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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 5, 11, 14, 3, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,6
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 18, 20, 19, 14, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 14, 18, 19, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 18
    3. Spannweite = 20 − 6 = 14
    Ergebnis:
    Median 18; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 11, 15, 5, 16, 18. Jungen: 17, 7, 5, 16, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
MädchenJungen4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 11 + 15 + 5 + 16 + 18 = 65, 65 : 5 = 13
  2. Jungen: 17 + 7 + 5 + 16 + 10 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 13 ist mehr als 11.
  1. Mädchen: 11 + 15 + 5 + 16 + 18 = 65, 65 : 5 = 13
  2. Jungen: 17 + 7 + 5 + 16 + 10 = 55, 55 : 5 = 11
  3. 13 ist mehr als 11.
Ergebnis:
Mädchen (13 Treffer gegen 11 Treffer)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 317, 291, 249, 336, 372. Team Süd: 327, 285, 301, 365, 307. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 249, 291, 317, 336, 372, Median 317
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 249, 291, 317, 336, 372, Median 317
    2. Team Süd geordnet: 285, 301, 307, 327, 365, Median 307
    3. 317 ist mehr als 307.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 317 gegen 307)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 5, 12, 9, 10, 14. Jungen: 6, 11, 14, 18, 11. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 5 + 12 + 9 + 10 + 14 = 50, 50 : 5 = 10
    2. Jungen: 6 + 11 + 14 + 18 + 11 = 60, 60 : 5 = 12
    3. 12 − 10 = 2
    Ergebnis:
    Jungen, um 2 Treffer
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 18, 20, 18, 26, 23. Team Süd: 23, 28, 13, 10, 26. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 18, 18, 20, 23, 26, Median 20
    2. Team Süd geordnet: 10, 13, 23, 26, 28, Median 23
    3. 23 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 23 gegen 20)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 23, 38, 38, 356, 45. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 100 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300350400
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 23, 38, 38, 45, 356
  2. Median: 38
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 356.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 23, 38, 38, 45, 356
  2. Median: 38
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 356.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 38 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 11, 11, 30, 28, 215. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Mittelwert: 295 : 5 = 59
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 295 : 5 = 59
    2. Geordnet: 11, 11, 28, 30, 215, Median 28
    3. Der Wert 215 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (28 statt 59)
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 39, 36, 50, 23, 347. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 495 : 5 = 99
    2. Geordnet: 23, 36, 39, 50, 347, Median 39
    3. Der Wert 347 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (39 statt 99)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 4, 5, 41, 4, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 4, 5, 6, 6, 41
    2. Median: 5,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 301 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 386, 321, 241. Welches Ergebnis fehlt?
bisher240260280300320340360380400420?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 301 = 1204
  2. Summe der bekannten: 386 + 321 + 241 = 948
  3. 1204 − 948 = 256
  1. Summe aller Werte: 4 · 301 = 1204
  2. Summe der bekannten: 386 + 321 + 241 = 948
  3. 1204 − 948 = 256
Ergebnis:
256 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 40 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 32, 42, 35, 37. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher32343638404244?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 40 = 200
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 40 = 200
    2. Summe der bekannten: 32 + 42 + 35 + 37 = 146
    3. 200 − 146 = 54
    Ergebnis:
    54 min
  2. ●8
    Aylin möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 20, 17, 16. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher161718192021?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
    2. Summe der bekannten: 20 + 17 + 16 = 53
    3. 80 − 53 = 27
    Ergebnis:
    27 Punkte
  3. ★9
    Mila hat die Ergebnisse von 6 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 326 cm. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 374, 347, 267, 279, 362. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 326 = 1956
    2. Summe der bekannten: 374 + 347 + 267 + 279 + 362 = 1629
    3. 1956 − 1629 = 327
    Ergebnis:
    327 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 11 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 10 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A11 von 25B10 von 40
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 1125 = 0,44
  2. Klasse 6b: 1040 = 0,25
  3. 0,44 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 1125 = 0,44
  2. Klasse 6b: 1040 = 0,25
  3. 0,44 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,44)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 14 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B14 von 40
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 610 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 610 = 0,6
    2. Klasse 6b: 1440 = 0,35
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 9 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 14 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A9 von 20B14 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 920 = 0,45
    2. Klasse 6b: 1440 = 0,35
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 5 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A5 von 20B6 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 520 = 0,25
    2. Schule am See: 625 = 0,24
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Haustierkein TiergesamtMädchen9??Jungen8816gesamt?16?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Tier: 16 − 8 = 8
  2. Zeile Mädchen: 9 + 8 = 17
  3. Insgesamt: 17 + 16 = 33
  1. Spalte kein Tier: 16 − 8 = 8
  2. Zeile Mädchen: 9 + 8 = 17
  3. Insgesamt: 17 + 16 = 33
Ergebnis:
33

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5?919Klasse 6151126gesamt252045
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 5: zusammen 19.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 5: zusammen 19.
    2. 19 − 9 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 15 = 25
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 32 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 13 Mädchen und 12 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 32 − 16 = 16
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 12 = 4
    3. Kontrolle: 13 + 3 + 12 + 4 = 32
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 12 Mädchen und 5 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 37 − 18 = 19
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 19 − 5 = 14
    3. Kontrolle: 12 + 6 + 5 + 14 = 37
    Ergebnis:
    14

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer31531149
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 31 : 100 = 0,31
  3. 149 : 500 = 0,298
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 31 : 100 = 0,31
  3. 149 : 500 = 0,298
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,298

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer191977
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 77 : 500 = 0,154
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,15.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,154
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer52234169
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 169 : 500 = 0,338
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,34.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,338
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer22480394
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 394 : 1000 = 0,394
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,394

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
Ergebnis:
4 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Mila und Ben werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Ben gewinnt 2-mal so oft.
    4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 375, 308, 334, 351, 297. Team Süd: 382, 344, 312, 310, 257. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 375 + 308 + 334 + 351 + 297 = 1665, 1665 : 5 = 333
    2. Team Süd: 382 + 344 + 312 + 310 + 257 = 1605, 1605 : 5 = 321
    3. 333 ist mehr als 321.
    Ergebnis:
    Team Nord (333 cm gegen 321 cm)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 17, 9, 10, 14, 10. Jungen: 11, 10, 14, 11, 14. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen91011121314151617
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 60 : 5 = 12
    2. Mädchen: 17 − 9 = 8
    3. Jungen: 14 − 10 = 4
    4. Die Werte von Jungen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 8)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 4, 2, 7, 45. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 4, 7, 7, 45
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 45.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 309 cm. Bekannt sind 364, 301, 285. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 309 = 1236
    2. Summe der bekannten: 364 + 301 + 285 = 950
    3. 1236 − 950 = 286
    Ergebnis:
    286 cm
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 11 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B11 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 610 = 0,6
    2. Schule am See: 1120 = 0,55
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 20-mal geworfen. 4-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer4 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 420
    2. Gekürzt: 420 = 15
    3. Als Dezimalzahl: 4 : 20 = 0,2
    Ergebnis:
    15 = 0,2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 9, 22, 10, 11, 28. Team Süd: 15, 15, 13, 23, 29. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 15 gegen 11)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 316, 29, 29, 44, 42. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 316, Mittelwert 92 statt 36

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 11, 8, 8, 10. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher89101112?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13 Treffer

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 32 Kinder mit, davon sind 17 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 10 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer291582
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,164

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (Median 317 gegen 307)
  2. Jungen, um 2 Treffer
  3. Team Süd (Median 23 gegen 20)
  4. Median (28 statt 59)
  5. Median (39 statt 99)
  6. Nein, der Median 5,5 passt besser
  7. 54 min
  8. 27 Punkte
  9. 327 cm
  10. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  12. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  13. 10
  14. 4
  15. 14
  16. Nein, eher 0,154
  17. Nein, eher 0,338
  18. Nein, eher 0,394
  19. 19
  20. 118
  21. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  22. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. 2 Punkte
  24. fair (3 zu 3)
  25. Team Nord (333 cm gegen 321 cm)
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 8)
  27. Nein, der Median 7 passt besser
  28. 286 cm
  29. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  30. 15 = 0,2
  31. Team Süd (Median 15 gegen 11)
  32. Ausreißer 316, Mittelwert 92 statt 36
  33. 13 Treffer
  34. 5
  35. 0,164
  36. fair (18 zu 18)
  37. x̄ = 8,6
  38. Median 18; Spannweite 14