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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 7, 15, 8, 9, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,8
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 4, 19, 3, 3, 8. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 3, 4, 8, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 4
    3. Spannweite = 19 − 3 = 16
    Ergebnis:
    Median 4; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 20, 12, 16, 23, 14. Team Süd: 28, 11, 18, 24, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Team NordTeam Süd51015202530
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 20 + 12 + 16 + 23 + 14 = 85, 85 : 5 = 17
  2. Team Süd: 28 + 11 + 18 + 24 + 9 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 18 − 17 = 1
  1. Team Nord: 20 + 12 + 16 + 23 + 14 = 85, 85 : 5 = 17
  2. Team Süd: 28 + 11 + 18 + 24 + 9 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 18 − 17 = 1
Ergebnis:
Team Süd, um 1 Punkte

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 262, 332, 321, 287, 343. Team Süd: 325, 280, 383, 343, 279. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 262, 287, 321, 332, 343, Median 321
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 262, 287, 321, 332, 343, Median 321
    2. Team Süd geordnet: 279, 280, 325, 343, 383, Median 325
    3. 325 ist mehr als 321.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 325 gegen 321)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 35, 12, 25, 11, 17. Gruppe Falken: 15, 33, 26, 24, 27. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101520253035
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 11, 12, 17, 25, 35, Median 17
    2. Gruppe Falken geordnet: 15, 24, 26, 27, 33, Median 26
    3. 26 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 26 gegen 17)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 39, 9, 22, 28, 32. Jungen: 21, 24, 39, 24, 12. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 39 + 9 + 22 + 28 + 32 = 130, 130 : 5 = 26
    2. Jungen: 21 + 24 + 39 + 24 + 12 = 120, 120 : 5 = 24
    3. 26 − 24 = 2
    Ergebnis:
    Mädchen, um 2 Hundert Schritte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 38, 252, 29, 26, 55. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 400 : 5 = 80
  2. Geordnet: 26, 29, 38, 55, 252, Median 38
  3. Der Wert 252 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 400 : 5 = 80
  2. Geordnet: 26, 29, 38, 55, 252, Median 38
  3. Der Wert 252 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (38 statt 80)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 56, 6, 8, 5, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    Mittelwert: 80 : 5 = 16
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
    2. Geordnet: 5, 5, 6, 8, 56, Median 6
    3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 16)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 9, 3, 41, 7. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 2, 7, 42, 6, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 72 : 6 = 12
    2. Geordnet: 2, 6, 7, 7, 8, 42, Median 7
    3. Der Wert 42 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 12)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 14, 23, 25. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
bisher1416182022242628?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
  2. Summe der bekannten: 14 + 23 + 25 = 62
  3. 80 − 62 = 18
  1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
  2. Summe der bekannten: 14 + 23 + 25 = 62
  3. 80 − 62 = 18
Ergebnis:
18 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 304 cm. Bekannt sind 242, 349, 323. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 304 = 1216
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 304 = 1216
    2. Summe der bekannten: 242 + 349 + 323 = 914
    3. 1216 − 914 = 302
    Ergebnis:
    302 cm
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 28 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 25, 17, 50. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher152025303540455055?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 28 = 112
    2. Summe der bekannten: 25 + 17 + 50 = 92
    3. 112 − 92 = 20
    Ergebnis:
    20 min
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Lesetagen im Mittel genau 35 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 40, 52, 30, 43. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher15202530354045505560?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 35 = 210
    2. Summe der bekannten: 16 + 40 + 52 + 30 + 43 = 181
    3. 210 − 181 = 29
    Ergebnis:
    29 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 7 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A7 von 25B6 von 20
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 725 = 0,28
  2. Schule am See: 620 = 0,3
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
  1. Schule am Park: 725 = 0,28
  2. Schule am See: 620 = 0,3
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord7 von 10Team Süd16 von 20
    So fängst du an:
    Team Nord: 710 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 710 = 0,7
    2. Team Süd: 1620 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,8)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 17 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 15 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A17 von 50B15 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1750 = 0,34
    2. Schule am See: 1525 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 14 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 19 von 50 Kindern ein Haustier. In der Chor-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A14 von 20B19 von 50C5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1420 = 0,7
    2. Fußball-AG: 1950 = 0,38
    3. Chor-AG: 510 = 0,5
    4. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,7)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 26 Kinder der Klasse 6a. 14 Kinder der Klasse 6a und 6 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 38 − 26 = 12
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 12 − 6 = 6
  3. Kontrolle: 14 + 12 + 6 + 6 = 38
  1. Kinder der Klasse 6b: 38 − 26 = 12
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 12 − 6 = 6
  3. Kontrolle: 14 + 12 + 6 + 6 = 38
Ergebnis:
6

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a4913Klasse 6b?59gesamt81422
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6b: zusammen 9.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6b: zusammen 9.
    2. 9 − 5 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 27 Kinder mit, davon sind 14 Mädchen. 9 Mädchen und 9 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 27 − 14 = 13
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 13 − 9 = 4
    3. Kontrolle: 9 + 5 + 9 + 4 = 27
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Haustierkein TiergesamtMädchen2810Jungen268gesamt41418
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 210 = 0,2
    2. Jungen: 28 = 0,25
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Jungen (0,25)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer21427130
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 14 : 50 = 0,28
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 14 : 50 = 0,28
Ergebnis:
0,28

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41837198
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 37 : 100 = 0,37
    3. 198 : 500 = 0,396
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,396
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer31227123
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 27 : 100 = 0,27
    3. 123 : 500 = 0,246
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,246
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer11154246
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 246 : 1000 = 0,246
    Ergebnis:
    0,246

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
Ergebnis:
4 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
  1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
  3. 6 ist mehr als 3.
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 3-mal so oft.
    4. Ben braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 36, 13, 35, 22, 34. Gruppe Falken: 17, 40, 12, 9, 32. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 13, 22, 34, 35, 36, Median 34
    2. Gruppe Falken geordnet: 9, 12, 17, 32, 40, Median 17
    3. 34 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 34 gegen 17)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 22, 17, 20, 19, 22. Jungen: 9, 28, 6, 34, 23. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 100 : 5 = 20
    2. Mädchen: 22 − 17 = 5
    3. Jungen: 34 − 6 = 28
    4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 28)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 12, 26, 10, 194, 28. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 270 : 5 = 54
    2. Geordnet: 10, 12, 26, 28, 194, Median 26
    3. Der Wert 194 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (26 statt 54)
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 20 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 28, 20, 14, 25. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher141618202224262830?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
    2. Summe der bekannten: 28 + 20 + 14 + 25 = 87
    3. 100 − 87 = 13
    Ergebnis:
    13 Punkte
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 27 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 6 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A27 von 50B6 von 20
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2750 = 0,54
    2. Klasse 6b: 620 = 0,3
    3. 0,54 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,54)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 50 Kinder. 21 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2150
    2. 2150 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 21 : 50 = 0,42
    Ergebnis:
    2150 = 0,42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 30, 36, 18, 40, 16. Jungen: 17, 9, 13, 29, 27. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 30 gegen 17)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 40, 3, 8, 4, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 18 Punkte. Bekannt sind 27, 22, 11, 15. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 3 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 11 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A3 von 10B11 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,3)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen6??Jungen12618gesamt?14?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer32442196
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,392

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd (Median 325 gegen 321)
  2. Gruppe Falken (Median 26 gegen 17)
  3. Mädchen, um 2 Hundert Schritte
  4. Median (6 statt 16)
  5. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  6. Median (7 statt 12)
  7. 302 cm
  8. 20 min
  9. 29 min
  10. Team Süd (0,8)
  11. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  12. Theater-AG (0,7)
  13. 4
  14. 4
  15. Jungen (0,25)
  16. 0,396
  17. 0,246
  18. 0,246
  19. 536
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. 3 Punkte
  23. 2 Punkte
  24. fair (15 zu 15)
  25. Gruppe Adler (Median 34 gegen 17)
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 28)
  27. Median (26 statt 54)
  28. 13 Punkte
  29. Klasse 6a (0,54)
  30. 2150 = 0,42
  31. Mädchen (Median 30 gegen 17)
  32. Nein, der Median 5 passt besser
  33. 15 Punkte
  34. Theater-AG (0,3)
  35. 32
  36. 0,392
  37. fair (15 zu 15)
  38. x̄ = 9,8
  39. Median 4; Spannweite 16