Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 1, 15, 12, 5, 5. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 2, 7, 13, 3, 4. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 3, 4, 7, 13
    2. Median = mittlerer Wert = 4
    3. Spannweite = 13 − 2 = 11
    Ergebnis:
    Median 4; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 30, 25, 14, 21, 10. Jungen: 40, 7, 37, 28, 13. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
MädchenJungen510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 30 + 25 + 14 + 21 + 10 = 100, 100 : 5 = 20
  2. Jungen: 40 + 7 + 37 + 28 + 13 = 125, 125 : 5 = 25
  3. 25 ist mehr als 20.
  1. Mädchen: 30 + 25 + 14 + 21 + 10 = 100, 100 : 5 = 20
  2. Jungen: 40 + 7 + 37 + 28 + 13 = 125, 125 : 5 = 25
  3. 25 ist mehr als 20.
Ergebnis:
Jungen (25 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 22, 12, 24, 25, 22. Gruppe Falken: 13, 16, 25, 10, 21. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    So fängst du an:
    Gruppe Adler geordnet: 12, 22, 22, 24, 25, Median 22
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 12, 22, 22, 24, 25, Median 22
    2. Gruppe Falken geordnet: 10, 13, 16, 21, 25, Median 16
    3. 22 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 22 gegen 16)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 55, 25, 54, 44, 27. Gruppe Falken: 50, 11, 29, 22, 38. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 55 + 25 + 54 + 44 + 27 = 205, 205 : 5 = 41
    2. Gruppe Falken: 50 + 11 + 29 + 22 + 38 = 150, 150 : 5 = 30
    3. 41 − 30 = 11
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 11 min
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 34, 21, 36, 28, 18, 31. Jungen: 38, 31, 31, 40. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 34 + 21 + 36 + 28 + 18 + 31 = 168, 168 : 6 = 28
    2. Jungen: 38 + 31 + 31 + 40 = 140, 140 : 4 = 35
    3. 35 − 28 = 7
    Ergebnis:
    Jungen, um 7 min

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 337, 33, 42, 33, 40. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250300350
Schritt für Schritt
  1. 337 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 485 : 5 = 97
  3. Ohne ihn: 148 : 4 = 37
  1. 337 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 485 : 5 = 97
  3. Ohne ihn: 148 : 4 = 37
Ergebnis:
Ausreißer 337, Mittelwert 97 statt 37

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 6, 45, 6, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    45 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 45 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 9, 9, 52, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
    2. Geordnet: 4, 6, 9, 9, 52, Median 9
    3. Der Wert 52 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (9 statt 16)
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 55, 4, 6, 9, 8, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 6, 8, 8, 9, 55
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 29 min. Bekannt sind 58, 13, 11, 42. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
  2. Summe der bekannten: 58 + 13 + 11 + 42 = 124
  3. 145 − 124 = 21
  1. Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
  2. Summe der bekannten: 58 + 13 + 11 + 42 = 124
  3. 145 − 124 = 21
Ergebnis:
21 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 34 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 35, 36, 55. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher354045505560?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 34 = 136
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 34 = 136
    2. Summe der bekannten: 35 + 36 + 55 = 126
    3. 136 − 126 = 10
    Ergebnis:
    10 min
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 9, 17, 11, 23. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 17 = 85
    2. Summe der bekannten: 9 + 17 + 11 + 23 = 60
    3. 85 − 60 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte
  3. ★9
    Aylin hat in 5 Spielen im Mittel 13 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 16 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 13 = 65
    2. Summe nachher: 6 · 16 = 96
    3. 96 − 65 = 31
    Ergebnis:
    31 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 17 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A17 von 40B7 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 1740 = 0,425
  2. Schule am See: 710 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
  1. Schule am Park: 1740 = 0,425
  2. Schule am See: 710 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 3 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 35 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A3 von 10B35 von 50
    So fängst du an:
    Schule am Park: 310 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 310 = 0,3
    2. Schule am See: 3550 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,7)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord4 von 10Team Süd6 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 410 = 0,4
    2. Team Süd: 625 = 0,24
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 32 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 26 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A32 von 40B26 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 3240 = 0,8
    2. Fußball-AG: 2650 = 0,52
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,8)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
RadBusgesamtKlasse 6a15??Klasse 6b61218gesamt?22?
Schritt für Schritt
  1. Spalte Bus: 22 − 12 = 10
  2. Zeile Klasse 6a: 15 + 10 = 25
  3. Insgesamt: 25 + 18 = 43
  1. Spalte Bus: 22 − 12 = 10
  2. Zeile Klasse 6a: 15 + 10 = 25
  3. Insgesamt: 25 + 18 = 43
Ergebnis:
43

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht
52 − 27 = 35
So richtig
52 − 27: 12 − 7 = 5, 4 − 2 = 2 → 25

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a15?18Klasse 6b9413gesamt24731
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6a: zusammen 18.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 18.
    2. 18 − 15 = 3
    3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 4 = 7
    Ergebnis:
    3
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 22 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 14 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 41 − 22 = 19
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 19 − 14 = 5
    3. Kontrolle: 9 + 13 + 14 + 5 = 41
    Ergebnis:
    5
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 18 Kinder der Klasse 6a. 8 Kinder der Klasse 6a und 9 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 36 − 18 = 18
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 18 − 9 = 9
    3. Kontrolle: 8 + 10 + 9 + 9 = 36
    Ergebnis:
    9

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer32033172
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 33 : 100 = 0,33
  3. 172 : 500 = 0,344
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 33 : 100 = 0,33
  3. 172 : 500 = 0,344
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,344

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer171795
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 17 : 100 = 0,17
    3. 95 : 500 = 0,19
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,19
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21937205
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 37 : 100 = 0,37
    Ergebnis:
    0,37
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer62074410
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 410 : 1000 = 0,41
    Ergebnis:
    0,41

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 2 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 2 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 2 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
Ergebnis:
nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Mila und Ben werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Ben gewinnt 2-mal so oft.
    4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
    4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 46, 14, 33, 36, 11. Gruppe Falken: 55, 40, 41, 33, 36. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 46 + 14 + 33 + 36 + 11 = 140, 140 : 5 = 28
    2. Gruppe Falken: 55 + 40 + 41 + 33 + 36 = 205, 205 : 5 = 41
    3. 41 ist mehr als 28.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (41 min gegen 28 min)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 20, 19, 19, 16, 16. Gruppe Falken: 22, 17, 13, 20, 18. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken121416182022
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 20 − 16 = 4
    2. Gruppe Falken: 22 − 13 = 9
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 9)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 7, 4, 40, 2. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. 40 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 5 = 12
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 33 min. Bekannt sind 56, 26, 21, 17. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 33 = 165
    2. Summe der bekannten: 56 + 26 + 21 + 17 = 120
    3. 165 − 120 = 45
    Ergebnis:
    45 min
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 22-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord22 von 50Team Süd15 von 25
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2250 = 0,44
    2. Team Süd: 1525 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 100-mal geworfen. 79-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer79 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 79100
    2. 79100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 79 : 100 = 0,79
    Ergebnis:
    79100 = 0,79

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 14, 14, 14, 28, 15. Gruppe Falken: 23, 9, 23, 27, 23. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 23 gegen 14)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 3, 9, 60, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (5 statt 16)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 337 cm. Bekannt sind 312, 355, 330, 361. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    327 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 12 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 5 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 50B5 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen?419Jungen121123gesamt271542
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer31942201
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,402

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (Median 22 gegen 16)
  2. Gruppe Adler, um 11 min
  3. Jungen, um 7 min
  4. Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  5. Median (9 statt 16)
  6. Nein, der Median 8 passt besser
  7. 10 min
  8. 25 Punkte
  9. 31 Punkte
  10. Schule am See (0,7)
  11. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  12. Theater-AG (0,8)
  13. 3
  14. 5
  15. 9
  16. 0,19
  17. 0,37
  18. 0,41
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 536
  21. 3 Ergebnisse
  22. fair (15 zu 15)
  23. 2 Punkte
  24. 2 Punkte
  25. Gruppe Falken (41 min gegen 28 min)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 4 gegen 9)
  27. Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
  28. 45 min
  29. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  30. 79100 = 0,79
  31. Gruppe Falken (Median 23 gegen 14)
  32. Median (5 statt 16)
  33. 327 cm
  34. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  35. 15
  36. 0,402
  37. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  38. 2 Punkte
  39. x̄ = 7,6
  40. Median 4; Spannweite 11