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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 13, 14, 7, 3, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 18, 10, 19, 9. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 9, 10, 10, 18, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 19 − 9 = 10
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 26, 11, 11, 19, 28. Team Süd: 20, 11, 26, 23, 20. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Team NordTeam Süd1015202530
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 26 + 11 + 11 + 19 + 28 = 95, 95 : 5 = 19
  2. Team Süd: 20 + 11 + 26 + 23 + 20 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 20 − 19 = 1
  1. Team Nord: 26 + 11 + 11 + 19 + 28 = 95, 95 : 5 = 19
  2. Team Süd: 20 + 11 + 26 + 23 + 20 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 20 − 19 = 1
Ergebnis:
Team Süd, um 1 Punkte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 16, 27, 14, 27, 16. Jungen: 40, 12, 11, 9, 38. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen: 16 + 27 + 14 + 27 + 16 = 100, 100 : 5 = 20
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 16 + 27 + 14 + 27 + 16 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Jungen: 40 + 12 + 11 + 9 + 38 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Jungen (22 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 26, 28, 12, 27, 17. Team Süd: 11, 20, 28, 9, 27. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 26 + 28 + 12 + 27 + 17 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Team Süd: 11 + 20 + 28 + 9 + 27 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 22 − 19 = 3
    Ergebnis:
    Team Nord, um 3 Punkte
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 40, 38, 7, 30, 34, 7. Jungen: 14, 32, 25, 17. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 7, 7, 30, 34, 38, 40, Median 32
    2. Jungen geordnet: 14, 17, 25, 32, Median 21
    3. 32 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 32 gegen 21)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 228, 11, 23, 10, 28. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 300 : 5 = 60
  2. Geordnet: 10, 11, 23, 28, 228, Median 23
  3. Der Wert 228 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 300 : 5 = 60
  2. Geordnet: 10, 11, 23, 28, 228, Median 23
  3. Der Wert 228 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (23 statt 60)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 4, 4, 7, 36. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    Geordnet: 4, 4, 7, 9, 36
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 4, 7, 9, 36
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 36.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 2, 55, 8, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 55 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 55, Mittelwert 15 statt 5
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 7, 48, 5, 8, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 78 : 6 = 13
    2. Geordnet: 4, 5, 6, 7, 8, 48, Median 6,5
    3. Der Wert 48 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6,5 statt 13)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 10 Treffer. Bekannt sind 17, 7, 10. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
  2. Summe der bekannten: 17 + 7 + 10 = 34
  3. 40 − 34 = 6
  1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
  2. Summe der bekannten: 17 + 7 + 10 = 34
  3. 40 − 34 = 6
Ergebnis:
6 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 330 cm. Bekannt sind 360, 333, 251, 338. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 330 = 1650
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 330 = 1650
    2. Summe der bekannten: 360 + 333 + 251 + 338 = 1282
    3. 1650 − 1282 = 368
    Ergebnis:
    368 cm
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 27 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 37, 14, 21. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1015202530354045?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 27 = 108
    2. Summe der bekannten: 37 + 14 + 21 = 72
    3. 108 − 72 = 36
    Ergebnis:
    36 min
  3. ★9
    Mila hat in 5 Spielen im Mittel 12 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 13 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 12 = 60
    2. Summe nachher: 6 · 13 = 78
    3. 78 − 60 = 18
    Ergebnis:
    18 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 2-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 28-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord2 von 10Team Süd28 von 50
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 210 = 0,2
  2. Team Süd: 2850 = 0,56
  3. 0,56 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 210 = 0,2
  2. Team Süd: 2850 = 0,56
  3. 0,56 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,56)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 6 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 23 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A6 von 20B23 von 50
    So fängst du an:
    Theater-AG: 620 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 620 = 0,3
    2. Fußball-AG: 2350 = 0,46
    3. 0,46 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,46)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 21-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord21 von 40Team Süd18 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2140 = 0,525
    2. Team Süd: 1825 = 0,72
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 11 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 20 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A11 von 20B20 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1120 = 0,55
    2. Fußball-AG: 2040 = 0,5
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
AG jaAG neingesamtKlasse 512??Klasse 6538gesamt?13?
Schritt für Schritt
  1. Spalte AG nein: 13 − 3 = 10
  2. Zeile Klasse 5: 12 + 10 = 22
  3. Insgesamt: 22 + 8 = 30
  1. Spalte AG nein: 13 − 3 = 10
  2. Zeile Klasse 5: 12 + 10 = 22
  3. Insgesamt: 22 + 8 = 30
Ergebnis:
30

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 9 Mädchen und 15 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 37 − 18 = 19
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 37 − 18 = 19
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 19 − 15 = 4
    3. Kontrolle: 9 + 9 + 15 + 4 = 37
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 18 Kinder der Klasse 6a. 6 Kinder der Klasse 6a und 9 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 41 − 18 = 23
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 23 − 9 = 14
    3. Kontrolle: 6 + 12 + 9 + 14 = 41
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 43 Kinder mit, davon sind 22 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 8 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 43 − 22 = 21
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 21 − 8 = 13
    3. Kontrolle: 9 + 13 + 8 + 13 = 43
    Ergebnis:
    13

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer22133178
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 178 : 500 = 0,356
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,36.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 178 : 500 = 0,356
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,36.
Ergebnis:
Nein, eher 0,356

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer351577
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 77 : 500 = 0,154
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,15.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,154
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11832170
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 32 : 100 = 0,32
    Ergebnis:
    0,32
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer21962300
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 62 : 200 = 0,31
    3. 300 : 1000 = 0,3
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,3

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 5 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 5: 1 und 5; 5 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  2. ●23
    Mila und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 267, 300, 371, 328, 324. Team Süd: 339, 311, 290, 299, 301. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 267 + 300 + 371 + 328 + 324 = 1590, 1590 : 5 = 318
    2. Team Süd: 339 + 311 + 290 + 299 + 301 = 1540, 1540 : 5 = 308
    3. 318 − 308 = 10
    Ergebnis:
    Team Nord, um 10 cm
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 21, 22, 20, 21, 21. Team Süd: 12, 29, 14, 26, 24. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 22 − 20 = 2
    2. Team Süd: 29 − 12 = 17
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Nord.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 2 gegen 17)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 242, 30, 16, 19. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 66 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 16, 19, 23, 30, 242
    2. Median: 23
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 242.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser
  4. ●28
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 20 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 20, 19, 16. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher161718192021?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
    2. Summe der bekannten: 20 + 19 + 16 = 55
    3. 80 − 55 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 4 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 32 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 10B32 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 410 = 0,4
    2. Schule am See: 3240 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,8)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 20-mal auf den Korb und trifft 7-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer7 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 720
    2. 720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 7 : 20 = 0,35
    Ergebnis:
    720 = 0,35

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 18, 13, 5, 10, 14. Jungen: 11, 16, 16, 12, 10. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen, um 1 Treffer

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 36, 9, 9, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 11, 6, 18, 7. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 32-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord15 von 20Team Süd32 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer3121385
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,24

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (22 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)
  2. Team Nord, um 3 Punkte
  3. Mädchen (Median 32 gegen 21)
  4. Nein, der Median 7 passt besser
  5. Ausreißer 55, Mittelwert 15 statt 5
  6. Median (6,5 statt 13)
  7. 368 cm
  8. 36 min
  9. 18 Punkte
  10. Fußball-AG (0,46)
  11. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  12. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  13. 4
  14. 14
  15. 13
  16. Nein, eher 0,154
  17. 0,32
  18. 0,3
  19. 118
  20. 4 Ergebnisse
  21. 2 Ergebnisse
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  23. fair (3 zu 3)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Team Nord, um 10 cm
  26. gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 2 gegen 17)
  27. Nein, der Median 23 passt besser
  28. 25 Punkte
  29. Schule am See (0,8)
  30. 720 = 0,35
  31. Jungen, um 1 Treffer
  32. Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  33. 13 Treffer
  34. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  35. 0,24
  36. fair (3 zu 3)
  37. x̄ = 8
  38. Median 10; Spannweite 10