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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 3, 13, 13, 1, 11. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,2
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 8, 7, 13, 16, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 8, 11, 13, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 16 − 7 = 9
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 329, 309, 268, 370, 249. Gruppe Falken: 319, 375, 352, 261, 383. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 249, 268, 309, 329, 370, Median 309
  2. Gruppe Falken geordnet: 261, 319, 352, 375, 383, Median 352
  3. 352 ist mehr als 309.
  1. Gruppe Adler geordnet: 249, 268, 309, 329, 370, Median 309
  2. Gruppe Falken geordnet: 261, 319, 352, 375, 383, Median 352
  3. 352 ist mehr als 309.
Ergebnis:
Gruppe Falken (Median 352 gegen 309)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 52, 60, 26, 33, 14. Jungen: 29, 18, 43, 18, 47. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen: 52 + 60 + 26 + 33 + 14 = 185, 185 : 5 = 37
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 52 + 60 + 26 + 33 + 14 = 185, 185 : 5 = 37
    2. Jungen: 29 + 18 + 43 + 18 + 47 = 155, 155 : 5 = 31
    3. 37 − 31 = 6
    Ergebnis:
    Mädchen, um 6 min
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 8, 14, 15, 12, 11. Jungen: 16, 5, 17, 5, 7. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 8, 11, 12, 14, 15, Median 12
    2. Jungen geordnet: 5, 5, 7, 16, 17, Median 7
    3. 12 ist mehr als 7.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 12 gegen 7)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 24, 6, 37, 21, 7. Gruppe Falken: 8, 16, 20, 27, 19. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 24 + 6 + 37 + 21 + 7 = 95, 95 : 5 = 19
    2. Gruppe Falken: 8 + 16 + 20 + 27 + 19 = 90, 90 : 5 = 18
    3. 19 − 18 = 1
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 1 Hundert Schritte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 58, 22, 38, 50, 247. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. 247 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 415 : 5 = 83
  3. Ohne ihn: 168 : 4 = 42
  1. 247 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 415 : 5 = 83
  3. Ohne ihn: 168 : 4 = 42
Ergebnis:
Ausreißer 247, Mittelwert 83 statt 42

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 41, 3, 9, 4, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    So fängst du an:
    41 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 284, 43, 34, 24, 55. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 88 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 24, 34, 43, 55, 284
    2. Median: 43
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 284.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 43 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 16, 21, 246, 21, 12, 20. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 246 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 336 : 6 = 56
    3. Ohne ihn: 90 : 5 = 18
    Ergebnis:
    Ausreißer 246, Mittelwert 56 statt 18

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 40 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 28, 35, 55. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
bisher2530354045505560?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 40 = 160
  2. Summe der bekannten: 28 + 35 + 55 = 118
  3. 160 − 118 = 42
  1. Summe aller Werte: 4 · 40 = 160
  2. Summe der bekannten: 28 + 35 + 55 = 118
  3. 160 − 118 = 42
Ergebnis:
42 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 35 min. Bekannt sind 49, 41, 14. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 35 = 140
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 35 = 140
    2. Summe der bekannten: 49 + 41 + 14 = 104
    3. 140 − 104 = 36
    Ergebnis:
    36 min
  2. ●8
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 14, 13, 20. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher131415161718192021?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
    2. Summe der bekannten: 14 + 13 + 20 = 47
    3. 72 − 47 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte
  3. ★9
    Lukas hat die Ergebnisse von 6 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 307 cm. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 288, 368, 245, 296, 314. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 307 = 1842
    2. Summe der bekannten: 288 + 368 + 245 + 296 + 314 = 1511
    3. 1842 − 1511 = 331
    Ergebnis:
    331 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 16 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 2 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A16 von 20B2 von 10
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1620 = 0,8
  2. Fußball-AG: 210 = 0,2
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 1620 = 0,8
  2. Fußball-AG: 210 = 0,2
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 22 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 24 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A22 von 40B24 von 50
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 2240 = 0,55
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2240 = 0,55
    2. Klasse 6b: 2450 = 0,48
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 34 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B34 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 810 = 0,8
    2. Fußball-AG: 3450 = 0,68
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,8)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 19 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 11 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A19 von 50B11 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1950 = 0,38
    2. Klasse 6b: 1120 = 0,55
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen14??Jungen151126gesamt?15?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 15 − 11 = 4
  2. Zeile Mädchen: 14 + 4 = 18
  3. Insgesamt: 18 + 26 = 44
  1. Spalte kein Frühstück: 15 − 11 = 4
  2. Zeile Mädchen: 14 + 4 = 18
  3. Insgesamt: 18 + 26 = 44
Ergebnis:
44

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen?1429Jungen91423gesamt242852
    So fängst du an:
    Zeile Mädchen: zusammen 29.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 29.
    2. 29 − 14 = 15
    3. Kontrolle mit der Spalte: 15 + 9 = 24
    Ergebnis:
    15
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a9?14Klasse 6b121123gesamt211637
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 14.
    2. 14 − 9 = 5
    3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 11 = 16
    Ergebnis:
    5
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 48 Kinder mit, davon sind 24 Mädchen. 13 Mädchen und 13 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 48 − 24 = 24
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 24 − 13 = 11
    3. Kontrolle: 13 + 11 + 13 + 11 = 48
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer42042204
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 42 : 100 = 0,42
  3. 204 : 500 = 0,408
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 42 : 100 = 0,42
  3. 204 : 500 = 0,408
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,408

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer31331150
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 31 : 100 = 0,31
    3. 150 : 500 = 0,3
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,3
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer391482
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 14 : 100 = 0,14
    Ergebnis:
    0,14
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer72183456
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 83 : 200 = 0,415
    Ergebnis:
    0,415

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. 5 von 36, also 536 = 536
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Ben gewinnt 2-mal so oft.
    4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 3-mal so oft.
    4. Lotta braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte
  3. ★24
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 22, 27, 28, 11, 22. Gruppe Falken: 38, 10, 20, 8, 24. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 22 + 27 + 28 + 11 + 22 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Gruppe Falken: 38 + 10 + 20 + 8 + 24 = 100, 100 : 5 = 20
    3. 22 − 20 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 2 Hundert Schritte
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 318, 309, 298, 323, 302. Gruppe Falken: 376, 301, 342, 275, 256. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 323 − 298 = 25
    2. Gruppe Falken: 376 − 256 = 120
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 25 gegen 120)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 4, 5, 3, 40. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 4, 5, 8, 40
    2. Median: 5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 40.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5 passt besser
  4. ●28
    Noah möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 33 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 36, 28, 37. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher28303234363840?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
    2. Summe der bekannten: 36 + 28 + 37 = 101
    3. 132 − 101 = 31
    Ergebnis:
    31 min
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 23-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord23 von 40Team Süd14 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2340 = 0,575
    2. Team Süd: 1450 = 0,28
    3. 0,575 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,575)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 10-mal auf den Korb und trifft 2-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer2 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 210
    2. Gekürzt: 210 = 15
    3. Als Dezimalzahl: 2 : 10 = 0,2
    Ergebnis:
    15 = 0,2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 22, 49, 13, 42, 54. Gruppe Falken: 19, 31, 12, 33, 45. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (36 min gegen 28 min)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 246, 30, 10, 19, 25. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 66 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 25 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 33 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 19, 42, 24. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1520253035404550?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47 min

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?315Klasse 6151025gesamt271340
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer21830155
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,31

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen, um 6 min
  2. Mädchen (Median 12 gegen 7)
  3. Gruppe Adler, um 1 Hundert Schritte
  4. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  5. Nein, der Median 43 passt besser
  6. Ausreißer 246, Mittelwert 56 statt 18
  7. 36 min
  8. 25 Punkte
  9. 331 cm
  10. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  11. Theater-AG (0,8)
  12. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  13. 15
  14. 5
  15. 11
  16. 0,3
  17. 0,14
  18. 0,415
  19. 3 Ergebnisse
  20. 19
  21. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  22. 2 Punkte
  23. 3 Punkte
  24. fair (15 zu 15)
  25. Gruppe Adler, um 2 Hundert Schritte
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 25 gegen 120)
  27. Nein, der Median 5 passt besser
  28. 31 min
  29. Team Nord (0,575)
  30. 15 = 0,2
  31. Gruppe Adler (36 min gegen 28 min)
  32. Nein, der Median 25 passt besser
  33. 47 min
  34. 12
  35. 0,31
  36. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  37. x̄ = 8,2
  38. Median 11; Spannweite 9