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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●34
    Punkte im Test: 14, 14, 8, 11, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 11,4
  2. ●35
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 17, 9, 4, 8. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 7, 8, 9, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 17 − 4 = 13
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 26, 33, 15, 56, 25. Jungen: 31, 24, 47, 13, 60. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
MädchenJungen102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 26 + 33 + 15 + 56 + 25 = 155, 155 : 5 = 31
  2. Jungen: 31 + 24 + 47 + 13 + 60 = 175, 175 : 5 = 35
  3. 35 ist mehr als 31.
  1. Mädchen: 26 + 33 + 15 + 56 + 25 = 155, 155 : 5 = 31
  2. Jungen: 31 + 24 + 47 + 13 + 60 = 175, 175 : 5 = 35
  3. 35 ist mehr als 31.
Ergebnis:
Jungen (35 min gegen 31 min)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 25, 21, 21, 14, 19. Gruppe Falken: 29, 17, 9, 26, 29. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 25 + 21 + 21 + 14 + 19 = 100, 100 : 5 = 20
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 25 + 21 + 21 + 14 + 19 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Falken: 29 + 17 + 9 + 26 + 29 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 − 20 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 2 Punkte
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 252, 278, 338, 383, 249. Team Süd: 288, 387, 242, 371, 247. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 249, 252, 278, 338, 383, Median 278
    2. Team Süd geordnet: 242, 247, 288, 371, 387, Median 288
    3. 288 ist mehr als 278.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 288 gegen 278)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 9, 32, 30, 9, 35, 17. Jungen: 31, 17, 28, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 9, 9, 17, 30, 32, 35, Median 23,5
    2. Jungen geordnet: 8, 17, 28, 31, Median 22,5
    3. 23,5 ist mehr als 22,5.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 23,5 gegen 22,5)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 9, 36, 3, 8, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0510152025303540
Schritt für Schritt
  1. 36 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 36 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 46, 41, 294, 20, 49. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 90 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    So fängst du an:
    Geordnet: 20, 41, 46, 49, 294
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 20, 41, 46, 49, 294
    2. Median: 46
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 294.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 46 passt besser
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 3, 40, 6, 6, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 3, 5, 6, 6, 40, Median 6
    3. Der Wert 40 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 12)
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 22, 46, 21, 346, 27, 54. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. 346 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 516 : 6 = 86
    3. Ohne ihn: 170 : 5 = 34
    Ergebnis:
    Ausreißer 346, Mittelwert 86 statt 34

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 300 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 281, 246, 354. Was braucht Tim beim letzten Mal?
bisher240260280300320340360380?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 300 = 1200
  2. Summe der bekannten: 281 + 246 + 354 = 881
  3. 1200 − 881 = 319
  1. Summe aller Werte: 4 · 300 = 1200
  2. Summe der bekannten: 281 + 246 + 354 = 881
  3. 1200 − 881 = 319
Ergebnis:
319 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 18 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 23, 18. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher161718192021222324?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
    2. Summe der bekannten: 16 + 23 + 18 = 57
    3. 72 − 57 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 37 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 33, 39, 17. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher15202530354045?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 37 = 148
    2. Summe der bekannten: 33 + 39 + 17 = 89
    3. 148 − 89 = 59
    Ergebnis:
    59 min
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Runden Korbwurf ist 12 Treffer. Bekannt sind 8, 14, 17, 12, 6. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 12 = 72
    2. Summe der bekannten: 8 + 14 + 17 + 12 + 6 = 57
    3. 72 − 57 = 15
    Ergebnis:
    15 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 11 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A7 von 10B11 von 50
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 710 = 0,7
  2. Fußball-AG: 1150 = 0,22
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
  1. Theater-AG: 710 = 0,7
  2. Fußball-AG: 1150 = 0,22
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord8 von 20Team Süd13 von 40
    So fängst du an:
    Team Nord: 820 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 820 = 0,4
    2. Team Süd: 1340 = 0,325
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 12 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 10 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A12 von 50B10 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1250 = 0,24
    2. Schule am See: 1025 = 0,4
    3. 0,4 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,4)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord8 von 10Team Süd18 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 1850 = 0,36
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 19 Mädchen. 7 Mädchen und 8 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 36 − 19 = 17
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 17 − 8 = 9
  3. Kontrolle: 7 + 12 + 8 + 9 = 36
  1. Jungen: 36 − 19 = 17
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 17 − 8 = 9
  3. Kontrolle: 7 + 12 + 8 + 9 = 36
Ergebnis:
9

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen6??Jungen14317gesamt?9?
    So fängst du an:
    Spalte kein Tier: 9 − 3 = 6
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Tier: 9 − 3 = 6
    2. Zeile Mädchen: 6 + 6 = 12
    3. Insgesamt: 12 + 17 = 29
    Ergebnis:
    29
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen71421Jungen?818gesamt172239
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 18.
    2. 18 − 8 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen4?9Jungen51419gesamt91928
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 9.
    2. 9 − 4 = 5
    3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 14 = 19
    Ergebnis:
    5

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer41528154
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 28 : 100 = 0,28
  3. 154 : 500 = 0,308
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 28 : 100 = 0,28
  3. 154 : 500 = 0,308
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,308

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31943195
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 195 : 500 = 0,39
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,39
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer31927149
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 27 : 100 = 0,27
    3. 149 : 500 = 0,298
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,298
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer1927155
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 155 : 1000 = 0,155
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,155

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 3 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 3: 1 und 3; 3 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Ben gewinnt 2-mal so oft.
  4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Ben gewinnt 2-mal so oft.
  4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Anna und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 44, 19, 51, 48, 28. Jungen: 11, 22, 48, 44, 30. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen10152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 19, 28, 44, 48, 51, Median 44
    2. Jungen geordnet: 11, 22, 30, 44, 48, Median 30
    3. 44 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 44 gegen 30)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 24, 14, 15, 25, 12. Team Süd: 19, 18, 19, 16, 18. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd1214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 90 : 5 = 18
    2. Team Nord: 25 − 12 = 13
    3. Team Süd: 19 − 16 = 3
    4. Die Werte von Team Süd liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 13)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 6, 8, 56, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
    2. Geordnet: 4, 6, 6, 8, 56, Median 6
    3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 16)
  4. ●28
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 27, 15, 16, 16. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher141618202224262830?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
    2. Summe der bekannten: 27 + 15 + 16 + 16 = 74
    3. 85 − 74 = 11
    Ergebnis:
    11 Punkte
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 26 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 13 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A26 von 40B13 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2640 = 0,65
    2. Schule am See: 1325 = 0,52
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,65)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 42-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer42 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 4250
    2. Gekürzt: 4250 = 2125
    3. Als Dezimalzahl: 42 : 50 = 0,84
    Ergebnis:
    2125 = 0,84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 28, 34, 23, 13, 12. Jungen: 33, 17, 16, 22, 32. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen101520253035
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 23 gegen 22)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 7, 5, 7, 46. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6

  3. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    33
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken, um 2 Punkte
  2. Team Süd (Median 288 gegen 278)
  3. Mädchen (Median 23,5 gegen 22,5)
  4. Nein, der Median 46 passt besser
  5. Median (6 statt 12)
  6. Ausreißer 346, Mittelwert 86 statt 34
  7. 15 Punkte
  8. 59 min
  9. 15 Treffer
  10. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  11. Schule am See (0,4)
  12. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  13. 29
  14. 10
  15. 5
  16. Nein, eher 0,39
  17. 0,298
  18. Nein, eher 0,155
  19. 118
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. fair (15 zu 15)
  23. fair (15 zu 15)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Mädchen (Median 44 gegen 30)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 13)
  27. Median (6 statt 16)
  28. 11 Punkte
  29. Schule am Park (0,65)
  30. 2125 = 0,84
  31. Mädchen (Median 23 gegen 22)
  32. Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
  33. fair (18 zu 18)
  34. x̄ = 11,4
  35. Median 8; Spannweite 13