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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 3, 8, 8, 7, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,6
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 16, 5, 6, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 6, 12, 16, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 16 − 5 = 11
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 262, 378, 254, 387, 279. Gruppe Falken: 351, 335, 349, 318, 332. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 262 + 378 + 254 + 387 + 279 = 1560, 1560 : 5 = 312
  2. Gruppe Falken: 351 + 335 + 349 + 318 + 332 = 1685, 1685 : 5 = 337
  3. 337 − 312 = 25
  1. Gruppe Adler: 262 + 378 + 254 + 387 + 279 = 1560, 1560 : 5 = 312
  2. Gruppe Falken: 351 + 335 + 349 + 318 + 332 = 1685, 1685 : 5 = 337
  3. 337 − 312 = 25
Ergebnis:
Gruppe Falken, um 25 cm

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 57, 52, 11, 16, 29. Gruppe Falken: 42, 16, 17, 58, 37. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 57 + 52 + 11 + 16 + 29 = 165, 165 : 5 = 33
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 57 + 52 + 11 + 16 + 29 = 165, 165 : 5 = 33
    2. Gruppe Falken: 42 + 16 + 17 + 58 + 37 = 170, 170 : 5 = 34
    3. 34 ist mehr als 33.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (34 min gegen 33 min)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 17, 16, 16, 27, 14. Gruppe Falken: 29, 25, 6, 19, 31. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 14, 16, 16, 17, 27, Median 16
    2. Gruppe Falken geordnet: 6, 19, 25, 29, 31, Median 25
    3. 25 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 25 gegen 16)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 389, 330, 247, 263, 306. Gruppe Falken: 276, 338, 379, 315, 261, 363. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 247, 263, 306, 330, 389, Median 306
    2. Gruppe Falken geordnet: 261, 276, 315, 338, 363, 379, Median 326,5
    3. 326,5 ist mehr als 306.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 326,5 gegen 306)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 7, 60, 2, 2. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
  2. Geordnet: 2, 2, 7, 9, 60, Median 7
  3. Der Wert 60 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
  2. Geordnet: 2, 2, 7, 9, 60, Median 7
  3. Der Wert 60 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (7 statt 16)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 3, 50, 7, 2. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    Geordnet: 2, 3, 7, 8, 50
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 3, 7, 8, 50
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 50.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 28, 13, 11, 172, 16. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175
    Lösung zeigen
    1. 172 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 240 : 5 = 48
    3. Ohne ihn: 68 : 4 = 17
    Ergebnis:
    Ausreißer 172, Mittelwert 48 statt 17
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 17, 26, 24, 243, 11. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 58 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 11, 17, 24, 26, 27, 243
    2. Median: 25
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 243.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 25 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 12 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 13, 9, 13. Was braucht Noah beim letzten Mal?
bisher91011121314?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
  2. Summe der bekannten: 13 + 9 + 13 = 35
  3. 48 − 35 = 13
  1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
  2. Summe der bekannten: 13 + 9 + 13 = 35
  3. 48 − 35 = 13
Ergebnis:
13 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 38 min. Bekannt sind 33, 36, 26, 57. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 38 = 190
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 38 = 190
    2. Summe der bekannten: 33 + 36 + 26 + 57 = 152
    3. 190 − 152 = 38
    Ergebnis:
    38 min
  2. ●8
    Noah möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 14, 27, 10. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 14 + 27 + 10 = 51
    3. 76 − 51 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte
  3. ★9
    Lukas möchte bei 6 Weitsprüngen im Mittel genau 322 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 343, 386, 333, 265, 250. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 322 = 1932
    2. Summe der bekannten: 343 + 386 + 333 + 265 + 250 = 1577
    3. 1932 − 1577 = 355
    Ergebnis:
    355 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 23-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord23 von 40Team Süd8 von 10
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 2340 = 0,575
  2. Team Süd: 810 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
  1. Team Nord: 2340 = 0,575
  2. Team Süd: 810 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord10 von 20Team Süd8 von 10
    So fängst du an:
    Team Nord: 1020 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1020 = 0,5
    2. Team Süd: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 22 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 13 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A22 von 50B13 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2250 = 0,44
    2. Schule am See: 1325 = 0,52
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord8 von 10Team Süd6 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 620 = 0,3
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,8)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 9 Mädchen und 10 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 33 − 17 = 16
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 10 = 6
  3. Kontrolle: 9 + 8 + 10 + 6 = 33
  1. Jungen: 33 − 17 = 16
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 10 = 6
  3. Kontrolle: 9 + 8 + 10 + 6 = 33
Ergebnis:
6

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen15318Jungen14?22gesamt291140
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 22.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 22.
    2. 22 − 14 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 3 = 11
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 18 Kinder aus Klasse 5. 13 Kinder aus Klasse 5 und 12 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 36 − 18 = 18
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 18 − 12 = 6
    3. Kontrolle: 13 + 5 + 12 + 6 = 36
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 56410Klasse 642125gesamt102535
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 610 = 0,6
    2. Klasse 6: 425 = 0,16
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 5 (0,6)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer32034174
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 34 : 100 = 0,34
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 34 : 100 = 0,34
Ergebnis:
0,34

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer1722104
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 22 : 100 = 0,22
    3. 104 : 500 = 0,208
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,208
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer391486
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 9 : 50 = 0,18
    Ergebnis:
    0,18
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer62073394
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 73 : 200 = 0,365
    3. 394 : 1000 = 0,394
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,394

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
Ergebnis:
4 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 10, 16, 16, 11, 7. Jungen: 18, 12, 10, 6, 9. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 7, 10, 11, 16, 16, Median 11
    2. Jungen geordnet: 6, 9, 10, 12, 18, Median 10
    3. 11 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 11 gegen 10)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 19, 23, 22, 25, 21. Gruppe Falken: 22, 17, 24, 26, 21. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken161820222426
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 110 : 5 = 22
    2. Gruppe Adler: 25 − 19 = 6
    3. Gruppe Falken: 26 − 17 = 9
    4. Die Werte von Gruppe Adler liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 6 gegen 9)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 51, 22, 33, 393, 46. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. 393 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 545 : 5 = 109
    3. Ohne ihn: 152 : 4 = 38
    Ergebnis:
    Ausreißer 393, Mittelwert 109 statt 38
  4. ●28
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 8, 28, 14. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 16 = 64
    2. Summe der bekannten: 8 + 28 + 14 = 50
    3. 64 − 50 = 14
    Ergebnis:
    14 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 20-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord20 von 25Team Süd14 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2025 = 0,8
    2. Team Süd: 1420 = 0,7
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,8)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 20-mal auf den Korb und trifft 17-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer17 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1720
    2. 1720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 20 = 0,85
    Ergebnis:
    1720 = 0,85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 30, 40, 6, 34, 15. Gruppe Falken: 9, 40, 10, 40, 6. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 30 gegen 10)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 154, 16, 21, 13, 26. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 154, Mittelwert 46 statt 19

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 325 cm. Bekannt sind 341, 309, 370. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    280 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 20 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 10B20 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 14 Mädchen. 11 Mädchen und 15 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer41117102
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,22

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (34 min gegen 33 min)
  2. Gruppe Falken (Median 25 gegen 16)
  3. Gruppe Falken (Median 326,5 gegen 306)
  4. Nein, der Median 7 passt besser
  5. Ausreißer 172, Mittelwert 48 statt 17
  6. Nein, der Median 25 passt besser
  7. 38 min
  8. 25 Punkte
  9. 355 cm
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  12. Team Nord (0,8)
  13. 8
  14. 6
  15. Klasse 5 (0,6)
  16. 0,208
  17. 0,18
  18. 0,394
  19. 112
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 16
  22. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Mädchen (Median 11 gegen 10)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 6 gegen 9)
  27. Ausreißer 393, Mittelwert 109 statt 38
  28. 14 Punkte
  29. Team Nord (0,8)
  30. 1720 = 0,85
  31. Gruppe Adler (Median 30 gegen 10)
  32. Ausreißer 154, Mittelwert 46 statt 19
  33. 280 cm
  34. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  35. 4
  36. 0,22
  37. fair (18 zu 18)
  38. x̄ = 7,6
  39. Median 12; Spannweite 11