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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 14, 3, 14, 12, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,2
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 3, 19, 16, 18, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 6, 16, 18, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 16
    3. Spannweite = 19 − 3 = 16
    Ergebnis:
    Median 16; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 323, 340, 257, 335, 345. Gruppe Falken: 334, 281, 304, 251, 350. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 323 + 340 + 257 + 335 + 345 = 1600, 1600 : 5 = 320
  2. Gruppe Falken: 334 + 281 + 304 + 251 + 350 = 1520, 1520 : 5 = 304
  3. 320 ist mehr als 304.
  1. Gruppe Adler: 323 + 340 + 257 + 335 + 345 = 1600, 1600 : 5 = 320
  2. Gruppe Falken: 334 + 281 + 304 + 251 + 350 = 1520, 1520 : 5 = 304
  3. 320 ist mehr als 304.
Ergebnis:
Gruppe Adler (320 cm gegen 304 cm)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 365, 377, 275, 253, 260. Gruppe Falken: 340, 259, 258, 345, 363. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Gruppe Adler geordnet: 253, 260, 275, 365, 377, Median 275
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 253, 260, 275, 365, 377, Median 275
    2. Gruppe Falken geordnet: 258, 259, 340, 345, 363, Median 340
    3. 340 ist mehr als 275.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 340 gegen 275)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 11, 17, 10, 16, 6. Jungen: 18, 4, 13, 14, 6. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 11 + 17 + 10 + 16 + 6 = 60, 60 : 5 = 12
    2. Jungen: 18 + 4 + 13 + 14 + 6 = 55, 55 : 5 = 11
    3. 12 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Mädchen (12 Treffer gegen 11 Treffer)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 11, 21, 32, 13, 33. Gruppe Falken: 13, 33, 38, 40, 6. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 11 + 21 + 32 + 13 + 33 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Gruppe Falken: 13 + 33 + 38 + 40 + 6 = 130, 130 : 5 = 26
    3. 26 ist mehr als 22.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (26 Hundert Schritte gegen 22 Hundert Schritte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 242, 13, 28, 30, 17. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 66 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 13, 17, 28, 30, 242
  2. Median: 28
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 242.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 13, 17, 28, 30, 242
  2. Median: 28
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 242.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 28 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 24, 12, 13, 223. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    223 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 223 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 295 : 5 = 59
    3. Ohne ihn: 72 : 4 = 18
    Ergebnis:
    Ausreißer 223, Mittelwert 59 statt 18
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 3, 4, 41, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 3, 4, 8, 9, 41, Median 8
    3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 13)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 6, 2, 4, 4, 59. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 4, 4, 6, 9, 59
    2. Median: 5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 59.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 20, 27, 29, 17. Was braucht Tim beim letzten Mal?
bisher161820222426283032?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 22 = 110
  2. Summe der bekannten: 20 + 27 + 29 + 17 = 93
  3. 110 − 93 = 17
  1. Summe aller Werte: 5 · 22 = 110
  2. Summe der bekannten: 20 + 27 + 29 + 17 = 93
  3. 110 − 93 = 17
Ergebnis:
17 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 28 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 38, 35, 11, 22. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher1015202530354045?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 28 = 140
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 28 = 140
    2. Summe der bekannten: 38 + 35 + 11 + 22 = 106
    3. 140 − 106 = 34
    Ergebnis:
    34 min
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 30 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 21, 55, 26. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher202530354045505560?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 30 = 120
    2. Summe der bekannten: 21 + 55 + 26 = 102
    3. 120 − 102 = 18
    Ergebnis:
    18 min
  3. ★9
    Tim hat in 5 Spielen im Mittel 6 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 7 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 6 = 30
    2. Summe nachher: 6 · 7 = 42
    3. 42 − 30 = 12
    Ergebnis:
    12 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 19 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A19 von 25B8 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 1925 = 0,76
  2. Schule am See: 810 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
  1. Schule am Park: 1925 = 0,76
  2. Schule am See: 810 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 17 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 8 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A17 von 25B8 von 20
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 1725 = 0,68
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1725 = 0,68
    2. Klasse 6b: 820 = 0,4
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,68)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 26-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord8 von 10Team Süd26 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 2650 = 0,52
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord4 von 10Team Süd9 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 410 = 0,4
    2. Team Süd: 940 = 0,225
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
AG jaAG neingesamtKlasse 59??Klasse 6121022gesamt?23?
Schritt für Schritt
  1. Spalte AG nein: 23 − 10 = 13
  2. Zeile Klasse 5: 9 + 13 = 22
  3. Insgesamt: 22 + 22 = 44
  1. Spalte AG nein: 23 − 10 = 13
  2. Zeile Klasse 5: 9 + 13 = 22
  3. Insgesamt: 22 + 22 = 44
Ergebnis:
44

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a14?18Klasse 6b111324gesamt251742
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6a: zusammen 18.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 18.
    2. 18 − 14 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 13 = 17
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen437Jungen?1328gesamt191635
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 28.
    2. 28 − 13 = 15
    3. Kontrolle mit der Spalte: 15 + 4 = 19
    Ergebnis:
    15
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Rad“ größer: bei Klasse 6a oder bei Klasse 6b?
    RadBusgesamtKlasse 6a121325Klasse 6b91120gesamt212445
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1225 = 0,48
    2. Klasse 6b: 920 = 0,45
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,48)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer31521125
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 21 : 100 = 0,21
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 21 : 100 = 0,21
Ergebnis:
0,21

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51526149
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 149 : 500 = 0,298
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,298
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41416104
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 16 : 100 = 0,16
    3. 104 : 500 = 0,208
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,208
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer41864291
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 64 : 200 = 0,32
    Ergebnis:
    0,32

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
Ergebnis:
5 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
Ergebnis:
nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 35, 33, 44, 48, 55. Gruppe Falken: 26, 30, 39, 55, 25. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken25303540455055
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 33, 35, 44, 48, 55, Median 44
    2. Gruppe Falken geordnet: 25, 26, 30, 39, 55, Median 30
    3. 44 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 44 gegen 30)
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 37, 28, 35, 33, 32. Gruppe Falken: 27, 43, 29, 16, 50. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1520253035404550
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 37 − 28 = 9
    2. Gruppe Falken: 50 − 16 = 34
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 9 gegen 34)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 250, 29, 24, 15, 12. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 250 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 330 : 5 = 66
    3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
    Ergebnis:
    Ausreißer 250, Mittelwert 66 statt 20
  4. ●28
    Aylin möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 36 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 54, 33, 34, 26. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher2530354045505560?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 36 = 180
    2. Summe der bekannten: 54 + 33 + 34 + 26 = 147
    3. 180 − 147 = 33
    Ergebnis:
    33 min
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 4 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B4 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 810 = 0,8
    2. Klasse 6b: 420 = 0,2
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,8)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 10 Kinder. 5 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 510
    2. Gekürzt: 510 = 12
    3. Als Dezimalzahl: 5 : 10 = 0,5
    Ergebnis:
    12 = 0,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 11, 53, 14, 44, 28. Jungen: 42, 47, 32, 51, 18. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen (Median 42 gegen 28)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 20, 49, 24, 47, 395. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 107 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 47 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 18 Punkte. Bekannt sind 16, 14, 30, 9. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 5 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 11 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 20B11 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,25)

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41122124
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,248

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (Median 340 gegen 275)
  2. Mädchen (12 Treffer gegen 11 Treffer)
  3. Gruppe Falken (26 Hundert Schritte gegen 22 Hundert Schritte)
  4. Ausreißer 223, Mittelwert 59 statt 18
  5. Median (8 statt 13)
  6. Nein, der Median 5 passt besser
  7. 34 min
  8. 18 min
  9. 12 Punkte
  10. Klasse 6a (0,68)
  11. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  12. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  13. 4
  14. 15
  15. Klasse 6a (0,48)
  16. Nein, eher 0,298
  17. 0,208
  18. 0,32
  19. 3 Ergebnisse
  20. 536
  21. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. 2 Punkte
  25. Gruppe Adler (Median 44 gegen 30)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 9 gegen 34)
  27. Ausreißer 250, Mittelwert 66 statt 20
  28. 33 min
  29. Klasse 6a (0,8)
  30. 12 = 0,5
  31. Jungen (Median 42 gegen 28)
  32. Nein, der Median 47 passt besser
  33. 21 Punkte
  34. Theater-AG (0,25)
  35. 0,248
  36. fair (15 zu 15)
  37. x̄ = 9,2
  38. Median 16; Spannweite 16