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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 7, 8, 12, 13, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 17, 20, 13, 4. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 11, 13, 17, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 20 − 4 = 16
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 4, 13, 16, 17, 15. Jungen: 18, 8, 4, 7, 3. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
MädchenJungen24681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen geordnet: 4, 13, 15, 16, 17, Median 15
  2. Jungen geordnet: 3, 4, 7, 8, 18, Median 7
  3. 15 ist mehr als 7.
  1. Mädchen geordnet: 4, 13, 15, 16, 17, Median 15
  2. Jungen geordnet: 3, 4, 7, 8, 18, Median 7
  3. 15 ist mehr als 7.
Ergebnis:
Mädchen (Median 15 gegen 7)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 26, 30, 37, 52, 45. Gruppe Falken: 31, 22, 31, 16, 45. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540455055
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 26 + 30 + 37 + 52 + 45 = 190, 190 : 5 = 38
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 26 + 30 + 37 + 52 + 45 = 190, 190 : 5 = 38
    2. Gruppe Falken: 31 + 22 + 31 + 16 + 45 = 145, 145 : 5 = 29
    3. 38 ist mehr als 29.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (38 min gegen 29 min)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 52, 45, 45, 38, 15. Gruppe Falken: 33, 31, 21, 18, 47. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 15, 38, 45, 45, 52, Median 45
    2. Gruppe Falken geordnet: 18, 21, 31, 33, 47, Median 31
    3. 45 ist mehr als 31.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 45 gegen 31)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 37, 39, 21, 7, 21. Jungen: 27, 36, 10, 35. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 37 + 39 + 21 + 7 + 21 = 125, 125 : 5 = 25
    2. Jungen: 27 + 36 + 10 + 35 = 108, 108 : 4 = 27
    3. 27 − 25 = 2
    Ergebnis:
    Jungen, um 2 Hundert Schritte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 21, 12, 154, 26, 17. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte020406080100120140160
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 230 : 5 = 46
  2. Geordnet: 12, 17, 21, 26, 154, Median 21
  3. Der Wert 154 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 230 : 5 = 46
  2. Geordnet: 12, 17, 21, 26, 154, Median 21
  3. Der Wert 154 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (21 statt 46)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 56, 5, 3, 9, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    Mittelwert: 80 : 5 = 16
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
    2. Geordnet: 3, 5, 7, 9, 56, Median 7
    3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 16)
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 42, 4, 8, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 4, 8, 8, 8, 42, Median 8
    3. Der Wert 42 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 14)
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 60, 5, 7, 7, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 5, 7, 7, 7, 60
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 60.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 27, 15, 19, 15. Welches Ergebnis fehlt?
bisher141618202224262830?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
  2. Summe der bekannten: 27 + 15 + 19 + 15 = 76
  3. 95 − 76 = 19
  1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
  2. Summe der bekannten: 27 + 15 + 19 + 15 = 76
  3. 95 − 76 = 19
Ergebnis:
19 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 41 min. Bekannt sind 57, 44, 20. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
    2. Summe der bekannten: 57 + 44 + 20 = 121
    3. 164 − 121 = 43
    Ergebnis:
    43 min
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 295 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 306, 284, 280. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher280285290295300305310315?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 295 = 1180
    2. Summe der bekannten: 306 + 284 + 280 = 870
    3. 1180 − 870 = 310
    Ergebnis:
    310 cm
  3. ★9
    Mila hat die Ergebnisse von 6 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 12 Treffer. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 17, 18, 6, 6, 15. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 12 = 72
    2. Summe der bekannten: 17 + 18 + 6 + 6 + 15 = 62
    3. 72 − 62 = 10
    Ergebnis:
    10 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 23 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A8 von 10B23 von 40
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 810 = 0,8
  2. Fußball-AG: 2340 = 0,575
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
  1. Theater-AG: 810 = 0,8
  2. Fußball-AG: 2340 = 0,575
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 5 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 11 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 20B11 von 50
    So fängst du an:
    Theater-AG: 520 = 0,25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 520 = 0,25
    2. Fußball-AG: 1150 = 0,22
    3. 0,25 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,25)
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 13 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 8 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A13 von 50B8 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1350 = 0,26
    2. Klasse 6b: 820 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 8 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am Markt sagen 18 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 840 = 0,2
    2. Schule am See: 510 = 0,5
    3. Schule am Markt: 1825 = 0,72
    4. 0,72 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Markt (0,72)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 32 Kinder mit, davon sind 14 Mädchen. 7 Mädchen und 6 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 32 − 14 = 18
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 18 − 6 = 12
  3. Kontrolle: 7 + 7 + 6 + 12 = 32
  1. Jungen: 32 − 14 = 18
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 18 − 6 = 12
  3. Kontrolle: 7 + 7 + 6 + 12 = 32
Ergebnis:
12

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 11 Mädchen. 8 Mädchen und 15 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 31 − 11 = 20
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 31 − 11 = 20
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 20 − 15 = 5
    3. Kontrolle: 8 + 3 + 15 + 5 = 31
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a6713Klasse 6b?1321gesamt142034
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 21.
    2. 21 − 13 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 6 = 14
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen11819Jungen11?14gesamt221133
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 14.
    2. 14 − 11 = 3
    3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 8 = 11
    Ergebnis:
    3

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer32644221
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 221 : 500 = 0,442
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,44.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 221 : 500 = 0,442
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,44.
Ergebnis:
Nein, eher 0,442

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer21632174
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 174 : 500 = 0,348
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,348
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31336181
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 181 : 500 = 0,362
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,36.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,362
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer42684451
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 84 : 200 = 0,42
    3. 451 : 1000 = 0,451
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,451

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
Ergebnis:
6 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 3-mal so oft.
    4. Lotta braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 19, 10, 22, 25, 14. Team Süd: 9, 9, 24, 22, 21. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd8101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 19 + 10 + 22 + 25 + 14 = 90, 90 : 5 = 18
    2. Team Süd: 9 + 9 + 24 + 22 + 21 = 85, 85 : 5 = 17
    3. 18 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Team Nord (18 Punkte gegen 17 Punkte)
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 49, 18, 19, 19, 45. Gruppe Falken: 34, 27, 28, 33, 28. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1520253035404550
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 49 − 18 = 31
    2. Gruppe Falken: 34 − 27 = 7
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 7 gegen 31)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 36, 30, 34, 251, 44. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 395 : 5 = 79
    2. Geordnet: 30, 34, 36, 44, 251, Median 36
    3. Der Wert 251 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (36 statt 79)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 22 Punkte. Bekannt sind 27, 15, 24, 24. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 22 = 110
    2. Summe der bekannten: 27 + 15 + 24 + 24 = 90
    3. 110 − 90 = 20
    Ergebnis:
    20 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord8 von 10Team Süd12 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 1250 = 0,24
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 100-mal geworfen. 26-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer26 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 26100
    2. Gekürzt: 26100 = 1350
    3. Als Dezimalzahl: 26 : 100 = 0,26
    Ergebnis:
    1350 = 0,26

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 9, 30, 14, 22, 30. Jungen: 32, 6, 13, 35, 24. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen5101520253035
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen (Median 24 gegen 22)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 25, 350, 48, 21, 46. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (46 statt 98)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 15, 17, 28. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher141618202224262830?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 12 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 10B12 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen10??Jungen111122gesamt?14?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51842204
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,408

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (38 min gegen 29 min)
  2. Gruppe Adler (Median 45 gegen 31)
  3. Jungen, um 2 Hundert Schritte
  4. Median (7 statt 16)
  5. Median (8 statt 14)
  6. Nein, der Median 7 passt besser
  7. 43 min
  8. 310 cm
  9. 10 Treffer
  10. Theater-AG (0,25)
  11. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  12. Schule am Markt (0,72)
  13. 5
  14. 8
  15. 3
  16. Nein, eher 0,348
  17. Nein, eher 0,362
  18. 0,451
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  21. 112
  22. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. 3 Punkte
  24. fair (18 zu 18)
  25. Team Nord (18 Punkte gegen 17 Punkte)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 7 gegen 31)
  27. Median (36 statt 79)
  28. 20 Punkte
  29. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  30. 1350 = 0,26
  31. Jungen (Median 24 gegen 22)
  32. Median (46 statt 98)
  33. 16 Punkte
  34. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  35. 35
  36. Nein, eher 0,408
  37. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  38. 2 Punkte
  39. x̄ = 9,6
  40. Median 13; Spannweite 16