Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

●36
Punkte im Test: 13, 9, 4, 2, 7. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 7
●37
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 4, 10, 16, 16. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 4, 10, 16, 16, 17
2. Median = mittlerer Wert = 16
3. Spannweite = 17 − 4 = 13
Ergebnis:
Median 16; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 317, 281, 362, 302, 368. Team Süd: 253, 248, 382, 270, 302. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?

Schritt für Schritt

Team Nord geordnet: 281, 302, 317, 362, 368, Median 317
Team Süd geordnet: 248, 253, 270, 302, 382, Median 270
317 ist mehr als 270.

Team Nord geordnet: 281, 302, 317, 362, 368, Median 317
Team Süd geordnet: 248, 253, 270, 302, 382, Median 270
317 ist mehr als 270.

Ergebnis:

Team Nord (Median 317 gegen 270)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20

So richtig

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 37, 17, 7, 22, 32. Gruppe Falken: 28, 25, 35, 33, 14. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
So fängst du an:
Gruppe Adler: 37 + 17 + 7 + 22 + 32 = 115, 115 : 5 = 23
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler: 37 + 17 + 7 + 22 + 32 = 115, 115 : 5 = 23
2. Gruppe Falken: 28 + 25 + 35 + 33 + 14 = 135, 135 : 5 = 27
3. 27 − 23 = 4
Ergebnis:
Gruppe Falken, um 4 Hundert Schritte
●2
Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 17, 9, 12, 12, 10. Jungen: 9, 18, 10, 9, 4. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Lösung zeigen
1. Mädchen: 17 + 9 + 12 + 12 + 10 = 60, 60 : 5 = 12
2. Jungen: 9 + 18 + 10 + 9 + 4 = 50, 50 : 5 = 10
3. 12 − 10 = 2
Ergebnis:
Mädchen, um 2 Treffer
★3
Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 9, 14, 29, 22, 27, 13. Gruppe Falken: 11, 13, 9, 28, 13, 28. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Lösung zeigen
1. Gruppe Adler: 9 + 14 + 29 + 22 + 27 + 13 = 114, 114 : 6 = 19
2. Gruppe Falken: 11 + 13 + 9 + 28 + 13 + 28 = 102, 102 : 6 = 17
3. 19 ist mehr als 17.
Ergebnis:
Gruppe Adler (19 Punkte gegen 17 Punkte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 41, 4, 7, 4, 9. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.

Schritt für Schritt

Geordnet: 4, 4, 7, 9, 41
Median: 7
Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
Der Median beschreibt die Gruppe besser.

Geordnet: 4, 4, 7, 9, 41
Median: 7
Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
Der Median beschreibt die Gruppe besser.

Ergebnis:

Nein, der Median 7 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht

5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe

So richtig

5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

○4
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 51, 4, 7, 5, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
So fängst du an:
Geordnet: 4, 5, 7, 8, 51
Lösung zeigen
1. Geordnet: 4, 5, 7, 8, 51
2. Median: 7
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 7 passt besser
●5
Taschengeld in der Woche, in €: 7, 5, 6, 6, 51. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
2. Geordnet: 5, 6, 6, 7, 51, Median 6
3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (6 statt 15)
★6
Taschengeld in der Woche, in €: 60, 6, 7, 5, 5, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Lösung zeigen
1. Geordnet: 5, 5, 6, 7, 7, 60
2. Median: 6,5
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 60.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 316 cm. Bekannt sind 277, 315, 325, 338. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?

Schritt für Schritt

Summe aller Werte: 5 · 316 = 1580
Summe der bekannten: 277 + 315 + 325 + 338 = 1255
1580 − 1255 = 325

Summe aller Werte: 5 · 316 = 1580
Summe der bekannten: 277 + 315 + 325 + 338 = 1255
1580 − 1255 = 325

Ergebnis:

325 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14

So richtig

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

○7
Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 309 cm. Bekannt sind 292, 380, 335, 262. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
So fängst du an:
Summe aller Werte: 5 · 309 = 1545
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 5 · 309 = 1545
2. Summe der bekannten: 292 + 380 + 335 + 262 = 1269
3. 1545 − 1269 = 276
Ergebnis:
276 cm
●8
Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 308 cm. Bekannt sind 267, 334, 290. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 308 = 1232
2. Summe der bekannten: 267 + 334 + 290 = 891
3. 1232 − 891 = 341
Ergebnis:
341 cm
★9
Noah möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 18, 18, 12, 19, 24. Was braucht Noah beim letzten Mal?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 6 · 20 = 120
2. Summe der bekannten: 18 + 18 + 12 + 19 + 24 = 91
3. 120 − 91 = 29
Ergebnis:
29 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 3 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 9 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Theater-AG: 310 = 0,3
Fußball-AG: 940 = 0,225
Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.

Theater-AG: 310 = 0,3
Fußball-AG: 940 = 0,225
Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.

Ergebnis:

Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil

So richtig

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

○10
In der Theater-AG haben 8 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
So fängst du an:
Theater-AG: 840 = 0,2
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 840 = 0,2
2. Fußball-AG: 810 = 0,8
3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Fußball-AG (0,8)
●11
In der Klasse 6a kommen 16 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 2 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Klasse 6a: 1650 = 0,32
2. Klasse 6b: 210 = 0,2
3. 0,32 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,32)
★12
An der Schule am Park sagen 15 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 32 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Schule am Park: 1520 = 0,75
2. Schule am See: 3240 = 0,8
3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,8)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?

Schritt für Schritt

Spalte AG nein: 16 − 9 = 7
Zeile Klasse 5: 11 + 7 = 18
Insgesamt: 18 + 20 = 38

Spalte AG nein: 16 − 9 = 7
Zeile Klasse 5: 11 + 7 = 18
Insgesamt: 18 + 20 = 38

Ergebnis:

AchtungZwischenergebnis statt der gefragten Größe

So nicht

Zinsen 52,50 €, Guthaben? → 52,50 €

So richtig

Zinsen 52,50 €, Guthaben → 1.500 € + 52,50 € = 1.552,50 €

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter, bis genau das dasteht.

ÜbenJetzt du

○13
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
So fängst du an:
Zeile Jungen: zusammen 20.
Lösung zeigen
1. Zeile Jungen: zusammen 20.
2. 20 − 9 = 11
3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 9 = 20
Ergebnis:
11
●14
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
Lösung zeigen
1. Zeile Klasse 6: zusammen 22.
2. 22 − 9 = 13
3. Kontrolle mit der Spalte: 13 + 8 = 21
Ergebnis:
13
★15
Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Rad“ größer: bei Klasse 6a oder bei Klasse 6b?
Lösung zeigen
1. Klasse 6a: 1725 = 0,68
2. Klasse 6b: 320 = 0,15
3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,68)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.

Schritt für Schritt

Treffer geteilt durch Würfe.
17 : 100 = 0,17

Treffer geteilt durch Würfe.
17 : 100 = 0,17

Ergebnis:

0,17

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht

3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3

So richtig

3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

○16
Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,6.“ Hat sie recht?
So fängst du an:
6 : 10 = 0,6
Lösung zeigen
1. 6 : 10 = 0,6
2. 224 : 500 = 0,448
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,45.
Ergebnis:
Nein, eher 0,448
●17
Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
Lösung zeigen
1. 4 : 10 = 0,4
2. 82 : 500 = 0,164
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
Ergebnis:
Nein, eher 0,164
★18
Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Lösung zeigen
1. 1 : 10 = 0,1
2. 309 : 1000 = 0,309
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,31.
Ergebnis:
Nein, eher 0,309

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?

Schritt für Schritt

Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
Günstig: 1 Ergebnis.
Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.

Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
Günstig: 1 Ergebnis.
Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.

Ergebnis:

12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht

Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36

So richtig

Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

○19
Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 11? Gib sie als gekürzten Bruch an.
So fängst du an:
Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
Lösung zeigen
1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118
●20
Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
Lösung zeigen
1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse
★21
Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 0 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
Lösung zeigen
1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
2. Unterschied 0: beide Würfel gleich, das sind 6 Felder.
3. 6 von 36
Ergebnis:
6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.

Schritt für Schritt

Anna: 18 von 36 Ergebnissen
Ben: 18 von 36 Ergebnissen
Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.

Anna: 18 von 36 Ergebnissen
Ben: 18 von 36 Ergebnissen
Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.

Ergebnis:

fair (18 zu 18)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht

Augensumme 7 → 3 Ergebnisse

So richtig

Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
So fängst du an:
Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
Lösung zeigen
1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
●23
Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Lösung zeigen
1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
3. Anna gewinnt 3-mal so oft.
4. Lotta braucht 3 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
3 Punkte
★24
Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Lösung zeigen
1. Mila: 21 von 36 Ergebnissen
2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
3. 21 ist mehr als 15.
Ergebnis:
nicht fair, Mila gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 312, 271, 379, 328, 305. Team Süd: 277, 303, 305, 359, 386. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Lösung zeigen
1. Team Nord geordnet: 271, 305, 312, 328, 379, Median 312
2. Team Süd geordnet: 277, 303, 305, 359, 386, Median 305
3. 312 ist mehr als 305.
Ergebnis:
Team Nord (Median 312 gegen 305)
●26
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 307, 308, 292, 300, 298. Gruppe Falken: 304, 299, 313, 288, 301. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
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1. Gruppe Adler: 308 − 292 = 16
2. Gruppe Falken: 313 − 288 = 25
3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
Ergebnis:
gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 16 gegen 25)
●27
Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 26, 11, 16, 215, 27. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
1. 215 ist viel größer als alle anderen Werte.
2. Mit ihm: 295 : 5 = 59
3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
Ergebnis:
Ausreißer 215, Mittelwert 59 statt 20
●28
Mila möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 24, 21. Was braucht Mila beim letzten Mal?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
2. Summe der bekannten: 12 + 24 + 21 = 57
3. 76 − 57 = 19
Ergebnis:
19 Punkte
●29
In der Theater-AG haben 24 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 10 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 2450 = 0,48
2. Fußball-AG: 1020 = 0,5
3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
●30
Beim Basketball wirft Jana 50-mal auf den Korb und trifft 21-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
Lösung zeigen
1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2150
2. 2150 lässt sich nicht kürzen.
3. Als Dezimalzahl: 21 : 50 = 0,42
Ergebnis:
2150 = 0,42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer: Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert: Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit: Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle: Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil: Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen: Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness: Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.
31
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 256, 370, 253, 270, 311. Team Süd: 286, 271, 372, 385, 321. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Team Süd (Median 321 gegen 270)
Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.
32
Taschengeld in der Woche, in €: 31, 4, 9, 3, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ausreißer 31, Mittelwert 11 statt 6
Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.
33
Lukas hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 13 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 11, 13, 14. Welches Ergebnis fehlt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
14 Treffer
Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.
34
Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 24 Mädchen. 13 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
13
Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.
35
Mila und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

Gruppe Falken, um 4 Hundert Schritte
Mädchen, um 2 Treffer
Gruppe Adler (19 Punkte gegen 17 Punkte)
Nein, der Median 7 passt besser
Median (6 statt 15)
Nein, der Median 6,5 passt besser
276 cm
341 cm
29 Punkte
Fußball-AG (0,8)
Klasse 6a (0,32)
Schule am See (0,8)
11
13
Klasse 6a (0,68)
Nein, eher 0,448
Nein, eher 0,164
Nein, eher 0,309
118
2 Ergebnisse
6 Ergebnisse
nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
3 Punkte
nicht fair, Mila gewinnt öfter (21 zu 15)
Team Nord (Median 312 gegen 305)
gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 16 gegen 25)
Ausreißer 215, Mittelwert 59 statt 20
19 Punkte
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
2150 = 0,42
Team Süd (Median 321 gegen 270)
Ausreißer 31, Mittelwert 11 statt 6
14 Treffer
13
fair (3 zu 3)
x̄ = 7
Median 16; Spannweite 13