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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●34
    Punkte im Test: 6, 3, 6, 4, 2. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 4,2
  2. ●35
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 3, 12, 8, 9, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 6, 8, 9, 12
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 12 − 3 = 9
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 4, 15, 18, 8, 15. Jungen: 7, 16, 11, 5, 6. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
MädchenJungen4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen geordnet: 4, 8, 15, 15, 18, Median 15
  2. Jungen geordnet: 5, 6, 7, 11, 16, Median 7
  3. 15 ist mehr als 7.
  1. Mädchen geordnet: 4, 8, 15, 15, 18, Median 15
  2. Jungen geordnet: 5, 6, 7, 11, 16, Median 7
  3. 15 ist mehr als 7.
Ergebnis:
Mädchen (Median 15 gegen 7)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 55, 30, 15, 19, 21. Jungen: 41, 49, 42, 29, 49. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen152025303540455055
    So fängst du an:
    Mädchen: 55 + 30 + 15 + 19 + 21 = 140, 140 : 5 = 28
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 55 + 30 + 15 + 19 + 21 = 140, 140 : 5 = 28
    2. Jungen: 41 + 49 + 42 + 29 + 49 = 210, 210 : 5 = 42
    3. 42 ist mehr als 28.
    Ergebnis:
    Jungen (42 min gegen 28 min)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 15, 51, 36, 58, 15. Jungen: 30, 55, 27, 58, 10. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 15, 15, 36, 51, 58, Median 36
    2. Jungen geordnet: 10, 27, 30, 55, 58, Median 30
    3. 36 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 36 gegen 30)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 16, 15, 18, 16, 3. Team Süd: 13, 16, 6, 15, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 10 + 16 + 15 + 18 + 16 + 3 = 78, 78 : 6 = 13
    2. Team Süd: 13 + 16 + 6 + 15 + 10 = 60, 60 : 5 = 12
    3. 13 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    Team Nord (13 Treffer gegen 12 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 19, 30, 14, 21, 221. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 305 : 5 = 61
  2. Geordnet: 14, 19, 21, 30, 221, Median 21
  3. Der Wert 221 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 305 : 5 = 61
  2. Geordnet: 14, 19, 21, 30, 221, Median 21
  3. Der Wert 221 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (21 statt 61)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 13, 244, 25, 12, 26. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 64 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Geordnet: 12, 13, 25, 26, 244
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 13, 25, 26, 244
    2. Median: 25
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 244.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 25 passt besser
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 33, 54, 34, 47, 372. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 540 : 5 = 108
    2. Geordnet: 33, 34, 47, 54, 372, Median 47
    3. Der Wert 372 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (47 statt 108)
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 29, 22, 212, 18, 15, 16. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 52 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 15, 16, 18, 22, 29, 212
    2. Median: 20
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 212.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 20 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 22 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 19, 25, 22. Welches Ergebnis fehlt?
bisher1920212223242526?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
  2. Summe der bekannten: 19 + 25 + 22 = 66
  3. 88 − 66 = 22
  1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
  2. Summe der bekannten: 19 + 25 + 22 = 66
  3. 88 − 66 = 22
Ergebnis:
22 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 8 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 3, 12, 5. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2468101214?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
    2. Summe der bekannten: 3 + 12 + 5 = 20
    3. 32 − 20 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer
  2. ●8
    Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 329 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 383, 317, 320, 248. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 329 = 1645
    2. Summe der bekannten: 383 + 317 + 320 + 248 = 1268
    3. 1645 − 1268 = 377
    Ergebnis:
    377 cm
  3. ★9
    Lukas hat die Ergebnisse von 6 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 291 cm. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 348, 331, 248, 261, 301. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 291 = 1746
    2. Summe der bekannten: 348 + 331 + 248 + 261 + 301 = 1489
    3. 1746 − 1489 = 257
    Ergebnis:
    257 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 9 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 17 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A9 von 20B17 von 25
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 920 = 0,45
  2. Fußball-AG: 1725 = 0,68
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 920 = 0,45
  2. Fußball-AG: 1725 = 0,68
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Fußball-AG (0,68)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 9 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 10 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A9 von 20B10 von 25
    So fängst du an:
    Theater-AG: 920 = 0,45
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 920 = 0,45
    2. Fußball-AG: 1025 = 0,4
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord6 von 10Team Süd12 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 610 = 0,6
    2. Team Süd: 1225 = 0,48
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 16 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am Markt sagen 32 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A16 von 40B6 von 20C32 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1640 = 0,4
    2. Schule am See: 620 = 0,3
    3. Schule am Markt: 3250 = 0,64
    4. 0,64 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Markt (0,64)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 26 Kinder mit, davon sind 11 Mädchen. 4 Mädchen und 4 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 26 − 11 = 15
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 15 − 4 = 11
  3. Kontrolle: 4 + 7 + 4 + 11 = 26
  1. Jungen: 26 − 11 = 15
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 15 − 4 = 11
  3. Kontrolle: 4 + 7 + 4 + 11 = 26
Ergebnis:
11

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 18 Kinder der Klasse 6a. 15 Kinder der Klasse 6a und 10 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder der Klasse 6b: 40 − 18 = 22
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 40 − 18 = 22
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 22 − 10 = 12
    3. Kontrolle: 15 + 3 + 10 + 12 = 40
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen12??Jungen4610gesamt?9?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 9 − 6 = 3
    2. Zeile Mädchen: 12 + 3 = 15
    3. Insgesamt: 15 + 10 = 25
    Ergebnis:
    25
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Haustierkein TiergesamtMädchen81220Jungen628gesamt141428
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 820 = 0,4
    2. Jungen: 68 = 0,75
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Jungen (0,75)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer4102295
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 10 : 50 = 0,2
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 10 : 50 = 0,2
Ergebnis:
0,2

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer32149220
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 220 : 500 = 0,44
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,44.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,44
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer11133146
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 146 : 500 = 0,292
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,29.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,292
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer21883412
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 412 : 1000 = 0,412
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,41.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,412

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. 5 von 36, also 536 = 536
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 6 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 5? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 12?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 12: 6 und 6
    3. Das sind 1 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    1 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 26, 15, 12, 13, 14. Gruppe Falken: 13, 23, 26, 24, 24. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 12, 13, 14, 15, 26, Median 14
    2. Gruppe Falken geordnet: 13, 23, 24, 24, 26, Median 24
    3. 24 ist mehr als 14.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 24 gegen 14)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 9, 11, 14, 9, 7. Team Süd: 12, 9, 10, 9, 10. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd7891011121314
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 14 − 7 = 7
    2. Team Süd: 12 − 9 = 3
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 7)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 52, 287, 32, 35, 49. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 91 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 32, 35, 49, 52, 287
    2. Median: 49
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 287.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 49 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 319 cm. Bekannt sind 386, 299, 342. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 319 = 1276
    2. Summe der bekannten: 386 + 299 + 342 = 1027
    3. 1276 − 1027 = 249
    Ergebnis:
    249 cm
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord5 von 25Team Süd5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 525 = 0,2
    2. Team Süd: 510 = 0,5
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,5)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 20-mal geworfen. 17-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer17 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1720
    2. 1720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 20 = 0,85
    Ergebnis:
    1720 = 0,85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    31
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 7, 9, 6, 47. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (7 statt 15)

  2. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    32
    Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 20 Kinder aus Klasse 5. 12 Kinder aus Klasse 5 und 9 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

  3. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    33
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (42 min gegen 28 min)
  2. Mädchen (Median 36 gegen 30)
  3. Team Nord (13 Treffer gegen 12 Treffer)
  4. Nein, der Median 25 passt besser
  5. Median (47 statt 108)
  6. Nein, der Median 20 passt besser
  7. 12 Treffer
  8. 377 cm
  9. 257 cm
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  12. Schule am Markt (0,64)
  13. 12
  14. 25
  15. Jungen (0,75)
  16. Nein, eher 0,44
  17. Nein, eher 0,292
  18. Nein, eher 0,412
  19. 6 Ergebnisse
  20. 19
  21. 1 Ergebnisse
  22. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. fair (3 zu 3)
  24. 2 Punkte
  25. Gruppe Falken (Median 24 gegen 14)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 7)
  27. Nein, der Median 49 passt besser
  28. 249 cm
  29. Team Süd (0,5)
  30. 1720 = 0,85
  31. Median (7 statt 15)
  32. 6
  33. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  34. x̄ = 4,2
  35. Median 8; Spannweite 9