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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 5, 1, 3, 13, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,4
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 15, 12, 10, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 10, 12, 12, 15, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 16 − 10 = 6
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 24, 26, 19, 18, 23. Gruppe Falken: 10, 24, 26, 8, 12. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 18, 19, 23, 24, 26, Median 23
  2. Gruppe Falken geordnet: 8, 10, 12, 24, 26, Median 12
  3. 23 ist mehr als 12.
  1. Gruppe Adler geordnet: 18, 19, 23, 24, 26, Median 23
  2. Gruppe Falken geordnet: 8, 10, 12, 24, 26, Median 12
  3. 23 ist mehr als 12.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 23 gegen 12)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 20, 25, 15, 11, 9. Gruppe Falken: 21, 24, 10, 26, 19. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 20 + 25 + 15 + 11 + 9 = 80, 80 : 5 = 16
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 20 + 25 + 15 + 11 + 9 = 80, 80 : 5 = 16
    2. Gruppe Falken: 21 + 24 + 10 + 26 + 19 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 20 − 16 = 4
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 4 Punkte
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 308, 336, 245, 259, 367. Team Süd: 360, 338, 287, 296, 294. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 308 + 336 + 245 + 259 + 367 = 1515, 1515 : 5 = 303
    2. Team Süd: 360 + 338 + 287 + 296 + 294 = 1575, 1575 : 5 = 315
    3. 315 − 303 = 12
    Ergebnis:
    Team Süd, um 12 cm
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 274, 300, 262, 328, 296. Team Süd: 241, 297, 357, 278, 302. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 274 + 300 + 262 + 328 + 296 = 1460, 1460 : 5 = 292
    2. Team Süd: 241 + 297 + 357 + 278 + 302 = 1475, 1475 : 5 = 295
    3. 295 ist mehr als 292.
    Ergebnis:
    Team Süd (295 cm gegen 292 cm)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 26, 24, 10, 227, 28. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. 227 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 315 : 5 = 63
  3. Ohne ihn: 88 : 4 = 22
  1. 227 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 315 : 5 = 63
  3. Ohne ihn: 88 : 4 = 22
Ergebnis:
Ausreißer 227, Mittelwert 63 statt 22

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 11, 26, 212, 16. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Mittelwert: 280 : 5 = 56
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 280 : 5 = 56
    2. Geordnet: 11, 15, 16, 26, 212, Median 16
    3. Der Wert 212 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (16 statt 56)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 5, 5, 56, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 56 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 5, 8, 6, 60, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 60 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 90 : 6 = 15
    3. Ohne ihn: 30 : 5 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 60, Mittelwert 15 statt 6

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 328 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 334, 297, 334. Was braucht Mila beim letzten Mal?
bisher295300305310315320325330335340?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 328 = 1312
  2. Summe der bekannten: 334 + 297 + 334 = 965
  3. 1312 − 965 = 347
  1. Summe aller Werte: 4 · 328 = 1312
  2. Summe der bekannten: 334 + 297 + 334 = 965
  3. 1312 − 965 = 347
Ergebnis:
347 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 13 Treffer. Bekannt sind 5, 11, 18. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    2. Summe der bekannten: 5 + 11 + 18 = 34
    3. 52 − 34 = 18
    Ergebnis:
    18 Treffer
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 38 min. Bekannt sind 37, 46, 45. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 38 = 152
    2. Summe der bekannten: 37 + 46 + 45 = 128
    3. 152 − 128 = 24
    Ergebnis:
    24 min
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Weitsprüngen ist 340 cm. Bekannt sind 368, 275, 352, 341, 337. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 340 = 2040
    2. Summe der bekannten: 368 + 275 + 352 + 341 + 337 = 1673
    3. 2040 − 1673 = 367
    Ergebnis:
    367 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 8 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 34 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A8 von 20B34 von 50
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 820 = 0,4
  2. Schule am See: 3450 = 0,68
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 820 = 0,4
  2. Schule am See: 3450 = 0,68
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,68)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 4 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 12 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 20B12 von 50
    So fängst du an:
    Schule am Park: 420 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 420 = 0,2
    2. Schule am See: 1250 = 0,24
    3. 0,24 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,24)
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 25 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A6 von 10B25 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 610 = 0,6
    2. Klasse 6b: 2550 = 0,5
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,6)
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 27 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 6 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A27 von 40B6 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2740 = 0,675
    2. Fußball-AG: 625 = 0,24
    3. 0,675 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,675)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen51015Jungen6?11gesamt111526
Schritt für Schritt
  1. Zeile Jungen: zusammen 11.
  2. 11 − 6 = 5
  3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 10 = 15
  1. Zeile Jungen: zusammen 11.
  2. 11 − 6 = 5
  3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 10 = 15
Ergebnis:
5

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 18 Kinder der Klasse 6a. 13 Kinder der Klasse 6a und 11 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder der Klasse 6b: 36 − 18 = 18
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 36 − 18 = 18
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 18 − 11 = 7
    3. Kontrolle: 13 + 5 + 11 + 7 = 36
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 58614Klasse 613?17gesamt211031
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 17.
    2. 17 − 13 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 6 = 10
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen7714Jungen?819gesamt181533
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 19.
    2. 19 − 8 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 7 = 18
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer21940205
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 40 : 100 = 0,4
  3. 205 : 500 = 0,41
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 40 : 100 = 0,4
  3. 205 : 500 = 0,41
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,41

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer41736170
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 170 : 500 = 0,34
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,34.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,34
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51537203
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 203 : 500 = 0,406
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,41.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,406
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer11646240
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 46 : 200 = 0,23
    3. 240 : 1000 = 0,24
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,24

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 2 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 2 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 2 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
    4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 261, 331, 281, 298, 319. Team Süd: 321, 287, 361, 275, 336. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 261, 281, 298, 319, 331, Median 298
    2. Team Süd geordnet: 275, 287, 321, 336, 361, Median 321
    3. 321 ist mehr als 298.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 321 gegen 298)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 19, 22, 9, 37, 28. Jungen: 25, 22, 26, 21, 21. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 115 : 5 = 23
    2. Mädchen: 37 − 9 = 28
    3. Jungen: 26 − 21 = 5
    4. Die Werte von Jungen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 5 gegen 28)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 18, 28, 19, 157. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160
    Lösung zeigen
    1. 157 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 245 : 5 = 49
    3. Ohne ihn: 88 : 4 = 22
    Ergebnis:
    Ausreißer 157, Mittelwert 49 statt 22
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 26, 9, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 16 = 64
    2. Summe der bekannten: 26 + 9 + 11 = 46
    3. 64 − 46 = 18
    Ergebnis:
    18 Punkte
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 5 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 12 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A5 von 20B12 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 520 = 0,25
    2. Fußball-AG: 1250 = 0,24
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 50 Kinder. 20 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2050
    2. Gekürzt: 2050 = 25
    3. Als Dezimalzahl: 20 : 50 = 0,4
    Ergebnis:
    25 = 0,4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 314, 250, 329, 257, 375. Team Süd: 281, 277, 382, 353, 302. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (319 cm gegen 305 cm)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 26, 264, 31, 26, 53. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 80 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 31 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 9, 23, 10, 25. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher810121416182022242628?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 21 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A21 von 40B13 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 48 Kinder mit, davon sind 27 Kinder der Klasse 6a. 14 Kinder der Klasse 6a und 15 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer31725121
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,242

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken, um 4 Punkte
  2. Team Süd, um 12 cm
  3. Team Süd (295 cm gegen 292 cm)
  4. Median (16 statt 56)
  5. Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6
  6. Ausreißer 60, Mittelwert 15 statt 6
  7. 18 Treffer
  8. 24 min
  9. 367 cm
  10. Schule am See (0,24)
  11. Klasse 6a (0,6)
  12. Theater-AG (0,675)
  13. 7
  14. 4
  15. 11
  16. Nein, eher 0,34
  17. Nein, eher 0,406
  18. 0,24
  19. 118
  20. 536
  21. 4 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. fair (3 zu 3)
  24. fair (15 zu 15)
  25. Team Süd (Median 321 gegen 298)
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 5 gegen 28)
  27. Ausreißer 157, Mittelwert 49 statt 22
  28. 18 Punkte
  29. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  30. 25 = 0,4
  31. Team Süd (319 cm gegen 305 cm)
  32. Nein, der Median 31 passt besser
  33. 18 Punkte
  34. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  35. 6
  36. 0,242
  37. 3 Punkte
  38. x̄ = 6,4
  39. Median 12; Spannweite 6