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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 14, 13, 6, 8, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,4
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 14, 8, 8, 5, 10. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 8, 8, 10, 14
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 14 − 5 = 9
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 16, 20, 24, 33, 57. Jungen: 56, 24, 21, 57, 47. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 16 + 20 + 24 + 33 + 57 = 150, 150 : 5 = 30
  2. Jungen: 56 + 24 + 21 + 57 + 47 = 205, 205 : 5 = 41
  3. 41 − 30 = 11
  1. Mädchen: 16 + 20 + 24 + 33 + 57 = 150, 150 : 5 = 30
  2. Jungen: 56 + 24 + 21 + 57 + 47 = 205, 205 : 5 = 41
  3. 41 − 30 = 11
Ergebnis:
Jungen, um 11 min

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 10, 23, 22, 33, 7. Jungen: 19, 25, 30, 38, 13. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 7, 10, 22, 23, 33, Median 22
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 7, 10, 22, 23, 33, Median 22
    2. Jungen geordnet: 13, 19, 25, 30, 38, Median 25
    3. 25 ist mehr als 22.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 25 gegen 22)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 27, 17, 9, 29, 23. Gruppe Falken: 10, 31, 17, 22, 35. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 27 + 17 + 9 + 29 + 23 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Gruppe Falken: 10 + 31 + 17 + 22 + 35 = 115, 115 : 5 = 23
    3. 23 − 21 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 2 Hundert Schritte
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 42, 26, 34, 40, 53. Gruppe Falken: 33, 14, 12, 57. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 42 + 26 + 34 + 40 + 53 = 195, 195 : 5 = 39
    2. Gruppe Falken: 33 + 14 + 12 + 57 = 116, 116 : 4 = 29
    3. 39 ist mehr als 29.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (39 min gegen 29 min)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 2, 5, 9, 36. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 2, 5, 8, 9, 36
  2. Median: 8
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 36.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 2, 5, 8, 9, 36
  2. Median: 8
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 36.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 8 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 37, 6, 9, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte510152025303540
    So fängst du an:
    Mittelwert: 65 : 5 = 13
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 5, 6, 8, 9, 37, Median 8
    3. Der Wert 37 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 13)
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 53, 369, 22, 59, 22. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 105 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 22, 22, 53, 59, 369
    2. Median: 53
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 369.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 53 passt besser
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 8, 6, 49, 9, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 49 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 84 : 6 = 14
    3. Ohne ihn: 35 : 5 = 7
    Ergebnis:
    Ausreißer 49, Mittelwert 14 statt 7

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 15, 21, 16. Welches Ergebnis fehlt?
bisher1516171819202122?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
  2. Summe der bekannten: 15 + 21 + 16 = 52
  3. 72 − 52 = 20
  1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
  2. Summe der bekannten: 15 + 21 + 16 = 52
  3. 72 − 52 = 20
Ergebnis:
20 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 28 min. Bekannt sind 51, 27, 20. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 28 = 112
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 28 = 112
    2. Summe der bekannten: 51 + 27 + 20 = 98
    3. 112 − 98 = 14
    Ergebnis:
    14 min
  2. ●8
    Aylin möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 329 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 313, 336, 360, 367. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher310320330340350360370380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 329 = 1645
    2. Summe der bekannten: 313 + 336 + 360 + 367 = 1376
    3. 1645 − 1376 = 269
    Ergebnis:
    269 cm
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Weitsprüngen ist 300 cm. Bekannt sind 333, 311, 267, 323, 253. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 300 = 1800
    2. Summe der bekannten: 333 + 311 + 267 + 323 + 253 = 1487
    3. 1800 − 1487 = 313
    Ergebnis:
    313 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 18 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A6 von 10B18 von 50
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 610 = 0,6
  2. Klasse 6b: 1850 = 0,36
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
  1. Klasse 6a: 610 = 0,6
  2. Klasse 6b: 1850 = 0,36
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
Ergebnis:
Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 32 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A32 von 50B19 von 40
    So fängst du an:
    Schule am Park: 3250 = 0,64
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 3250 = 0,64
    2. Schule am See: 1940 = 0,475
    3. 0,64 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,64)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 30-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 31-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord30 von 40Team Süd31 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 3040 = 0,75
    2. Team Süd: 3150 = 0,62
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 19 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A19 von 40B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1940 = 0,475
    2. Klasse 6b: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?616Jungen10313gesamt20929
Schritt für Schritt
  1. Zeile Mädchen: zusammen 16.
  2. 16 − 6 = 10
  3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 10 = 20
  1. Zeile Mädchen: zusammen 16.
  2. 16 − 6 = 10
  3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 10 = 20
Ergebnis:
10

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 29 Kinder mit, davon sind 14 Mädchen. 10 Mädchen und 5 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 29 − 14 = 15
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 29 − 14 = 15
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 15 − 5 = 10
    3. Kontrolle: 10 + 4 + 5 + 10 = 29
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen15??Jungen61117gesamt?21?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 21 − 11 = 10
    2. Zeile Mädchen: 15 + 10 = 25
    3. Insgesamt: 25 + 17 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Rad“ größer: bei Klasse 6a oder bei Klasse 6b?
    RadBusgesamtKlasse 6a448Klasse 6b538gesamt9716
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 48 = 0,5
    2. Klasse 6b: 58 = 0,625
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,625)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer21730150
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 50 = 0,34
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 50 = 0,34
Ergebnis:
0,34

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer151580
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 80 : 500 = 0,16
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,16
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer441578
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 4 : 50 = 0,08
    Ergebnis:
    0,08
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer11763305
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 305 : 1000 = 0,305
    Ergebnis:
    0,305

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. 5 von 36, also 536 = 536
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 5 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 5: 1 und 5; 5 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
  4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
  4. Jonas braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 16, 7, 3, 5, 14. Jungen: 10, 5, 8, 10, 7. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen246810121416
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 3, 5, 7, 14, 16, Median 7
    2. Jungen geordnet: 5, 7, 8, 10, 10, Median 8
    3. 8 ist mehr als 7.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 8 gegen 7)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 19, 20, 22, 18, 21. Gruppe Falken: 20, 22, 25, 23, 10. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 22 − 18 = 4
    2. Gruppe Falken: 25 − 10 = 15
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 15)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 14, 16, 28, 247, 30. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 67 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 14, 16, 28, 30, 247
    2. Median: 28
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 247.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 28 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 33 min. Bekannt sind 49, 16, 32. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
    2. Summe der bekannten: 49 + 16 + 32 = 97
    3. 132 − 97 = 35
    Ergebnis:
    35 min
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 22 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A22 von 50B8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2250 = 0,44
    2. Fußball-AG: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 21-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer21 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2150
    2. 2150 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 21 : 50 = 0,42
    Ergebnis:
    2150 = 0,42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 10, 36, 27, 41, 41. Jungen: 40, 50, 33, 27, 20. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen101520253035404550
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen, um 3 min

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 34, 59, 396, 49, 42. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 116 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 49 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 38 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 35, 53, 38, 19. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher15202530354045505560?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45 min

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 12 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 26 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 20B26 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 54??Klasse 614721gesamt?14?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer191687
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,174

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (Median 25 gegen 22)
  2. Gruppe Falken, um 2 Hundert Schritte
  3. Gruppe Adler (39 min gegen 29 min)
  4. Median (8 statt 13)
  5. Nein, der Median 53 passt besser
  6. Ausreißer 49, Mittelwert 14 statt 7
  7. 14 min
  8. 269 cm
  9. 313 cm
  10. Schule am Park (0,64)
  11. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  12. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  13. 10
  14. 42
  15. Klasse 6b (0,625)
  16. Nein, eher 0,16
  17. 0,08
  18. 0,305
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Jungen (Median 8 gegen 7)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 15)
  27. Nein, der Median 28 passt besser
  28. 35 min
  29. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  30. 2150 = 0,42
  31. Jungen, um 3 min
  32. Nein, der Median 49 passt besser
  33. 45 min
  34. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  35. 32
  36. 0,174
  37. fair (3 zu 3)
  38. x̄ = 9,4
  39. Median 8; Spannweite 9