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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 11, 3, 12, 7, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,2
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 16, 9, 20, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 9, 16, 19, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 16
    3. Spannweite = 20 − 6 = 14
    Ergebnis:
    Median 16; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 5, 4, 5, 18, 18. Team Süd: 12, 4, 8, 11, 10. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Team NordTeam Süd4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 5 + 4 + 5 + 18 + 18 = 50, 50 : 5 = 10
  2. Team Süd: 12 + 4 + 8 + 11 + 10 = 45, 45 : 5 = 9
  3. 10 − 9 = 1
  1. Team Nord: 5 + 4 + 5 + 18 + 18 = 50, 50 : 5 = 10
  2. Team Süd: 12 + 4 + 8 + 11 + 10 = 45, 45 : 5 = 9
  3. 10 − 9 = 1
Ergebnis:
Team Nord, um 1 Treffer

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 23, 40, 54, 25, 38. Jungen: 53, 30, 56, 43, 18. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen15202530354045505560
    So fängst du an:
    Mädchen: 23 + 40 + 54 + 25 + 38 = 180, 180 : 5 = 36
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 23 + 40 + 54 + 25 + 38 = 180, 180 : 5 = 36
    2. Jungen: 53 + 30 + 56 + 43 + 18 = 200, 200 : 5 = 40
    3. 40 ist mehr als 36.
    Ergebnis:
    Jungen (40 min gegen 36 min)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 6, 15, 12, 13, 4. Jungen: 6, 13, 17, 13, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 4, 6, 12, 13, 15, Median 12
    2. Jungen geordnet: 6, 13, 13, 16, 17, Median 13
    3. 13 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 13 gegen 12)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 29, 23, 31, 27, 22, 36. Jungen: 15, 38, 29, 29, 38, 13. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 29 + 23 + 31 + 27 + 22 + 36 = 168, 168 : 6 = 28
    2. Jungen: 15 + 38 + 29 + 29 + 38 + 13 = 162, 162 : 6 = 27
    3. 28 − 27 = 1
    Ergebnis:
    Mädchen, um 1 Hundert Schritte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 38, 43, 392, 37, 30. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 108 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300350400
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 30, 37, 38, 43, 392
  2. Median: 38
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 392.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 30, 37, 38, 43, 392
  2. Median: 38
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 392.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 38 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 298, 24, 51, 30, 47. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 90 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    So fängst du an:
    Geordnet: 24, 30, 47, 51, 298
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 24, 30, 47, 51, 298
    2. Median: 47
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 298.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 47 passt besser
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 42, 5, 9, 6, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte51015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 42 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
    3. Ohne ihn: 28 : 4 = 7
    Ergebnis:
    Ausreißer 42, Mittelwert 14 statt 7
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 5, 53, 4, 8, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 78 : 6 = 13
    2. Geordnet: 4, 4, 4, 5, 8, 53, Median 4,5
    3. Der Wert 53 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (4,5 statt 13)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 35 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 60, 23, 28, 14. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
bisher10203040506070?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 35 = 175
  2. Summe der bekannten: 60 + 23 + 28 + 14 = 125
  3. 175 − 125 = 50
  1. Summe aller Werte: 5 · 35 = 175
  2. Summe der bekannten: 60 + 23 + 28 + 14 = 125
  3. 175 − 125 = 50
Ergebnis:
50 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 27, 22, 17, 15. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher141618202224262830?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    2. Summe der bekannten: 27 + 22 + 17 + 15 = 81
    3. 95 − 81 = 14
    Ergebnis:
    14 Punkte
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 296 cm. Bekannt sind 282, 244, 364. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 296 = 1184
    2. Summe der bekannten: 282 + 244 + 364 = 890
    3. 1184 − 890 = 294
    Ergebnis:
    294 cm
  3. ★9
    Lukas hat die Ergebnisse von 6 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 12, 16, 30, 9, 24. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 18 = 108
    2. Summe der bekannten: 12 + 16 + 30 + 9 + 24 = 91
    3. 108 − 91 = 17
    Ergebnis:
    17 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A8 von 10B16 von 50
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 810 = 0,8
  2. Schule am See: 1650 = 0,32
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
  1. Schule am Park: 810 = 0,8
  2. Schule am See: 1650 = 0,32
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord10 von 50Team Süd7 von 25
    So fängst du an:
    Team Nord: 1050 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1050 = 0,2
    2. Team Süd: 725 = 0,28
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 18 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A18 von 50B8 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1850 = 0,36
    2. Fußball-AG: 825 = 0,32
    3. 0,36 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,36)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 28-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 31-mal bei 50 Schüssen. Team West trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord28 von 40Team Süd31 von 50Team West6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2840 = 0,7
    2. Team Süd: 3150 = 0,62
    3. Team West: 610 = 0,6
    4. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,7)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
Haustierkein TiergesamtMädchen12?19Jungen61420gesamt182139
Schritt für Schritt
  1. Zeile Mädchen: zusammen 19.
  2. 19 − 12 = 7
  3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 14 = 21
  1. Zeile Mädchen: zusammen 19.
  2. 19 − 12 = 7
  3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 14 = 21
Ergebnis:
7

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a8?13Klasse 6b15318gesamt23831
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6a: zusammen 13.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 13.
    2. 13 − 8 = 5
    3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 3 = 8
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a13??Klasse 6b10313gesamt?17?
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 17 − 3 = 14
    2. Zeile Klasse 6a: 13 + 14 = 27
    3. Insgesamt: 27 + 13 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 15 Mädchen und 4 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 36 − 18 = 18
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 18 − 4 = 14
    3. Kontrolle: 15 + 3 + 4 + 14 = 36
    Ergebnis:
    14

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer51032154
Schritt für Schritt
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 32 : 100 = 0,32
  3. 154 : 500 = 0,308
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 32 : 100 = 0,32
  3. 154 : 500 = 0,308
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,308

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer52238198
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 198 : 500 = 0,396
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,396
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer62237205
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 205 : 500 = 0,41
    Ergebnis:
    0,41
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer41234169
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 169 : 1000 = 0,169
    Ergebnis:
    0,169

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 3-mal so oft.
    4. Ben braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 305, 387, 252, 261, 375. Gruppe Falken: 327, 355, 346, 344, 273. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 305 + 387 + 252 + 261 + 375 = 1580, 1580 : 5 = 316
    2. Gruppe Falken: 327 + 355 + 346 + 344 + 273 = 1645, 1645 : 5 = 329
    3. 329 − 316 = 13
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 13 cm
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 20, 41, 50, 35, 49. Gruppe Falken: 38, 36, 38, 41, 42. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken20253035404550
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 195 : 5 = 39
    2. Gruppe Adler: 50 − 20 = 30
    3. Gruppe Falken: 42 − 36 = 6
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 6 gegen 30)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 22, 16, 25, 21, 221. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 305 : 5 = 61
    2. Geordnet: 16, 21, 22, 25, 221, Median 22
    3. Der Wert 221 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (22 statt 61)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 37 min. Bekannt sind 28, 53, 18. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 37 = 148
    2. Summe der bekannten: 28 + 53 + 18 = 99
    3. 148 − 99 = 49
    Ergebnis:
    49 min
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 14 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 25 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A14 von 25B25 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1425 = 0,56
    2. Schule am See: 2550 = 0,5
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 50-mal geworfen. 18-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer18 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1850
    2. Gekürzt: 1850 = 925
    3. Als Dezimalzahl: 18 : 50 = 0,36
    Ergebnis:
    925 = 0,36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 8, 15, 30, 28, 9. Gruppe Falken: 26, 9, 14, 20, 11. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 15 gegen 14)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 4, 7, 51, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 326 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 318, 328, 316. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher316318320322324326328330?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    342 cm

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 48 Kinder mit, davon sind 22 Kinder der Klasse 6a. 15 Kinder der Klasse 6a und 15 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer21543199
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,398

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (40 min gegen 36 min)
  2. Jungen (Median 13 gegen 12)
  3. Mädchen, um 1 Hundert Schritte
  4. Nein, der Median 47 passt besser
  5. Ausreißer 42, Mittelwert 14 statt 7
  6. Median (4,5 statt 13)
  7. 14 Punkte
  8. 294 cm
  9. 17 Punkte
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Theater-AG (0,36)
  12. Team Nord (0,7)
  13. 5
  14. 40
  15. 14
  16. Nein, eher 0,396
  17. 0,41
  18. 0,169
  19. 118
  20. 112
  21. 536
  22. fair (18 zu 18)
  23. 2 Punkte
  24. 3 Punkte
  25. Gruppe Falken, um 13 cm
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 6 gegen 30)
  27. Median (22 statt 61)
  28. 49 min
  29. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  30. 925 = 0,36
  31. Gruppe Adler (Median 15 gegen 14)
  32. Nein, der Median 7 passt besser
  33. 342 cm
  34. 11
  35. 0,398
  36. fair (3 zu 3)
  37. x̄ = 7,2
  38. Median 16; Spannweite 14