Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 3, 10, 2, 5, 14. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,8
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 4, 4, 18, 8. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 4, 8, 18, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 19 − 4 = 15
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 13, 18, 25, 18, 16. Team Süd: 27, 12, 19, 15, 27. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Team NordTeam Süd121416182022242628
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 13, 16, 18, 18, 25, Median 18
  2. Team Süd geordnet: 12, 15, 19, 27, 27, Median 19
  3. 19 ist mehr als 18.
  1. Team Nord geordnet: 13, 16, 18, 18, 25, Median 18
  2. Team Süd geordnet: 12, 15, 19, 27, 27, Median 19
  3. 19 ist mehr als 18.
Ergebnis:
Team Süd (Median 19 gegen 18)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 49, 32, 53, 36, 15. Gruppe Falken: 27, 34, 34, 12, 58. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    So fängst du an:
    Gruppe Adler geordnet: 15, 32, 36, 49, 53, Median 36
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 15, 32, 36, 49, 53, Median 36
    2. Gruppe Falken geordnet: 12, 27, 34, 34, 58, Median 34
    3. 36 ist mehr als 34.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 36 gegen 34)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 30, 19, 25, 22, 9. Gruppe Falken: 21, 13, 28, 27, 21. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 9, 19, 22, 25, 30, Median 22
    2. Gruppe Falken geordnet: 13, 21, 21, 27, 28, Median 21
    3. 22 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 22 gegen 21)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 16, 11, 5, 11, 4, 13. Team Süd: 9, 11, 15, 14, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd46810121416
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 4, 5, 11, 11, 13, 16, Median 11
    2. Team Süd geordnet: 9, 11, 14, 15, 16, Median 14
    3. 14 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 14 gegen 11)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 46, 4, 7, 6, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte01020304050
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 4, 6, 7, 7, 46
  2. Median: 7
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 4, 6, 7, 7, 46
  2. Median: 7
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 7 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 51, 7, 8, 4, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    51 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 51 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 51, Mittelwert 15 statt 6
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 8, 36, 3, 9. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 4, 8, 9, 36
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 36.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 22, 242, 27, 20, 19, 12. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 342 : 6 = 57
    2. Geordnet: 12, 19, 20, 22, 27, 242, Median 21
    3. Der Wert 242 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (21 statt 57)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 8 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 8, 7. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
bisher78910111213?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
  2. Summe der bekannten: 12 + 8 + 7 = 27
  3. 32 − 27 = 5
  1. Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
  2. Summe der bekannten: 12 + 8 + 7 = 27
  3. 32 − 27 = 5
Ergebnis:
5 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 15, 12, 30, 24. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    2. Summe der bekannten: 15 + 12 + 30 + 24 = 81
    3. 95 − 81 = 14
    Ergebnis:
    14 Punkte
  2. ●8
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 13 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 8, 17, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher8101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    2. Summe der bekannten: 8 + 17 + 11 = 36
    3. 52 − 36 = 16
    Ergebnis:
    16 Treffer
  3. ★9
    Mila hat die Ergebnisse von 6 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 21 Punkte. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 22, 13, 27, 12, 27. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher12141618202224262830?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 21 = 126
    2. Summe der bekannten: 22 + 13 + 27 + 12 + 27 = 101
    3. 126 − 101 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord18 von 25Team Süd7 von 10
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1825 = 0,72
  2. Team Süd: 710 = 0,7
  3. 0,72 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 1825 = 0,72
  2. Team Süd: 710 = 0,7
  3. 0,72 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Nord (0,72)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 24-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord24 von 40Team Süd8 von 20
    So fängst du an:
    Team Nord: 2440 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2440 = 0,6
    2. Team Süd: 820 = 0,4
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,6)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 24 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B24 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 810 = 0,8
    2. Fußball-AG: 2440 = 0,6
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,8)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 28 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6c kommen 5 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2840 = 0,7
    2. Klasse 6b: 610 = 0,6
    3. Klasse 6c: 525 = 0,2
    4. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,7)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 23 Kinder der Klasse 6a. 10 Kinder der Klasse 6a und 8 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 36 − 23 = 13
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 13 − 8 = 5
  3. Kontrolle: 10 + 13 + 8 + 5 = 36
  1. Kinder der Klasse 6b: 36 − 23 = 13
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 13 − 8 = 5
  3. Kontrolle: 10 + 13 + 8 + 5 = 36
Ergebnis:
5

AchtungZwischenergebnis statt der gefragten Größe

So nicht
Zinsen 52,50 €, Guthaben? → 52,50 €
So richtig
Zinsen 52,50 €, Guthaben → 1.500 € + 52,50 € = 1.552,50 €

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter, bis genau das dasteht.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 46 Kinder mit, davon sind 26 Mädchen. 12 Mädchen und 13 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 46 − 26 = 20
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 46 − 26 = 20
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 20 − 13 = 7
    3. Kontrolle: 12 + 14 + 13 + 7 = 46
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 34 Kinder mit, davon sind 22 Mädchen. 9 Mädchen und 6 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 34 − 22 = 12
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 12 − 6 = 6
    3. Kontrolle: 9 + 13 + 6 + 6 = 34
    Ergebnis:
    6
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 45 Kinder mit, davon sind 23 Mädchen. 11 Mädchen und 11 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 45 − 23 = 22
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 22 − 11 = 11
    3. Kontrolle: 11 + 12 + 11 + 11 = 45
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer61737199
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 50 = 0,34
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 50 = 0,34
Ergebnis:
0,34

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer41125124
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 124 : 500 = 0,248
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,25.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,248
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51837198
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 198 : 500 = 0,396
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,396
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer11234190
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 190 : 1000 = 0,19
    Ergebnis:
    0,19

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 15, 14, 29, 27, 20. Gruppe Falken: 30, 30, 16, 11, 8. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 15 + 14 + 29 + 27 + 20 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Gruppe Falken: 30 + 30 + 16 + 11 + 8 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 21 − 19 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 2 Punkte
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 21, 20, 20, 21, 23. Gruppe Falken: 25, 19, 24, 11, 26. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 23 − 20 = 3
    2. Gruppe Falken: 26 − 11 = 15
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 3 gegen 15)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 34, 45, 41, 334, 56. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 510 : 5 = 102
    2. Geordnet: 34, 41, 45, 56, 334, Median 45
    3. Der Wert 334 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (45 statt 102)
  4. ●28
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 26, 21, 15. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 18 = 72
    2. Summe der bekannten: 26 + 21 + 15 = 62
    3. 72 − 62 = 10
    Ergebnis:
    10 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 21-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord21 von 40Team Süd16 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2140 = 0,525
    2. Team Süd: 1625 = 0,64
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 50-mal geworfen. 14-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer14 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1450
    2. Gekürzt: 1450 = 725
    3. Als Dezimalzahl: 14 : 50 = 0,28
    Ergebnis:
    725 = 0,28

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 37, 17, 35, 34, 17. Jungen: 12, 40, 12, 22, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen, um 9 Hundert Schritte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 25, 21, 18, 190, 16. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 54 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 21 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 20 Punkte. Bekannt sind 16, 14, 25, 30. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 6 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 15 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A6 von 20B15 von 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am See (0,375)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen13??Jungen9716gesamt?14?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer52138201
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,402

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (Median 36 gegen 34)
  2. Gruppe Adler (Median 22 gegen 21)
  3. Team Süd (Median 14 gegen 11)
  4. Ausreißer 51, Mittelwert 15 statt 6
  5. Nein, der Median 8 passt besser
  6. Median (21 statt 57)
  7. 14 Punkte
  8. 16 Treffer
  9. 25 Punkte
  10. Team Nord (0,6)
  11. Theater-AG (0,8)
  12. Klasse 6a (0,7)
  13. 7
  14. 6
  15. 11
  16. Nein, eher 0,248
  17. Nein, eher 0,396
  18. 0,19
  19. 4 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  22. nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)
  23. fair (18 zu 18)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  25. Gruppe Adler, um 2 Punkte
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 3 gegen 15)
  27. Median (45 statt 102)
  28. 10 Punkte
  29. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  30. 725 = 0,28
  31. Mädchen, um 9 Hundert Schritte
  32. Nein, der Median 21 passt besser
  33. 15 Punkte
  34. Schule am See (0,375)
  35. 36
  36. Nein, eher 0,402
  37. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  38. x̄ = 6,8
  39. Median 8; Spannweite 15