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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 13, 11, 5, 15, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 18, 15, 10, 11, 8. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 10, 11, 15, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 18 − 8 = 10
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 15, 16, 15, 14, 25. Gruppe Falken: 21, 20, 22, 22, 15. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken14161820222426
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 15 + 16 + 15 + 14 + 25 = 85, 85 : 5 = 17
  2. Gruppe Falken: 21 + 20 + 22 + 22 + 15 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 20 − 17 = 3
  1. Gruppe Adler: 15 + 16 + 15 + 14 + 25 = 85, 85 : 5 = 17
  2. Gruppe Falken: 21 + 20 + 22 + 22 + 15 = 100, 100 : 5 = 20
  3. 20 − 17 = 3
Ergebnis:
Gruppe Falken, um 3 Punkte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 13, 15, 38, 38, 26. Jungen: 15, 25, 28, 16, 36. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen10152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 13, 15, 26, 38, 38, Median 26
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 13, 15, 26, 38, 38, Median 26
    2. Jungen geordnet: 15, 16, 25, 28, 36, Median 25
    3. 26 ist mehr als 25.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 26 gegen 25)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 9, 28, 15, 17, 11. Team Süd: 16, 10, 19, 26, 29. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 9, 11, 15, 17, 28, Median 15
    2. Team Süd geordnet: 10, 16, 19, 26, 29, Median 19
    3. 19 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 19 gegen 15)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 8, 17, 17, 22, 21. Gruppe Falken: 24, 14, 20, 22. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken81012141618202224
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 8 + 17 + 17 + 22 + 21 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Gruppe Falken: 24 + 14 + 20 + 22 = 80, 80 : 4 = 20
    3. 20 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (20 Punkte gegen 17 Punkte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 21, 244, 34, 53, 48. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 80 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 21, 34, 48, 53, 244
  2. Median: 48
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 244.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 21, 34, 48, 53, 244
  2. Median: 48
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 244.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 48 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 5, 4, 45, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    Geordnet: 4, 5, 5, 6, 45
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 5, 5, 6, 45
    2. Median: 5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 45.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 8, 4, 5, 36. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 4, 5, 7, 8, 36, Median 7
    3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 12)
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 9, 4, 36, 4, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 66 : 6 = 11
    2. Geordnet: 4, 4, 6, 7, 9, 36, Median 6,5
    3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6,5 statt 11)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 10 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 17, 13, 6, 5. Was braucht Mila beim letzten Mal?
bisher468101214161820?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
  2. Summe der bekannten: 17 + 13 + 6 + 5 = 41
  3. 50 − 41 = 9
  1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
  2. Summe der bekannten: 17 + 13 + 6 + 5 = 41
  3. 50 − 41 = 9
Ergebnis:
9 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 29 min. Bekannt sind 20, 44, 18, 25. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
    2. Summe der bekannten: 20 + 44 + 18 + 25 = 107
    3. 145 − 107 = 38
    Ergebnis:
    38 min
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 5, 13, 14. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
    2. Summe der bekannten: 5 + 13 + 14 = 32
    3. 44 − 32 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer
  3. ★9
    Tim hat die Ergebnisse von 6 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 336 cm. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 321, 252, 380, 381, 315. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 336 = 2016
    2. Summe der bekannten: 321 + 252 + 380 + 381 + 315 = 1649
    3. 2016 − 1649 = 367
    Ergebnis:
    367 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 25 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 14 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A25 von 50B14 von 20
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 2550 = 0,5
  2. Klasse 6b: 1420 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
  1. Klasse 6a: 2550 = 0,5
  2. Klasse 6b: 1420 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
Ergebnis:
Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 12 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 20B14 von 40
    So fängst du an:
    Schule am Park: 1220 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1220 = 0,6
    2. Schule am See: 1440 = 0,35
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 14 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B14 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 810 = 0,8
    2. Klasse 6b: 1420 = 0,7
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,8)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 14-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord14 von 20Team Süd10 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1420 = 0,7
    2. Team Süd: 1025 = 0,4
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,7)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 15 Kinder aus Klasse 5. 12 Kinder aus Klasse 5 und 10 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder aus Klasse 6: 38 − 15 = 23
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 23 − 10 = 13
  3. Kontrolle: 12 + 3 + 10 + 13 = 38
  1. Kinder aus Klasse 6: 38 − 15 = 23
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 23 − 10 = 13
  3. Kontrolle: 12 + 3 + 10 + 13 = 38
Ergebnis:
13

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 30 Kinder mit, davon sind 13 Kinder aus Klasse 5. 6 Kinder aus Klasse 5 und 6 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 30 − 13 = 17
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 30 − 13 = 17
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 17 − 6 = 11
    3. Kontrolle: 6 + 7 + 6 + 11 = 30
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 56814Klasse 6?817gesamt151631
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 17.
    2. 17 − 8 = 9
    3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 6 = 15
    Ergebnis:
    9
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen15??Jungen639gesamt?14?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Tier: 14 − 3 = 11
    2. Zeile Mädchen: 15 + 11 = 26
    3. Insgesamt: 26 + 9 = 35
    Ergebnis:
    35

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer12236176
Schritt für Schritt
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 176 : 500 = 0,352
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 176 : 500 = 0,352
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
Ergebnis:
Nein, eher 0,352

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51431155
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 155 : 500 = 0,31
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,31.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,31
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer1922105
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 105 : 500 = 0,21
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,21.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,21
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer41336197
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 197 : 1000 = 0,197
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,2.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,197

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
Ergebnis:
6 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 291, 280, 383, 291, 350. Gruppe Falken: 347, 260, 360, 248, 390. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 291 + 280 + 383 + 291 + 350 = 1595, 1595 : 5 = 319
    2. Gruppe Falken: 347 + 260 + 360 + 248 + 390 = 1605, 1605 : 5 = 321
    3. 321 − 319 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 2 cm
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 330, 260, 285, 382, 338. Team Süd: 331, 304, 321, 331, 308. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 382 − 260 = 122
    2. Team Süd: 331 − 304 = 27
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 27 gegen 122)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 3, 6, 7, 55. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 4, 6, 7, 55
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 16, 7, 12, 9. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher681012141618?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
    2. Summe der bekannten: 16 + 7 + 12 + 9 = 44
    3. 50 − 44 = 6
    Ergebnis:
    6 Treffer
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord4 von 20Team Süd10 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 420 = 0,2
    2. Team Süd: 1025 = 0,4
    3. 0,4 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,4)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 100 Kinder. 16 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 16100
    2. Gekürzt: 16100 = 425
    3. Als Dezimalzahl: 16 : 100 = 0,16
    Ergebnis:
    425 = 0,16

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 46, 10, 52, 47, 20. Gruppe Falken: 33, 42, 19, 17, 24. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 46 gegen 24)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 231, 17, 16, 23, 28. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 63 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 303 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 323, 258, 365. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    266 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 36-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord16 von 20Team Süd36 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 39 Kinder mit, davon sind 21 Mädchen. 13 Mädchen und 8 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31437170
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,34

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Anna und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (Median 26 gegen 25)
  2. Team Süd (Median 19 gegen 15)
  3. Gruppe Falken (20 Punkte gegen 17 Punkte)
  4. Nein, der Median 5 passt besser
  5. Median (7 statt 12)
  6. Median (6,5 statt 11)
  7. 38 min
  8. 12 Treffer
  9. 367 cm
  10. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  11. Klasse 6a (0,8)
  12. Team Nord (0,7)
  13. 11
  14. 9
  15. 35
  16. Nein, eher 0,31
  17. Nein, eher 0,21
  18. Nein, eher 0,197
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 536
  21. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  22. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  25. Gruppe Falken, um 2 cm
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 27 gegen 122)
  27. Nein, der Median 6 passt besser
  28. 6 Treffer
  29. Team Süd (0,4)
  30. 425 = 0,16
  31. Gruppe Adler (Median 46 gegen 24)
  32. Nein, der Median 23 passt besser
  33. 266 cm
  34. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  35. 10
  36. Nein, eher 0,34
  37. fair (3 zu 3)
  38. x̄ = 10
  39. Median 11; Spannweite 10