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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 6, 11, 12, 15, 7. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,2
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 12, 18, 20, 20. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 12, 17, 18, 20, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 18
    3. Spannweite = 20 − 12 = 8
    Ergebnis:
    Median 18; Spannweite 8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 26, 8, 9, 14, 28. Team Süd: 9, 17, 23, 20, 26. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Team NordTeam Süd51015202530
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 26 + 8 + 9 + 14 + 28 = 85, 85 : 5 = 17
  2. Team Süd: 9 + 17 + 23 + 20 + 26 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 19 ist mehr als 17.
  1. Team Nord: 26 + 8 + 9 + 14 + 28 = 85, 85 : 5 = 17
  2. Team Süd: 9 + 17 + 23 + 20 + 26 = 95, 95 : 5 = 19
  3. 19 ist mehr als 17.
Ergebnis:
Team Süd (19 Punkte gegen 17 Punkte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 316, 277, 338, 345, 319. Gruppe Falken: 242, 335, 330, 310, 363. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 316 + 277 + 338 + 345 + 319 = 1595, 1595 : 5 = 319
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 316 + 277 + 338 + 345 + 319 = 1595, 1595 : 5 = 319
    2. Gruppe Falken: 242 + 335 + 330 + 310 + 363 = 1580, 1580 : 5 = 316
    3. 319 ist mehr als 316.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (319 cm gegen 316 cm)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 19, 15, 30, 29, 22. Gruppe Falken: 25, 38, 36, 10, 21. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 19 + 15 + 30 + 29 + 22 = 115, 115 : 5 = 23
    2. Gruppe Falken: 25 + 38 + 36 + 10 + 21 = 130, 130 : 5 = 26
    3. 26 ist mehr als 23.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (26 Hundert Schritte gegen 23 Hundert Schritte)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 9, 17, 12, 13, 9. Team Süd: 16, 5, 13, 18. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 9 + 17 + 12 + 13 + 9 = 60, 60 : 5 = 12
    2. Team Süd: 16 + 5 + 13 + 18 = 52, 52 : 4 = 13
    3. 13 − 12 = 1
    Ergebnis:
    Team Süd, um 1 Treffer

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 8, 6, 4, 6, 46. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte01020304050
Schritt für Schritt
  1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 187, 27, 24, 14, 23. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 55 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    So fängst du an:
    Geordnet: 14, 23, 24, 27, 187
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 14, 23, 24, 27, 187
    2. Median: 24
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 187.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 24 passt besser
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 12, 163, 28, 20, 12. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 47 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 12, 20, 28, 163
    2. Median: 20
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 163.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 20 passt besser
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 48, 29, 44, 59, 317, 25. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. 317 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 522 : 6 = 87
    3. Ohne ihn: 205 : 5 = 41
    Ergebnis:
    Ausreißer 317, Mittelwert 87 statt 41

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 328 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 323, 369, 289. Was braucht Noah beim letzten Mal?
bisher280290300310320330340350360370380?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 328 = 1312
  2. Summe der bekannten: 323 + 369 + 289 = 981
  3. 1312 − 981 = 331
  1. Summe aller Werte: 4 · 328 = 1312
  2. Summe der bekannten: 323 + 369 + 289 = 981
  3. 1312 − 981 = 331
Ergebnis:
331 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 315 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 381, 308, 256, 265. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400420?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 315 = 1575
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 315 = 1575
    2. Summe der bekannten: 381 + 308 + 256 + 265 = 1210
    3. 1575 − 1210 = 365
    Ergebnis:
    365 cm
  2. ●8
    Tim möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 37 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 25, 51, 28. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher2530354045505560?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 37 = 148
    2. Summe der bekannten: 25 + 51 + 28 = 104
    3. 148 − 104 = 44
    Ergebnis:
    44 min
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Weitsprüngen im Mittel genau 305 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 378, 276, 250, 288, 290. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 305 = 1830
    2. Summe der bekannten: 378 + 276 + 250 + 288 + 290 = 1482
    3. 1830 − 1482 = 348
    Ergebnis:
    348 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 20-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord16 von 20Team Süd20 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1620 = 0,8
  2. Team Süd: 2040 = 0,5
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
  1. Team Nord: 1620 = 0,8
  2. Team Süd: 2040 = 0,5
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 19 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A5 von 10B19 von 50
    So fängst du an:
    Theater-AG: 510 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 510 = 0,5
    2. Fußball-AG: 1950 = 0,38
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 10 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 17 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A10 von 40B17 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1040 = 0,25
    2. Klasse 6b: 1725 = 0,68
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,68)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 19 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A19 von 25B8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1925 = 0,76
    2. Schule am See: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 47 Kinder mit, davon sind 18 Kinder aus Klasse 5. 10 Kinder aus Klasse 5 und 15 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder aus Klasse 6: 47 − 18 = 29
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 29 − 15 = 14
  3. Kontrolle: 10 + 8 + 15 + 14 = 47
  1. Kinder aus Klasse 6: 47 − 18 = 29
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 29 − 15 = 14
  3. Kontrolle: 10 + 8 + 15 + 14 = 47
Ergebnis:
14

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 511819Klasse 611?21gesamt221840
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6: zusammen 21.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 21.
    2. 21 − 11 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?1324Klasse 6b9716gesamt202040
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 24.
    2. 24 − 13 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 9 = 20
    Ergebnis:
    11
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 22 Kinder der Klasse 6a. 14 Kinder der Klasse 6a und 9 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 42 − 22 = 20
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 9 = 11
    3. Kontrolle: 14 + 8 + 9 + 11 = 42
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer21337170
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 37 : 100 = 0,37
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 37 : 100 = 0,37
Ergebnis:
0,37

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer52142203
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 42 : 100 = 0,42
    3. 203 : 500 = 0,406
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,406
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer52648224
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 224 : 500 = 0,448
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,45.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,448
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer41555238
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 55 : 200 = 0,275
    Ergebnis:
    0,275

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 2 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 2: 4 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  3. ★24
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 278, 380, 288, 324, 380. Team Süd: 357, 339, 327, 274, 348. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 278 + 380 + 288 + 324 + 380 = 1650, 1650 : 5 = 330
    2. Team Süd: 357 + 339 + 327 + 274 + 348 = 1645, 1645 : 5 = 329
    3. 330 ist mehr als 329.
    Ergebnis:
    Team Nord (330 cm gegen 329 cm)
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 299, 314, 322, 311, 314. Team Süd: 267, 282, 373, 305, 333. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 1560 : 5 = 312
    2. Team Nord: 322 − 299 = 23
    3. Team Süd: 373 − 267 = 106
    4. Die Werte von Team Nord liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 23 gegen 106)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 6, 40, 3, 2. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. 40 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 12, 25, 21, 16. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
    2. Summe der bekannten: 12 + 25 + 21 + 16 = 74
    3. 85 − 74 = 11
    Ergebnis:
    11 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 23-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 37-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord23 von 40Team Süd37 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2340 = 0,575
    2. Team Süd: 3750 = 0,74
    3. 0,74 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,74)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 10 Kinder. 6 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 610
    2. Gekürzt: 610 = 35
    3. Als Dezimalzahl: 6 : 10 = 0,6
    Ergebnis:
    35 = 0,6

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 14, 6, 4, 12, 4. Team Süd: 3, 16, 15, 13, 13. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd246810121416
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (12 Treffer gegen 8 Treffer)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 21, 33, 49, 262, 45. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (45 statt 82)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Lukas möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 31 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 47, 25, 22. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher2025303540455055?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 min

  4. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    34
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31740199
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,398

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (319 cm gegen 316 cm)
  2. Gruppe Falken (26 Hundert Schritte gegen 23 Hundert Schritte)
  3. Team Süd, um 1 Treffer
  4. Nein, der Median 24 passt besser
  5. Nein, der Median 20 passt besser
  6. Ausreißer 317, Mittelwert 87 statt 41
  7. 365 cm
  8. 44 min
  9. 348 cm
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Klasse 6b (0,68)
  12. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  13. 10
  14. 11
  15. 11
  16. 0,406
  17. Nein, eher 0,448
  18. 0,275
  19. 536
  20. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  21. 8 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Team Nord (330 cm gegen 329 cm)
  26. gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 23 gegen 106)
  27. Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
  28. 11 Punkte
  29. Team Süd (0,74)
  30. 35 = 0,6
  31. Team Süd (12 Treffer gegen 8 Treffer)
  32. Median (45 statt 82)
  33. 30 min
  34. Nein, eher 0,398
  35. fair (15 zu 15)
  36. x̄ = 10,2
  37. Median 18; Spannweite 8