Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

●34
Punkte im Test: 3, 11, 15, 8, 10. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 9,4
●35
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 8, 18, 3, 17, 18. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 3, 8, 17, 18, 18
2. Median = mittlerer Wert = 17
3. Spannweite = 18 − 3 = 15
Ergebnis:
Median 17; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 347, 249, 360, 288, 261. Gruppe Falken: 364, 277, 358, 307, 284. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?

Schritt für Schritt

Gruppe Adler geordnet: 249, 261, 288, 347, 360, Median 288
Gruppe Falken geordnet: 277, 284, 307, 358, 364, Median 307
307 ist mehr als 288.

Gruppe Adler geordnet: 249, 261, 288, 347, 360, Median 288
Gruppe Falken geordnet: 277, 284, 307, 358, 364, Median 307
307 ist mehr als 288.

Ergebnis:

Gruppe Falken (Median 307 gegen 288)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20

So richtig

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 38, 28, 29, 27, 18. Jungen: 27, 27, 15, 17, 14. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
So fängst du an:
Mädchen: 38 + 28 + 29 + 27 + 18 = 140, 140 : 5 = 28
Lösung zeigen
1. Mädchen: 38 + 28 + 29 + 27 + 18 = 140, 140 : 5 = 28
2. Jungen: 27 + 27 + 15 + 17 + 14 = 100, 100 : 5 = 20
3. 28 ist mehr als 20.
Ergebnis:
Mädchen (28 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)
●2
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 14, 22, 11, 26, 37. Jungen: 14, 37, 25, 11, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
Lösung zeigen
1. Mädchen geordnet: 11, 14, 22, 26, 37, Median 22
2. Jungen geordnet: 8, 11, 14, 25, 37, Median 14
3. 22 ist mehr als 14.
Ergebnis:
Mädchen (Median 22 gegen 14)
★3
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 25, 14, 34, 36, 19, 16. Jungen: 29, 34, 17, 20. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Lösung zeigen
1. Mädchen: 25 + 14 + 34 + 36 + 19 + 16 = 144, 144 : 6 = 24
2. Jungen: 29 + 34 + 17 + 20 = 100, 100 : 4 = 25
3. 25 − 24 = 1
Ergebnis:
Jungen, um 1 Hundert Schritte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 7, 6, 4, 31, 7. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?

Schritt für Schritt

31 ist viel größer als alle anderen Werte.
Mit ihm: 55 : 5 = 11
Ohne ihn: 24 : 4 = 6

31 ist viel größer als alle anderen Werte.
Mit ihm: 55 : 5 = 11
Ohne ihn: 24 : 4 = 6

Ergebnis:

Ausreißer 31, Mittelwert 11 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht

5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe

So richtig

5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

○4
Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 233, 18, 28, 24, 22. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 65 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
So fängst du an:
Geordnet: 18, 22, 24, 28, 233
Lösung zeigen
1. Geordnet: 18, 22, 24, 28, 233
2. Median: 24
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 233.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 24 passt besser
●5
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 40, 4, 9, 3, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
1. 40 ist viel größer als alle anderen Werte.
2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
Ergebnis:
Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
★6
Taschengeld in der Woche, in €: 4, 4, 53, 9, 5, 3. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
1. 53 ist viel größer als alle anderen Werte.
2. Mit ihm: 78 : 6 = 13
3. Ohne ihn: 25 : 5 = 5
Ergebnis:
Ausreißer 53, Mittelwert 13 statt 5

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 15, 12, 3. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?

Schritt für Schritt

Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
Summe der bekannten: 15 + 12 + 3 = 30
44 − 30 = 14

Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
Summe der bekannten: 15 + 12 + 3 = 30
44 − 30 = 14

Ergebnis:

14 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14

So richtig

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

○7
Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 32 min. Bekannt sind 51, 29, 19. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
So fängst du an:
Summe aller Werte: 4 · 32 = 128
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 32 = 128
2. Summe der bekannten: 51 + 29 + 19 = 99
3. 128 − 99 = 29
Ergebnis:
29 min
●8
Noah hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 22, 26, 11, 12. Welches Ergebnis fehlt?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
2. Summe der bekannten: 22 + 26 + 11 + 12 = 71
3. 90 − 71 = 19
Ergebnis:
19 Punkte
★9
Tim hat die Ergebnisse von 6 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 31 min. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 25, 11, 31, 60, 18. Welches Ergebnis fehlt?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 6 · 31 = 186
2. Summe der bekannten: 25 + 11 + 31 + 60 + 18 = 145
3. 186 − 145 = 41
Ergebnis:
41 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 20-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 20 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Team Nord: 2050 = 0,4
Team Süd: 1520 = 0,75
Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.

Team Nord: 2050 = 0,4
Team Süd: 1520 = 0,75
Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.

Ergebnis:

Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil

So richtig

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

○10
In der Theater-AG haben 28 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 12 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Theater-AG: 2850 = 0,56
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 2850 = 0,56
2. Fußball-AG: 1220 = 0,6
3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
●11
An der Schule am Park sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Schule am Park: 210 = 0,2
2. Schule am See: 1925 = 0,76
3. 0,76 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,76)
★12
Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 20 Schüssen. Team West trifft beim Elfmetertraining 3-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Team Nord: 1625 = 0,64
2. Team Süd: 1320 = 0,65
3. Team West: 310 = 0,3
4. 0,65 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?

Schritt für Schritt

Spalte AG nein: 17 − 14 = 3
Zeile Klasse 5: 13 + 3 = 16
Insgesamt: 16 + 27 = 43

Spalte AG nein: 17 − 14 = 3
Zeile Klasse 5: 13 + 3 = 16
Insgesamt: 16 + 27 = 43

Ergebnis:

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht

52 − 27 = 35

So richtig

52 − 27: 12 − 7 = 5, 4 − 2 = 2 → 25

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

○13
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
So fängst du an:
Zeile Mädchen: zusammen 27.
Lösung zeigen
1. Zeile Mädchen: zusammen 27.
2. 27 − 13 = 14
3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 6 = 20
Ergebnis:
14
●14
Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 18 Kinder aus Klasse 5. 13 Kinder aus Klasse 5 und 9 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Lösung zeigen
1. Kinder aus Klasse 6: 31 − 18 = 13
2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 13 − 9 = 4
3. Kontrolle: 13 + 5 + 9 + 4 = 31
Ergebnis:
4
★15
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
Lösung zeigen
1. Zeile Mädchen: zusammen 17.
2. 17 − 9 = 8
3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 5 = 13
Ergebnis:
8

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?

Schritt für Schritt

2 : 10 = 0,2
82 : 500 = 0,164
10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.

2 : 10 = 0,2
82 : 500 = 0,164
10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.

Ergebnis:

Nein, eher 0,164

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht

3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3

So richtig

3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
So fängst du an:
Treffer geteilt durch Würfe.
Lösung zeigen
1. Treffer geteilt durch Würfe.
2. 195 : 500 = 0,39
Ergebnis:
0,39
●17
Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Lösung zeigen
1. 2 : 10 = 0,2
2. 197 : 500 = 0,394
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
Ergebnis:
Nein, eher 0,394
★18
Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
Lösung zeigen
1. Treffer geteilt durch Würfe.
2. 86 : 200 = 0,43
Ergebnis:
0,43

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?

Schritt für Schritt

Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
Günstig: 1 Ergebnis.
Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.

Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
Günstig: 1 Ergebnis.
Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.

Ergebnis:

12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht

Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36

So richtig

Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

○19
Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
So fängst du an:
Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
Lösung zeigen
1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112
●20
Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
Lösung zeigen
1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118
★21
Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 2 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
Lösung zeigen
1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
2. Unterschied 2: 4 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
3. 4 + 4 = 8
Ergebnis:
8 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.

Schritt für Schritt

Anna: 15 von 36 Ergebnissen
Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.

Anna: 15 von 36 Ergebnissen
Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.

Ergebnis:

fair (15 zu 15)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht

27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse

So richtig

27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

○22
Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
So fängst du an:
Anna: 6 von 36 Ergebnissen
Lösung zeigen
1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte
●23
Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Lösung zeigen
1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
3. 24 ist mehr als 12.
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
★24
Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Lösung zeigen
1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 357, 349, 355, 319, 260. Team Süd: 292, 271, 336, 381, 385. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Lösung zeigen
1. Team Nord: 357 + 349 + 355 + 319 + 260 = 1640, 1640 : 5 = 328
2. Team Süd: 292 + 271 + 336 + 381 + 385 = 1665, 1665 : 5 = 333
3. 333 − 328 = 5
Ergebnis:
Team Süd, um 5 cm
●26
Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 9, 9, 10, 12, 10. Jungen: 14, 6, 7, 8, 15. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert beider Gruppen: 50 : 5 = 10
2. Mädchen: 12 − 9 = 3
3. Jungen: 15 − 6 = 9
4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
Ergebnis:
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 3 gegen 9)
●27
Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 42, 23, 55, 384, 36. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
1. 384 ist viel größer als alle anderen Werte.
2. Mit ihm: 540 : 5 = 108
3. Ohne ihn: 156 : 4 = 39
Ergebnis:
Ausreißer 384, Mittelwert 108 statt 39
●28
Noah hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 9 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 14, 13, 4. Welches Ergebnis fehlt?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
2. Summe der bekannten: 14 + 13 + 4 = 31
3. 36 − 31 = 5
Ergebnis:
5 Treffer
●29
In der Theater-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 18 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 410 = 0,4
2. Fußball-AG: 1825 = 0,72
3. 0,72 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Fußball-AG (0,72)
●30
Ein Würfel wird 20-mal geworfen. 10-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1020
2. Gekürzt: 1020 = 12
3. Als Dezimalzahl: 10 : 20 = 0,5
Ergebnis:
12 = 0,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer: Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert: Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit: Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle: Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil: Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen: Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness: Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.
31
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 359, 281, 342, 389, 329. Team Süd: 352, 244, 294, 252, 353. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Team Nord, um 41 cm
Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.
32
Taschengeld in der Woche, in €: 4, 57, 8, 9, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 17 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, der Median 8 passt besser
Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.
33
Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

Mädchen (28 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)
Mädchen (Median 22 gegen 14)
Jungen, um 1 Hundert Schritte
Nein, der Median 24 passt besser
Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
Ausreißer 53, Mittelwert 13 statt 5
29 min
19 Punkte
41 min
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
Schule am See (0,76)
Team Süd (0,65)
14
4
8
0,39
Nein, eher 0,394
0,43
112
118
8 Ergebnisse
2 Punkte
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
2 Punkte
Team Süd, um 5 cm
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 3 gegen 9)
Ausreißer 384, Mittelwert 108 statt 39
5 Treffer
Fußball-AG (0,72)
12 = 0,5
Team Nord, um 41 cm
Nein, der Median 8 passt besser
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
x̄ = 9,4
Median 17; Spannweite 15