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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●34
    Punkte im Test: 10, 14, 2, 2, 15. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,6
  2. ●35
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 9, 7, 15, 19, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 9, 12, 15, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 19 − 7 = 12
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 14, 27, 16, 15, 23. Team Süd: 20, 26, 21, 24, 14. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Team NordTeam Süd1416182022242628
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 14, 15, 16, 23, 27, Median 16
  2. Team Süd geordnet: 14, 20, 21, 24, 26, Median 21
  3. 21 ist mehr als 16.
  1. Team Nord geordnet: 14, 15, 16, 23, 27, Median 16
  2. Team Süd geordnet: 14, 20, 21, 24, 26, Median 21
  3. 21 ist mehr als 16.
Ergebnis:
Team Süd (Median 21 gegen 16)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 296, 279, 387, 352, 366. Team Süd: 372, 329, 282, 343, 299. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 279, 296, 352, 366, 387, Median 352
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 279, 296, 352, 366, 387, Median 352
    2. Team Süd geordnet: 282, 299, 329, 343, 372, Median 329
    3. 352 ist mehr als 329.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 352 gegen 329)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 25, 14, 11, 17, 23. Team Süd: 10, 22, 12, 15, 21. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 11, 14, 17, 23, 25, Median 17
    2. Team Süd geordnet: 10, 12, 15, 21, 22, Median 15
    3. 17 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 17 gegen 15)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 360, 374, 324, 291, 287, 356. Team Süd: 246, 373, 273, 279, 354, 245. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 287, 291, 324, 356, 360, 374, Median 340
    2. Team Süd geordnet: 245, 246, 273, 279, 354, 373, Median 276
    3. 340 ist mehr als 276.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 340 gegen 276)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 350, 37, 37, 56, 30. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. 350 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 510 : 5 = 102
  3. Ohne ihn: 160 : 4 = 40
  1. 350 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 510 : 5 = 102
  3. Ohne ihn: 160 : 4 = 40
Ergebnis:
Ausreißer 350, Mittelwert 102 statt 40

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 21, 23, 29, 201, 11. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 57 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    So fängst du an:
    Geordnet: 11, 21, 23, 29, 201
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 11, 21, 23, 29, 201
    2. Median: 23
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 201.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 25, 21, 38, 290, 56. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 430 : 5 = 86
    2. Geordnet: 21, 25, 38, 56, 290, Median 38
    3. Der Wert 290 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (38 statt 86)
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 40, 253, 46, 52, 55, 22. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 78 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 22, 40, 46, 52, 55, 253
    2. Median: 49
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 253.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 49 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 29 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 23, 24, 42, 26. Was braucht Tim beim letzten Mal?
bisher20253035404550?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
  2. Summe der bekannten: 23 + 24 + 42 + 26 = 115
  3. 145 − 115 = 30
  1. Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
  2. Summe der bekannten: 23 + 24 + 42 + 26 = 115
  3. 145 − 115 = 30
Ergebnis:
30 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 19, 22, 16, 14. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    2. Summe der bekannten: 19 + 22 + 16 + 14 = 71
    3. 95 − 71 = 24
    Ergebnis:
    24 Punkte
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 28 min. Bekannt sind 17, 52, 15, 30. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 28 = 140
    2. Summe der bekannten: 17 + 52 + 15 + 30 = 114
    3. 140 − 114 = 26
    Ergebnis:
    26 min
  3. ★9
    Tim hat die Ergebnisse von 6 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 21, 22, 16, 10, 13. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1012141618202224?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 16 = 96
    2. Summe der bekannten: 21 + 22 + 16 + 10 + 13 = 82
    3. 96 − 82 = 14
    Ergebnis:
    14 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 28 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A28 von 40B19 von 25
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 2840 = 0,7
  2. Schule am See: 1925 = 0,76
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
  1. Schule am Park: 2840 = 0,7
  2. Schule am See: 1925 = 0,76
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 6 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 12 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B12 von 40
    So fängst du an:
    Theater-AG: 610 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 610 = 0,6
    2. Fußball-AG: 1240 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 9 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 12 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A9 von 20B12 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 920 = 0,45
    2. Klasse 6b: 1240 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord9 von 20Team Süd5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 920 = 0,45
    2. Team Süd: 510 = 0,5
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,5)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 47 Kinder mit, davon sind 20 Kinder der Klasse 6a. 7 Kinder der Klasse 6a und 13 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 47 − 20 = 27
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 27 − 13 = 14
  3. Kontrolle: 7 + 13 + 13 + 14 = 47
  1. Kinder der Klasse 6b: 47 − 20 = 27
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 27 − 13 = 14
  3. Kontrolle: 7 + 13 + 13 + 14 = 47
Ergebnis:
14

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 58??Klasse 65813gesamt?22?
    So fängst du an:
    Spalte AG nein: 22 − 8 = 14
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 22 − 8 = 14
    2. Zeile Klasse 5: 8 + 14 = 22
    3. Insgesamt: 22 + 13 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 28 Mädchen. 14 Mädchen und 4 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 37 − 28 = 9
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 9 − 4 = 5
    3. Kontrolle: 14 + 14 + 4 + 5 = 37
    Ergebnis:
    5
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Rad“ größer: bei Klasse 6a oder bei Klasse 6b?
    RadBusgesamtKlasse 6a6410Klasse 6b8210gesamt14620
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 610 = 0,6
    2. Klasse 6b: 810 = 0,8
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,8)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer381788
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 88 : 500 = 0,176
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 88 : 500 = 0,176
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
Ergebnis:
Nein, eher 0,176

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer51843204
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 43 : 100 = 0,43
    3. 204 : 500 = 0,408
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,408
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31838195
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 195 : 500 = 0,39
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,39
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer41445243
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 243 : 1000 = 0,243
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,24.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,243

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 12?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 12: 6 und 6
    3. Das sind 1 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    1 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 368, 246, 259, 367, 365. Gruppe Falken: 318, 243, 333, 321, 250. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 246, 259, 365, 367, 368, Median 365
    2. Gruppe Falken geordnet: 243, 250, 318, 321, 333, Median 318
    3. 365 ist mehr als 318.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 365 gegen 318)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 23, 22, 29, 12, 39. Jungen: 24, 27, 28, 22, 24. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 125 : 5 = 25
    2. Mädchen: 39 − 12 = 27
    3. Jungen: 28 − 22 = 6
    4. Die Werte von Jungen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 6 gegen 27)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 41, 5, 8, 5, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte51015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 5, 5, 6, 8, 41
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  4. ●28
    Lukas möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 38 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 31, 28, 59, 18. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher10203040506070?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 38 = 190
    2. Summe der bekannten: 31 + 28 + 59 + 18 = 136
    3. 190 − 136 = 54
    Ergebnis:
    54 min
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord14 von 20Team Süd15 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1420 = 0,7
    2. Team Süd: 1525 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 10-mal auf den Korb und trifft 3-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 310
    2. 310 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 3 : 10 = 0,3
    Ergebnis:
    310 = 0,3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 12, 13, 5, 15, 10. Jungen: 5, 5, 16, 10, 14. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen46810121416
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen, um 1 Treffer

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 5, 6, 45, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser

  3. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    33
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (Median 352 gegen 329)
  2. Team Nord (Median 17 gegen 15)
  3. Team Nord (Median 340 gegen 276)
  4. Nein, der Median 23 passt besser
  5. Median (38 statt 86)
  6. Nein, der Median 49 passt besser
  7. 24 Punkte
  8. 26 min
  9. 14 Punkte
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  12. Team Süd (0,5)
  13. 35
  14. 5
  15. Klasse 6b (0,8)
  16. 0,408
  17. Nein, eher 0,39
  18. Nein, eher 0,243
  19. 3 Ergebnisse
  20. 118
  21. 1 Ergebnisse
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. 2 Punkte
  25. Gruppe Adler (Median 365 gegen 318)
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 6 gegen 27)
  27. Nein, der Median 6 passt besser
  28. 54 min
  29. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  30. 310 = 0,3
  31. Mädchen, um 1 Treffer
  32. Nein, der Median 6 passt besser
  33. 3 Punkte
  34. x̄ = 8,6
  35. Median 12; Spannweite 12