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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●34
    Punkte im Test: 11, 13, 7, 4, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9
  2. ●35
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 4, 6, 17, 17, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 6, 6, 17, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 6
    3. Spannweite = 17 − 4 = 13
    Ergebnis:
    Median 6; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 17, 4, 9, 4, 11. Jungen: 11, 12, 9, 13, 5. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
MädchenJungen4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 17 + 4 + 9 + 4 + 11 = 45, 45 : 5 = 9
  2. Jungen: 11 + 12 + 9 + 13 + 5 = 50, 50 : 5 = 10
  3. 10 ist mehr als 9.
  1. Mädchen: 17 + 4 + 9 + 4 + 11 = 45, 45 : 5 = 9
  2. Jungen: 11 + 12 + 9 + 13 + 5 = 50, 50 : 5 = 10
  3. 10 ist mehr als 9.
Ergebnis:
Jungen (10 Treffer gegen 9 Treffer)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 22, 28, 25, 22, 13. Team Süd: 25, 16, 8, 25, 21. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd51015202530
    So fängst du an:
    Team Nord: 22 + 28 + 25 + 22 + 13 = 110, 110 : 5 = 22
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 22 + 28 + 25 + 22 + 13 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Team Süd: 25 + 16 + 8 + 25 + 21 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 22 − 19 = 3
    Ergebnis:
    Team Nord, um 3 Punkte
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 17, 23, 9, 30, 11. Jungen: 7, 28, 34, 21, 20. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 17 + 23 + 9 + 30 + 11 = 90, 90 : 5 = 18
    2. Jungen: 7 + 28 + 34 + 21 + 20 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Jungen (22 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 16, 14, 13, 13, 5, 5. Jungen: 7, 15, 15, 16, 12. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen46810121416
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 5, 5, 13, 13, 14, 16, Median 13
    2. Jungen geordnet: 7, 12, 15, 15, 16, Median 15
    3. 15 ist mehr als 13.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 15 gegen 13)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 5, 9, 52, 6, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. 52 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
  3. Ohne ihn: 28 : 4 = 7
  1. 52 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
  3. Ohne ihn: 28 : 4 = 7
Ergebnis:
Ausreißer 52, Mittelwert 16 statt 7

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 17, 26, 156, 15, 26. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160
    So fängst du an:
    156 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 156 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 240 : 5 = 48
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 156, Mittelwert 48 statt 21
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 21, 23, 19, 177, 25. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. 177 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 265 : 5 = 53
    3. Ohne ihn: 88 : 4 = 22
    Ergebnis:
    Ausreißer 177, Mittelwert 53 statt 22
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 27, 43, 45, 27, 43, 265. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 75 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 27, 27, 43, 43, 45, 265
    2. Median: 43
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 265.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 43 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 10 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 10, 12, 10, 4. Was braucht Mila beim letzten Mal?
bisher45678910111213?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
  2. Summe der bekannten: 10 + 12 + 10 + 4 = 36
  3. 50 − 36 = 14
  1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
  2. Summe der bekannten: 10 + 12 + 10 + 4 = 36
  3. 50 − 36 = 14
Ergebnis:
14 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 27, 10, 10. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 27 + 10 + 10 = 47
    3. 76 − 47 = 29
    Ergebnis:
    29 Punkte
  2. ●8
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 25, 10, 14. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher10121416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 16 = 64
    2. Summe der bekannten: 25 + 10 + 14 = 49
    3. 64 − 49 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte
  3. ★9
    Tim hat die Ergebnisse von 6 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 303 cm. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 260, 280, 296, 390, 333. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 303 = 1818
    2. Summe der bekannten: 260 + 280 + 296 + 390 + 333 = 1559
    3. 1818 − 1559 = 259
    Ergebnis:
    259 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 20 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A20 von 25B5 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 2025 = 0,8
  2. Schule am See: 510 = 0,5
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 2025 = 0,8
  2. Schule am See: 510 = 0,5
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 19 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A19 von 40B7 von 10
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 1940 = 0,475
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1940 = 0,475
    2. Klasse 6b: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 14 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 11 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A14 von 50B11 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1450 = 0,28
    2. Fußball-AG: 1120 = 0,55
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 11-mal bei 20 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord12 von 40Team Süd11 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1240 = 0,3
    2. Team Süd: 1120 = 0,55
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen15??Jungen81321gesamt?25?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 25 − 13 = 12
  2. Zeile Mädchen: 15 + 12 = 27
  3. Insgesamt: 27 + 21 = 48
  1. Spalte kein Frühstück: 25 − 13 = 12
  2. Zeile Mädchen: 15 + 12 = 27
  3. Insgesamt: 27 + 21 = 48
Ergebnis:
48

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a15924Klasse 6b8?13gesamt231437
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6b: zusammen 13.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 13.
    2. 13 − 8 = 5
    3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 9 = 14
    Ergebnis:
    5
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 27 Mädchen. 13 Mädchen und 10 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 41 − 27 = 14
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 14 − 10 = 4
    3. Kontrolle: 13 + 14 + 10 + 4 = 41
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 24 Mädchen. 14 Mädchen und 7 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 41 − 24 = 17
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 17 − 7 = 10
    3. Kontrolle: 14 + 10 + 7 + 10 = 41
    Ergebnis:
    10

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer41226124
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 124 : 500 = 0,248
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,25.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 124 : 500 = 0,248
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,25.
Ergebnis:
Nein, eher 0,248

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51031152
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 152 : 500 = 0,304
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,304
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer22641224
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 224 : 500 = 0,448
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,45.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,448
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer11129177
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 177 : 1000 = 0,177
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,18.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,177

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 7, 5, 17, 3, 8. Jungen: 14, 11, 3, 15, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 7 + 5 + 17 + 3 + 8 = 40, 40 : 5 = 8
    2. Jungen: 14 + 11 + 3 + 15 + 12 = 55, 55 : 5 = 11
    3. 11 ist mehr als 8.
    Ergebnis:
    Jungen (11 Treffer gegen 8 Treffer)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 23, 18, 18, 20, 21. Gruppe Falken: 19, 7, 31, 20, 23. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Adler: 23 − 18 = 5
    3. Gruppe Falken: 31 − 7 = 24
    4. Die Werte von Gruppe Adler liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 5 gegen 24)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 23, 46, 39, 362, 60. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. 362 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 530 : 5 = 106
    3. Ohne ihn: 168 : 4 = 42
    Ergebnis:
    Ausreißer 362, Mittelwert 106 statt 42
  4. ●28
    Tim möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 36 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 42, 47, 44. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher42434445464748?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 36 = 144
    2. Summe der bekannten: 42 + 47 + 44 = 133
    3. 144 − 133 = 11
    Ergebnis:
    11 min
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord9 von 20Team Süd13 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 920 = 0,45
    2. Team Süd: 1340 = 0,325
    3. 0,45 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,45)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 50-mal auf den Korb und trifft 36-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer36 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 3650
    2. Gekürzt: 3650 = 1825
    3. Als Dezimalzahl: 36 : 50 = 0,72
    Ergebnis:
    1825 = 0,72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 287, 351, 368, 329, 290. Team Süd: 284, 291, 375, 251, 384. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord, um 8 cm

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 59, 356, 45, 22, 38. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 356, Mittelwert 104 statt 41

  3. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    33
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord, um 3 Punkte
  2. Jungen (22 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)
  3. Jungen (Median 15 gegen 13)
  4. Ausreißer 156, Mittelwert 48 statt 21
  5. Ausreißer 177, Mittelwert 53 statt 22
  6. Nein, der Median 43 passt besser
  7. 29 Punkte
  8. 15 Punkte
  9. 259 cm
  10. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  12. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  13. 5
  14. 4
  15. 10
  16. Nein, eher 0,304
  17. Nein, eher 0,448
  18. Nein, eher 0,177
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 4 Ergebnisse
  21. 2 Ergebnisse
  22. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  25. Jungen (11 Treffer gegen 8 Treffer)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 5 gegen 24)
  27. Ausreißer 362, Mittelwert 106 statt 42
  28. 11 min
  29. Team Nord (0,45)
  30. 1825 = 0,72
  31. Team Nord, um 8 cm
  32. Ausreißer 356, Mittelwert 104 statt 41
  33. 2 Punkte
  34. x̄ = 9
  35. Median 6; Spannweite 13