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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●33
    Punkte im Test: 8, 6, 12, 4, 15. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9
  2. ●34
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 9, 3, 4, 20, 3. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 3, 4, 9, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 4
    3. Spannweite = 20 − 3 = 17
    Ergebnis:
    Median 4; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 312, 289, 288, 387, 289. Team Süd: 283, 256, 295, 372, 344. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 288, 289, 289, 312, 387, Median 289
  2. Team Süd geordnet: 256, 283, 295, 344, 372, Median 295
  3. 295 ist mehr als 289.
  1. Team Nord geordnet: 288, 289, 289, 312, 387, Median 289
  2. Team Süd geordnet: 256, 283, 295, 344, 372, Median 295
  3. 295 ist mehr als 289.
Ergebnis:
Team Süd (Median 295 gegen 289)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 32, 22, 7, 22, 7. Jungen: 28, 6, 37, 35, 24. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen: 32 + 22 + 7 + 22 + 7 = 90, 90 : 5 = 18
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 32 + 22 + 7 + 22 + 7 = 90, 90 : 5 = 18
    2. Jungen: 28 + 6 + 37 + 35 + 24 = 130, 130 : 5 = 26
    3. 26 − 18 = 8
    Ergebnis:
    Jungen, um 8 Hundert Schritte
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 32, 31, 38, 26, 33. Gruppe Falken: 29, 58, 60, 17, 16. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 32 + 31 + 38 + 26 + 33 = 160, 160 : 5 = 32
    2. Gruppe Falken: 29 + 58 + 60 + 17 + 16 = 180, 180 : 5 = 36
    3. 36 ist mehr als 32.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (36 min gegen 32 min)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 9, 32, 35, 15, 24. Jungen: 17, 37, 27, 27. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 9, 15, 24, 32, 35, Median 24
    2. Jungen geordnet: 17, 27, 27, 37, Median 27
    3. 27 ist mehr als 24.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 27 gegen 24)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 46, 24, 58, 249, 48. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 85 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 24, 46, 48, 58, 249
  2. Median: 48
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 249.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 24, 46, 48, 58, 249
  2. Median: 48
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 249.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 48 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 58, 38, 21, 362, 51. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    So fängst du an:
    Mittelwert: 530 : 5 = 106
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 530 : 5 = 106
    2. Geordnet: 21, 38, 51, 58, 362, Median 51
    3. Der Wert 362 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (51 statt 106)
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 3, 35, 3, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 55 : 5 = 11
    2. Geordnet: 3, 3, 6, 8, 35, Median 6
    3. Der Wert 35 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 11)
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 195, 26, 12, 27, 16, 24. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 50 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 16, 24, 26, 27, 195
    2. Median: 25
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 195.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 25 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 28, 9, 11. Was braucht Noah beim letzten Mal?
bisher5101520253035?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 28 + 9 + 11 = 48
  3. 76 − 48 = 28
  1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
  2. Summe der bekannten: 28 + 9 + 11 = 48
  3. 76 − 48 = 28
Ergebnis:
28 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 31 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 18, 39, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1015202530354045?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 31 = 124
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 31 = 124
    2. Summe der bekannten: 18 + 39 + 11 = 68
    3. 124 − 68 = 56
    Ergebnis:
    56 min
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 327 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 293, 295, 338, 331. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher290300310320330340350?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 327 = 1635
    2. Summe der bekannten: 293 + 295 + 338 + 331 = 1257
    3. 1635 − 1257 = 378
    Ergebnis:
    378 cm
  3. ★9
    Lukas möchte bei 6 Runden Korbwurf im Mittel genau 10 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 5, 14, 16, 11, 8. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher4681012141618?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 10 = 60
    2. Summe der bekannten: 5 + 14 + 16 + 11 + 8 = 54
    3. 60 − 54 = 6
    Ergebnis:
    6 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 12 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A12 von 25B8 von 10
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1225 = 0,48
  2. Fußball-AG: 810 = 0,8
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 1225 = 0,48
  2. Fußball-AG: 810 = 0,8
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Fußball-AG (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 18 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A18 von 40B13 von 20
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1840 = 0,45
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1840 = 0,45
    2. Fußball-AG: 1320 = 0,65
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 10 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 26 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A10 von 20B26 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1020 = 0,5
    2. Klasse 6b: 2650 = 0,52
    3. 0,52 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,52)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 2 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A2 von 10B13 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 210 = 0,2
    2. Klasse 6b: 1340 = 0,325
    3. 0,325 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,325)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
Haustierkein TiergesamtMädchen5?12Jungen14822gesamt191534
Schritt für Schritt
  1. Zeile Mädchen: zusammen 12.
  2. 12 − 5 = 7
  3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 8 = 15
  1. Zeile Mädchen: zusammen 12.
  2. 12 − 5 = 7
  3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 8 = 15
Ergebnis:
7

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen10717Jungen12?21gesamt221638
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 21.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 21.
    2. 21 − 12 = 9
    3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 7 = 16
    Ergebnis:
    9
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 56?20Klasse 6101222gesamt162642
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 20.
    2. 20 − 6 = 14
    3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 12 = 26
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?1324Klasse 67411gesamt181735
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 24.
    2. 24 − 13 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 7 = 18
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer41024123
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 24 : 100 = 0,24
  3. 123 : 500 = 0,246
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 24 : 100 = 0,24
  3. 123 : 500 = 0,246
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,246

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer341382
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 13 : 100 = 0,13
    3. 82 : 500 = 0,164
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,164
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer461698
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 98 : 500 = 0,196
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,2.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,196
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer51765361
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 361 : 1000 = 0,361
    Ergebnis:
    0,361

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 32, 15, 15, 39, 29. Gruppe Falken: 25, 15, 29, 18, 23. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 32 + 15 + 15 + 39 + 29 = 130, 130 : 5 = 26
    2. Gruppe Falken: 25 + 15 + 29 + 18 + 23 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 26 − 22 = 4
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 4 Hundert Schritte
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 35, 42, 40, 38, 40. Gruppe Falken: 44, 60, 54, 18, 19. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 195 : 5 = 39
    2. Gruppe Adler: 42 − 35 = 7
    3. Gruppe Falken: 60 − 18 = 42
    4. Die Werte von Gruppe Adler liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 7 gegen 42)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 9, 4, 40, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 4, 5, 9, 40
    2. Median: 5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 40.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 18 Punkte. Bekannt sind 27, 22, 14, 12. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
    2. Summe der bekannten: 27 + 22 + 14 + 12 = 75
    3. 90 − 75 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 10 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 11 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 25B11 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1025 = 0,4
    2. Fußball-AG: 1140 = 0,275
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 25-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer25 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2550
    2. Gekürzt: 2550 = 12
    3. Als Dezimalzahl: 25 : 50 = 0,5
    Ergebnis:
    12 = 0,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 303, 292, 306, 322, 242. Team Süd: 353, 354, 279, 242, 307. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (307 cm gegen 293 cm)

  2. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    32
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen, um 8 Hundert Schritte
  2. Gruppe Falken (36 min gegen 32 min)
  3. Jungen (Median 27 gegen 24)
  4. Median (51 statt 106)
  5. Median (6 statt 11)
  6. Nein, der Median 25 passt besser
  7. 56 min
  8. 378 cm
  9. 6 Treffer
  10. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  11. Klasse 6b (0,52)
  12. Klasse 6b (0,325)
  13. 9
  14. 14
  15. 11
  16. 0,164
  17. Nein, eher 0,196
  18. 0,361
  19. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  20. 118
  21. 4 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  25. Gruppe Adler, um 4 Hundert Schritte
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 7 gegen 42)
  27. Nein, der Median 5 passt besser
  28. 15 Punkte
  29. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  30. 12 = 0,5
  31. Team Süd (307 cm gegen 293 cm)
  32. 2 Punkte
  33. x̄ = 9
  34. Median 4; Spannweite 17