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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 1, 14, 7, 12, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,4
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 12, 5, 16, 20, 5. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 5, 12, 16, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 20 − 5 = 15
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 326, 378, 255, 343, 243. Gruppe Falken: 283, 322, 352, 340, 388. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 326 + 378 + 255 + 343 + 243 = 1545, 1545 : 5 = 309
  2. Gruppe Falken: 283 + 322 + 352 + 340 + 388 = 1685, 1685 : 5 = 337
  3. 337 ist mehr als 309.
  1. Gruppe Adler: 326 + 378 + 255 + 343 + 243 = 1545, 1545 : 5 = 309
  2. Gruppe Falken: 283 + 322 + 352 + 340 + 388 = 1685, 1685 : 5 = 337
  3. 337 ist mehr als 309.
Ergebnis:
Gruppe Falken (337 cm gegen 309 cm)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 290, 350, 247, 324, 284. Team Süd: 333, 252, 302, 308, 360. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360
    So fängst du an:
    Team Nord: 290 + 350 + 247 + 324 + 284 = 1495, 1495 : 5 = 299
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 290 + 350 + 247 + 324 + 284 = 1495, 1495 : 5 = 299
    2. Team Süd: 333 + 252 + 302 + 308 + 360 = 1555, 1555 : 5 = 311
    3. 311 ist mehr als 299.
    Ergebnis:
    Team Süd (311 cm gegen 299 cm)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 9, 13, 12, 9, 12. Team Süd: 10, 17, 17, 5, 16. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 9 + 13 + 12 + 9 + 12 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Team Süd: 10 + 17 + 17 + 5 + 16 = 65, 65 : 5 = 13
    3. 13 − 11 = 2
    Ergebnis:
    Team Süd, um 2 Treffer
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 14, 8, 14, 16, 4, 10. Jungen: 12, 11, 15, 10. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen46810121416
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 14 + 8 + 14 + 16 + 4 + 10 = 66, 66 : 6 = 11
    2. Jungen: 12 + 11 + 15 + 10 = 48, 48 : 4 = 12
    3. 12 − 11 = 1
    Ergebnis:
    Jungen, um 1 Treffer

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 31, 35, 287, 42, 60. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 91 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 31, 35, 42, 60, 287
  2. Median: 42
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 287.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 31, 35, 42, 60, 287
  2. Median: 42
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 287.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 42 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 36, 6, 4, 8, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    So fängst du an:
    36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 36 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 31, 44, 37, 300, 48. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 460 : 5 = 92
    2. Geordnet: 31, 37, 44, 48, 300, Median 44
    3. Der Wert 300 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (44 statt 92)
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 22, 25, 225, 16, 15. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 55 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 15, 16, 22, 25, 27, 225
    2. Median: 23,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 225.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 18 Punkte. Bekannt sind 11, 20, 22, 19. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
  2. Summe der bekannten: 11 + 20 + 22 + 19 = 72
  3. 90 − 72 = 18
  1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
  2. Summe der bekannten: 11 + 20 + 22 + 19 = 72
  3. 90 − 72 = 18
Ergebnis:
18 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 33 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 35, 50, 24. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2025303540455055?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 33 = 132
    2. Summe der bekannten: 35 + 50 + 24 = 109
    3. 132 − 109 = 23
    Ergebnis:
    23 min
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 9, 17, 21. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 9 + 17 + 21 = 47
    3. 76 − 47 = 29
    Ergebnis:
    29 Punkte
  3. ★9
    Lukas hat in 5 Spielen im Mittel 7 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 8 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 7 = 35
    2. Summe nachher: 6 · 8 = 48
    3. 48 − 35 = 13
    Ergebnis:
    13 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 21 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A21 von 50B8 von 20
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 2150 = 0,42
  2. Schule am See: 820 = 0,4
  3. 0,42 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 2150 = 0,42
  2. Schule am See: 820 = 0,4
  3. 0,42 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,42)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 23-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord4 von 20Team Süd23 von 50
    So fängst du an:
    Team Nord: 420 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 420 = 0,2
    2. Team Süd: 2350 = 0,46
    3. 0,46 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,46)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 20 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 28 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A20 von 25B28 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2025 = 0,8
    2. Schule am See: 2840 = 0,7
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 31-mal bei 40 Schüssen. Team West trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1020 = 0,5
    2. Team Süd: 3140 = 0,775
    3. Team West: 625 = 0,24
    4. 0,775 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,775)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen7??Jungen8513gesamt?14?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 14 − 5 = 9
  2. Zeile Mädchen: 7 + 9 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 13 = 29
  1. Spalte kein Frühstück: 14 − 5 = 9
  2. Zeile Mädchen: 7 + 9 = 16
  3. Insgesamt: 16 + 13 = 29
Ergebnis:
29

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?516Jungen14418gesamt25934
    So fängst du an:
    Zeile Mädchen: zusammen 16.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 16.
    2. 16 − 5 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 14 = 25
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 23 Kinder mit, davon sind 7 Kinder aus Klasse 5. 4 Kinder aus Klasse 5 und 4 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 23 − 7 = 16
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 16 − 4 = 12
    3. Kontrolle: 4 + 3 + 4 + 12 = 23
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a10515Klasse 6b13?19gesamt231134
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 19.
    2. 19 − 13 = 6
    3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 5 = 11
    Ergebnis:
    6

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer3718105
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 18 : 100 = 0,18
  3. 105 : 500 = 0,21
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 18 : 100 = 0,18
  3. 105 : 500 = 0,21
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,21

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer22349221
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 221 : 500 = 0,442
    Ergebnis:
    0,442
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31120106
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 106 : 500 = 0,212
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,21.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,212
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer3632174
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 6 : 50 = 0,12
    Ergebnis:
    0,12

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 37, 24, 18, 35, 11. Jungen: 37, 28, 25, 28, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 37 + 24 + 18 + 35 + 11 = 125, 125 : 5 = 25
    2. Jungen: 37 + 28 + 25 + 28 + 17 = 135, 135 : 5 = 27
    3. 27 − 25 = 2
    Ergebnis:
    Jungen, um 2 Hundert Schritte
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 260, 327, 309, 325, 384. Gruppe Falken: 306, 336, 326, 330, 307. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 1605 : 5 = 321
    2. Gruppe Adler: 384 − 260 = 124
    3. Gruppe Falken: 336 − 306 = 30
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 30 gegen 124)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 9, 2, 6, 45, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 2, 3, 6, 9, 45, Median 6
    3. Der Wert 45 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 13)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 322 cm. Bekannt sind 335, 366, 307, 342. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 322 = 1610
    2. Summe der bekannten: 335 + 366 + 307 + 342 = 1350
    3. 1610 − 1350 = 260
    Ergebnis:
    260 cm
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 15 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 18 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A15 von 20B18 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1520 = 0,75
    2. Schule am See: 1840 = 0,45
    3. 0,75 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,75)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 50-mal geworfen. 13-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer13 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1350
    2. 1350 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 13 : 50 = 0,26
    Ergebnis:
    1350 = 0,26

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 366, 288, 385, 272, 249. Team Süd: 282, 257, 306, 335, 340. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (312 cm gegen 304 cm)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 8, 8, 3, 32. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 32, Mittelwert 12 statt 7

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 312 cm. Bekannt sind 324, 381, 256, 246. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    353 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 24 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A24 von 50B6 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 12 Mädchen und 13 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51433177
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,354

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd (311 cm gegen 299 cm)
  2. Team Süd, um 2 Treffer
  3. Jungen, um 1 Treffer
  4. Ausreißer 36, Mittelwert 12 statt 6
  5. Median (44 statt 92)
  6. Nein, der Median 23,5 passt besser
  7. 23 min
  8. 29 Punkte
  9. 13 Punkte
  10. Team Süd (0,46)
  11. Schule am Park (0,8)
  12. Team Süd (0,775)
  13. 11
  14. 12
  15. 6
  16. 0,442
  17. Nein, eher 0,212
  18. 0,12
  19. 5 Ergebnisse
  20. 536
  21. 5 Ergebnisse
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. fair (15 zu 15)
  24. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  25. Jungen, um 2 Hundert Schritte
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 30 gegen 124)
  27. Median (6 statt 13)
  28. 260 cm
  29. Schule am Park (0,75)
  30. 1350 = 0,26
  31. Team Nord (312 cm gegen 304 cm)
  32. Ausreißer 32, Mittelwert 12 statt 7
  33. 353 cm
  34. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  35. 8
  36. Nein, eher 0,354
  37. 112
  38. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  39. x̄ = 9,4
  40. Median 12; Spannweite 15