Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 10, 9, 13, 15, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 11
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 10, 15, 11, 3. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 10, 11, 15, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 19 − 3 = 16
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 29, 19, 36, 22, 29. Gruppe Falken: 23, 36, 30, 17, 19. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 19, 22, 29, 29, 36, Median 29
  2. Gruppe Falken geordnet: 17, 19, 23, 30, 36, Median 23
  3. 29 ist mehr als 23.
  1. Gruppe Adler geordnet: 19, 22, 29, 29, 36, Median 29
  2. Gruppe Falken geordnet: 17, 19, 23, 30, 36, Median 23
  3. 29 ist mehr als 23.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 29 gegen 23)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 312, 242, 374, 316, 251. Gruppe Falken: 315, 337, 363, 287, 293. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 312 + 242 + 374 + 316 + 251 = 1495, 1495 : 5 = 299
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 312 + 242 + 374 + 316 + 251 = 1495, 1495 : 5 = 299
    2. Gruppe Falken: 315 + 337 + 363 + 287 + 293 = 1595, 1595 : 5 = 319
    3. 319 − 299 = 20
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 20 cm
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 281, 364, 331, 253, 341. Team Süd: 308, 249, 324, 351, 278. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 253, 281, 331, 341, 364, Median 331
    2. Team Süd geordnet: 249, 278, 308, 324, 351, Median 308
    3. 331 ist mehr als 308.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 331 gegen 308)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 37, 16, 18, 26, 32, 33. Gruppe Falken: 22, 26, 11, 34, 7. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 37 + 16 + 18 + 26 + 32 + 33 = 162, 162 : 6 = 27
    2. Gruppe Falken: 22 + 26 + 11 + 34 + 7 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 27 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (27 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 324, 58, 41, 33, 24. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 480 : 5 = 96
  2. Geordnet: 24, 33, 41, 58, 324, Median 41
  3. Der Wert 324 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 480 : 5 = 96
  2. Geordnet: 24, 33, 41, 58, 324, Median 41
  3. Der Wert 324 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (41 statt 96)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 53, 292, 24, 48, 23. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    So fängst du an:
    Mittelwert: 440 : 5 = 88
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 440 : 5 = 88
    2. Geordnet: 23, 24, 48, 53, 292, Median 48
    3. Der Wert 292 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (48 statt 88)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 24, 29, 179, 13, 10. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 51 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 10, 13, 24, 29, 179
    2. Median: 24
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 179.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 24 passt besser
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 3, 8, 7, 43, 9, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 43 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 78 : 6 = 13
    3. Ohne ihn: 35 : 5 = 7
    Ergebnis:
    Ausreißer 43, Mittelwert 13 statt 7

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 43 min. Bekannt sind 30, 55, 56. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 43 = 172
  2. Summe der bekannten: 30 + 55 + 56 = 141
  3. 172 − 141 = 31
  1. Summe aller Werte: 4 · 43 = 172
  2. Summe der bekannten: 30 + 55 + 56 = 141
  3. 172 − 141 = 31
Ergebnis:
31 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 12 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 6, 13, 11, 13. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher67891011121314?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 12 = 60
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 12 = 60
    2. Summe der bekannten: 6 + 13 + 11 + 13 = 43
    3. 60 − 43 = 17
    Ergebnis:
    17 Treffer
  2. ●8
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 319 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 272, 341, 369, 305. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 319 = 1595
    2. Summe der bekannten: 272 + 341 + 369 + 305 = 1287
    3. 1595 − 1287 = 308
    Ergebnis:
    308 cm
  3. ★9
    Aylin hat in 5 Spielen im Mittel 10 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 11 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 10 = 50
    2. Summe nachher: 6 · 11 = 66
    3. 66 − 50 = 16
    Ergebnis:
    16 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord12 von 50Team Süd7 von 10
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1250 = 0,24
  2. Team Süd: 710 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
  1. Team Nord: 1250 = 0,24
  2. Team Süd: 710 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 20 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A20 von 50B16 von 20
    So fängst du an:
    Schule am Park: 2050 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2050 = 0,4
    2. Schule am See: 1620 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 9 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A9 von 20B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 920 = 0,45
    2. Klasse 6b: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 50 Schüssen. Team West trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord14 von 25Team Süd17 von 50Team West13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1425 = 0,56
    2. Team Süd: 1750 = 0,34
    3. Team West: 1320 = 0,65
    4. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team West (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
AG jaAG neingesamtKlasse 59??Klasse 6101020gesamt?23?
Schritt für Schritt
  1. Spalte AG nein: 23 − 10 = 13
  2. Zeile Klasse 5: 9 + 13 = 22
  3. Insgesamt: 22 + 20 = 42
  1. Spalte AG nein: 23 − 10 = 13
  2. Zeile Klasse 5: 9 + 13 = 22
  3. Insgesamt: 22 + 20 = 42
Ergebnis:
42

AchtungZwischenergebnis statt der gefragten Größe

So nicht
Zinsen 52,50 €, Guthaben? → 52,50 €
So richtig
Zinsen 52,50 €, Guthaben → 1.500 € + 52,50 € = 1.552,50 €

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter, bis genau das dasteht.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 34 Kinder mit, davon sind 10 Kinder aus Klasse 5. 7 Kinder aus Klasse 5 und 13 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 34 − 10 = 24
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 34 − 10 = 24
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 24 − 13 = 11
    3. Kontrolle: 7 + 3 + 13 + 11 = 34
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?1216Jungen6511gesamt101727
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 16.
    2. 16 − 12 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 6 = 10
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 511920Klasse 681220gesamt192140
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 1120 = 0,55
    2. Klasse 6: 820 = 0,4
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 5 (0,55)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer11437178
Schritt für Schritt
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 178 : 500 = 0,356
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,36.
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 178 : 500 = 0,356
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,36.
Ergebnis:
Nein, eher 0,356

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer21033145
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 33 : 100 = 0,33
    3. 145 : 500 = 0,29
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,29
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer441685
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 16 : 100 = 0,16
    3. 85 : 500 = 0,17
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,17
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,6.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer62589454
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 454 : 1000 = 0,454
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,45.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,454

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 6 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 6: 1 und 6; 2 und 3; 3 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 27, 34, 29, 16, 24. Gruppe Falken: 17, 25, 34, 31, 28. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1520253035
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 16, 24, 27, 29, 34, Median 27
    2. Gruppe Falken geordnet: 17, 25, 28, 31, 34, Median 28
    3. 28 ist mehr als 27.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 28 gegen 27)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 23, 28, 24, 25, 25. Gruppe Falken: 19, 21, 24, 27, 34. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken182022242628303234
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 125 : 5 = 25
    2. Gruppe Adler: 28 − 23 = 5
    3. Gruppe Falken: 34 − 19 = 15
    4. Die Werte von Gruppe Adler liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 5 gegen 15)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 6, 7, 8, 41. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  4. ●28
    Lukas möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 17 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 10, 19, 16. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher10121416182022?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    2. Summe der bekannten: 10 + 19 + 16 = 45
    3. 68 − 45 = 23
    Ergebnis:
    23 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 28-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 24-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord28 von 40Team Süd24 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2840 = 0,7
    2. Team Süd: 2450 = 0,48
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,7)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 10-mal geworfen. 4-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 410
    2. Gekürzt: 410 = 25
    3. Als Dezimalzahl: 4 : 10 = 0,4
    Ergebnis:
    25 = 0,4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 319, 375, 368, 247, 251. Team Süd: 249, 383, 336, 339, 248. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 336 gegen 319)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 7, 5, 50, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 50, Mittelwert 14 statt 5

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Lukas möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 8, 7, 14, 18. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Treffer

  4. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    34
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41228126
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,252

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken, um 20 cm
  2. Team Nord (Median 331 gegen 308)
  3. Gruppe Adler (27 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)
  4. Median (48 statt 88)
  5. Nein, der Median 24 passt besser
  6. Ausreißer 43, Mittelwert 13 statt 7
  7. 17 Treffer
  8. 308 cm
  9. 16 Punkte
  10. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  12. Team West (0,65)
  13. 11
  14. 4
  15. Klasse 5 (0,55)
  16. 0,29
  17. 0,17
  18. Nein, eher 0,454
  19. 3 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 4 Ergebnisse
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  23. fair (18 zu 18)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  25. Gruppe Falken (Median 28 gegen 27)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 5 gegen 15)
  27. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  28. 23 Punkte
  29. Team Nord (0,7)
  30. 25 = 0,4
  31. Team Süd (Median 336 gegen 319)
  32. Ausreißer 50, Mittelwert 14 statt 5
  33. 8 Treffer
  34. 0,252
  35. fair (3 zu 3)
  36. x̄ = 11
  37. Median 11; Spannweite 16