gegen 19 Punkte)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 341, 272, 292, 323, 272. Team Süd: 342, 277, 272, 287, 347. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd270280290300310320330340350
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 341 + 272 + 292 + 323 + 272 = 1500, 1500 : 5 = 300
    2. Team Süd: 342 + 277 + 272 + 287 + 347 = 1525, 1525 : 5 = 305
    3. 305 ist mehr als 300.
    Ergebnis:
    Team Süd (305 cm gegen 300 cm)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 4, 10, 17, 11, 8. Team Süd: 14, 12, 18, 12, 5, 11. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 10 + 4 + 10 + 17 + 11 + 8 = 60, 60 : 6 = 10
    2. Team Süd: 14 + 12 + 18 + 12 + 5 + 11 = 72, 72 : 6 = 12
    3. 12 − 10 = 2
    Ergebnis:
    Team Süd, um 2 Treffer

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 7, 42, 8, 8, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte51015202530354045
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 5, 7, 8, 8, 42
  2. Median: 8
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 42.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 5, 7, 8, 8, 42
  2. Median: 8
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 42.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 8 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 28, 59, 33, 36, 274. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    So fängst du an:
    Mittelwert: 430 : 5 = 86
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 430 : 5 = 86
    2. Geordnet: 28, 33, 36, 59, 274, Median 36
    3. Der Wert 274 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (36 statt 86)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 20, 21, 158, 12, 19. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160
    Lösung zeigen
    1. 158 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 230 : 5 = 46
    3. Ohne ihn: 72 : 4 = 18
    Ergebnis:
    Ausreißer 158, Mittelwert 46 statt 18
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 2, 6, 41, 3, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 3, 6, 7, 7, 41
    2. Median: 6,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 11 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 18, 6, 8, 14. Welches Ergebnis fehlt?
bisher68101214161820?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
  2. Summe der bekannten: 18 + 6 + 8 + 14 = 46
  3. 55 − 46 = 9
  1. Summe aller Werte: 5 · 11 = 55
  2. Summe der bekannten: 18 + 6 + 8 + 14 = 46
  3. 55 − 46 = 9
Ergebnis:
9 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 42 min. Bekannt sind 34, 51, 41. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
    2. Summe der bekannten: 34 + 51 + 41 = 126
    3. 168 − 126 = 42
    Ergebnis:
    42 min
  2. ●8
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 20 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 27, 26, 19, 12. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher12141618202224262830?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
    2. Summe der bekannten: 27 + 26 + 19 + 12 = 84
    3. 100 − 84 = 16
    Ergebnis:
    16 Punkte
  3. ★9
    Noah hat in 5 Spielen im Mittel 14 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 17 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 14 = 70
    2. Summe nachher: 6 · 17 = 102
    3. 102 − 70 = 32
    Ergebnis:
    32 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 10 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 12 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A10 von 20B12 von 40
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 1020 = 0,5
  2. Klasse 6b: 1240 = 0,3
  3. 0,5 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 1020 = 0,5
  2. Klasse 6b: 1240 = 0,3
  3. 0,5 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,5)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 7 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 27 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A7 von 20B27 von 40
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 720 = 0,35
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 720 = 0,35
    2. Klasse 6b: 2740 = 0,675
    3. 0,675 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,675)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 10B6 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 510 = 0,5
    2. Schule am See: 620 = 0,3
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,5)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord8 von 10Team Süd14 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 1425 = 0,56
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,8)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 32 Kinder mit, davon sind 15 Mädchen. 4 Mädchen und 7 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 32 − 15 = 17
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 17 − 7 = 10
  3. Kontrolle: 4 + 11 + 7 + 10 = 32
  1. Jungen: 32 − 15 = 17
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 17 − 7 = 10
  3. Kontrolle: 4 + 11 + 7 + 10 = 32
Ergebnis:
10

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?318Klasse 68816gesamt231134
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 5: zusammen 18.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 18.
    2. 18 − 3 = 15
    3. Kontrolle mit der Spalte: 15 + 8 = 23
    Ergebnis:
    15
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 52 Kinder mit, davon sind 24 Kinder aus Klasse 5. 14 Kinder aus Klasse 5 und 15 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 52 − 24 = 28
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 28 − 15 = 13
    3. Kontrolle: 14 + 10 + 15 + 13 = 52
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 4 Mädchen und 4 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 31 − 18 = 13
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 13 − 4 = 9
    3. Kontrolle: 4 + 14 + 4 + 9 = 31
    Ergebnis:
    9

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer31941196
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 41 : 100 = 0,41
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 41 : 100 = 0,41
Ergebnis:
0,41

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer21030151
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 30 : 100 = 0,3
    3. 151 : 500 = 0,302
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,302
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer32042222
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 42 : 100 = 0,42
    3. 222 : 500 = 0,444
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,444
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer22387405
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 405 : 1000 = 0,405
    Ergebnis:
    0,405

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. 5 von 36, also 536 = 536
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 2 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 2: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 3-mal so oft.
    4. Lotta braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Mila und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 24, 22, 21, 22, 21. Gruppe Falken: 38, 14, 22, 8, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 21, 21, 22, 22, 24, Median 22
    2. Gruppe Falken geordnet: 8, 8, 14, 22, 38, Median 14
    3. 22 ist mehr als 14.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 22 gegen 14)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 25, 29, 25, 23, 28. Jungen: 34, 35, 15, 32, 14. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 130 : 5 = 26
    2. Mädchen: 29 − 23 = 6
    3. Jungen: 35 − 14 = 21
    4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 6 gegen 21)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 14, 18, 13, 197. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 53 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 13, 14, 18, 23, 197
    2. Median: 18
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 197.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 18 passt besser
  4. ●28
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 296 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 249, 322, 317. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240250260270280290300310320330340?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 296 = 1184
    2. Summe der bekannten: 249 + 322 + 317 = 888
    3. 1184 − 888 = 296
    Ergebnis:
    296 cm
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 12 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 10 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 50B10 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1250 = 0,24
    2. Fußball-AG: 1040 = 0,25
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 50-mal geworfen. 34-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer34 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 3450
    2. Gekürzt: 3450 = 1725
    3. Als Dezimalzahl: 34 : 50 = 0,68
    Ergebnis:
    1725 = 0,68

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 9, 28, 19, 30, 19. Team Süd: 8, 16, 10, 24, 27. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 19 gegen 16)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 21, 162, 19, 14, 14. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 46 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 19 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 9 Treffer. Bekannt sind 5, 8, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 8 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 16 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 20B16 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen7??Jungen9514gesamt?13?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd (20 Punkte gegen 19 Punkte)
  2. Team Süd (305 cm gegen 300 cm)
  3. Team Süd, um 2 Treffer
  4. Median (36 statt 86)
  5. Ausreißer 158, Mittelwert 46 statt 18
  6. Nein, der Median 6,5 passt besser
  7. 42 min
  8. 16 Punkte
  9. 32 Punkte
  10. Klasse 6b (0,675)
  11. Schule am Park (0,5)
  12. Team Nord (0,8)
  13. 15
  14. 13
  15. 9
  16. 0,302
  17. 0,444
  18. 0,405
  19. 2 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. 3 Punkte
  23. fair (15 zu 15)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Gruppe Adler (Median 22 gegen 14)
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 6 gegen 21)
  27. Nein, der Median 18 passt besser
  28. 296 cm
  29. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  30. 1725 = 0,68
  31. Team Nord (Median 19 gegen 16)
  32. Nein, der Median 19 passt besser
  33. 10 Treffer
  34. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  35. 29
  36. fair (18 zu 18)
  37. x̄ = 9,4
  38. Median 12; Spannweite 16