Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

●38
Punkte im Test: 10, 9, 3, 4, 1. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 5,4
●39
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 5, 9, 17, 2, 13. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 2, 5, 9, 13, 17
2. Median = mittlerer Wert = 9
3. Spannweite = 17 − 2 = 15
Ergebnis:
Median 9; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 305, 332, 299, 304, 350. Team Süd: 336, 326, 289, 376, 258. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?

Schritt für Schritt

Team Nord geordnet: 299, 304, 305, 332, 350, Median 305
Team Süd geordnet: 258, 289, 326, 336, 376, Median 326
326 ist mehr als 305.

Team Nord geordnet: 299, 304, 305, 332, 350, Median 305
Team Süd geordnet: 258, 289, 326, 336, 376, Median 326
326 ist mehr als 305.

Ergebnis:

Team Süd (Median 326 gegen 305)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20

So richtig

12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

○1
Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 10, 20, 53, 30, 47. Jungen: 41, 57, 42, 34, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
So fängst du an:
Mädchen geordnet: 10, 20, 30, 47, 53, Median 30
Lösung zeigen
1. Mädchen geordnet: 10, 20, 30, 47, 53, Median 30
2. Jungen geordnet: 16, 34, 41, 42, 57, Median 41
3. 41 ist mehr als 30.
Ergebnis:
Jungen (Median 41 gegen 30)
●2
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 291, 244, 269, 266, 380. Team Süd: 372, 315, 249, 304, 385. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Lösung zeigen
1. Team Nord geordnet: 244, 266, 269, 291, 380, Median 269
2. Team Süd geordnet: 249, 304, 315, 372, 385, Median 315
3. 315 ist mehr als 269.
Ergebnis:
Team Süd (Median 315 gegen 269)
★3
Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 23, 39, 34, 28, 23, 9. Jungen: 7, 8, 22, 40, 38. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
Lösung zeigen
1. Mädchen geordnet: 9, 23, 23, 28, 34, 39, Median 25,5
2. Jungen geordnet: 7, 8, 22, 38, 40, Median 22
3. 25,5 ist mehr als 22.
Ergebnis:
Mädchen (Median 25,5 gegen 22)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 45, 4, 8, 3, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?

Schritt für Schritt

Mittelwert: 65 : 5 = 13
Geordnet: 3, 4, 5, 8, 45, Median 5
Der Wert 45 zieht den Mittelwert nach oben.

Mittelwert: 65 : 5 = 13
Geordnet: 3, 4, 5, 8, 45, Median 5
Der Wert 45 zieht den Mittelwert nach oben.

Ergebnis:

Median (5 statt 13)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht

5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe

So richtig

5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

○4
Taschengeld in der Woche, in €: 9, 4, 8, 32, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
So fängst du an:
Geordnet: 4, 7, 8, 9, 32
Lösung zeigen
1. Geordnet: 4, 7, 8, 9, 32
2. Median: 8
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 32.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 8 passt besser
●5
Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 29, 21, 15, 240. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 64 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Lösung zeigen
1. Geordnet: 15, 15, 21, 29, 240
2. Median: 21
3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 240.
4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 21 passt besser
★6
Taschengeld in der Woche, in €: 7, 9, 6, 5, 54, 3. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
1. 54 ist viel größer als alle anderen Werte.
2. Mit ihm: 84 : 6 = 14
3. Ohne ihn: 30 : 5 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 54, Mittelwert 14 statt 6

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 41 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 48, 26, 60. Welches Ergebnis fehlt?

Schritt für Schritt

Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
Summe der bekannten: 48 + 26 + 60 = 134
164 − 134 = 30

Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
Summe der bekannten: 48 + 26 + 60 = 134
164 − 134 = 30

Ergebnis:

30 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14

So richtig

Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

○7
Der Mittelwert von 5 Runden Korbwurf ist 13 Treffer. Bekannt sind 17, 18, 6, 10. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
So fängst du an:
Summe aller Werte: 5 · 13 = 65
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 5 · 13 = 65
2. Summe der bekannten: 17 + 18 + 6 + 10 = 51
3. 65 − 51 = 14
Ergebnis:
14 Treffer
●8
Lukas hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 20 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 15, 25, 25. Welches Ergebnis fehlt?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
2. Summe der bekannten: 15 + 25 + 25 = 65
3. 80 − 65 = 15
Ergebnis:
15 Punkte
★9
Mila möchte bei 6 Lesetagen im Mittel genau 34 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 50, 31, 42, 17, 16. Was braucht Mila beim letzten Mal?
Lösung zeigen
1. Summe aller Werte: 6 · 34 = 204
2. Summe der bekannten: 50 + 31 + 42 + 17 + 16 = 156
3. 204 − 156 = 48
Ergebnis:
48 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 25 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Team Nord: 1550 = 0,3
Team Süd: 1225 = 0,48
Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.

Team Nord: 1550 = 0,3
Team Süd: 1225 = 0,48
Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.

Ergebnis:

Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil

So richtig

12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

○10
In der Theater-AG haben 6 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
So fängst du an:
Theater-AG: 620 = 0,3
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 620 = 0,3
2. Fußball-AG: 510 = 0,5
3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
●11
An der Schule am Park sagen 10 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Schule am Park: 1040 = 0,25
2. Schule am See: 810 = 0,8
3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,8)
★12
In der Theater-AG haben 2 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 27 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Lösung zeigen
1. Theater-AG: 210 = 0,2
2. Fußball-AG: 2740 = 0,675
3. 0,675 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Fußball-AG (0,675)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben ein Haustier?

Schritt für Schritt

Zeile Mädchen: zusammen 26.
26 − 14 = 12
Kontrolle mit der Spalte: 12 + 4 = 16

Zeile Mädchen: zusammen 26.
26 − 14 = 12
Kontrolle mit der Spalte: 12 + 4 = 16

Ergebnis:

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht

3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €

So richtig

3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

○13
Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 13 Kinder aus Klasse 5. 5 Kinder aus Klasse 5 und 10 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
So fängst du an:
Kinder aus Klasse 6: 33 − 13 = 20
Lösung zeigen
1. Kinder aus Klasse 6: 33 − 13 = 20
2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 20 − 10 = 10
3. Kontrolle: 5 + 8 + 10 + 10 = 33
Ergebnis:
10
●14
In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Lösung zeigen
1. Spalte AG nein: 27 − 13 = 14
2. Zeile Klasse 5: 10 + 14 = 24
3. Insgesamt: 24 + 28 = 52
Ergebnis:
52
★15
Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 20 Kinder der Klasse 6a. 7 Kinder der Klasse 6a und 7 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Lösung zeigen
1. Kinder der Klasse 6b: 37 − 20 = 17
2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 17 − 7 = 10
3. Kontrolle: 7 + 13 + 7 + 10 = 37
Ergebnis:
10

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?

Schritt für Schritt

2 : 10 = 0,2
173 : 500 = 0,346
10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.

2 : 10 = 0,2
173 : 500 = 0,346
10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.

Ergebnis:

Nein, eher 0,346

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht

3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3

So richtig

3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

○16
Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
So fängst du an:
2 : 10 = 0,2
Lösung zeigen
1. 2 : 10 = 0,2
2. 41 : 100 = 0,41
3. 205 : 500 = 0,41
4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,41
●17
Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Lösung zeigen
1. 2 : 10 = 0,2
2. 86 : 500 = 0,172
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
Ergebnis:
Nein, eher 0,172
★18
Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Lösung zeigen
1. 2 : 10 = 0,2
2. 193 : 1000 = 0,193
3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,19.
Ergebnis:
Nein, eher 0,193

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?

Schritt für Schritt

Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
Günstig: 3 Ergebnisse.
Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.

Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
Günstig: 3 Ergebnisse.
Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.

Ergebnis:

12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht

Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36

So richtig

Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

○19
Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
So fängst du an:
Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
Lösung zeigen
1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
3. 5 von 36, also 536 = 536
Ergebnis:
536
●20
Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
Lösung zeigen
1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
2. Günstig: 2 Ergebnisse.
3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 2 davon günstig
★21
Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
Lösung zeigen
1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
2. Günstig: 1 Ergebnis.
3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.

Schritt für Schritt

Anna: 2 von 6 Ergebnissen
Ben: 4 von 6 Ergebnissen
4 ist mehr als 2.

Anna: 2 von 6 Ergebnissen
Ben: 4 von 6 Ergebnissen
4 ist mehr als 2.

Ergebnis:

nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €

So richtig

10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

○22
Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
So fängst du an:
Mila: 15 von 36 Ergebnissen
Lösung zeigen
1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)
●23
Anna und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Lösung zeigen
1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)
★24
Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Lösung zeigen
1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 263, 366, 247, 374, 365. Team Süd: 385, 243, 241, 324, 267. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Lösung zeigen
1. Team Nord: 263 + 366 + 247 + 374 + 365 = 1615, 1615 : 5 = 323
2. Team Süd: 385 + 243 + 241 + 324 + 267 = 1460, 1460 : 5 = 292
3. 323 − 292 = 31
Ergebnis:
Team Nord, um 31 cm
●26
Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 9, 9, 8, 12, 12. Jungen: 9, 5, 9, 12, 15. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert beider Gruppen: 50 : 5 = 10
2. Mädchen: 12 − 8 = 4
3. Jungen: 15 − 5 = 10
4. Die Werte von Mädchen liegen enger beisammen.
Ergebnis:
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 4 gegen 10)
●27
Taschengeld in der Woche, in €: 8, 3, 60, 4, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Lösung zeigen
1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
2. Geordnet: 3, 4, 5, 8, 60, Median 5
3. Der Wert 60 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (5 statt 16)
●28
Aylin möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 13 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 18, 17, 15, 7. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
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1. Summe aller Werte: 5 · 13 = 65
2. Summe der bekannten: 18 + 17 + 15 + 7 = 57
3. 65 − 57 = 8
Ergebnis:
8 Treffer
●29
An der Schule am Park sagen 33 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 20 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Schule am Park: 3350 = 0,66
2. Schule am See: 2025 = 0,8
3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
●30
Ein Würfel wird 10-mal geworfen. 8-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
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1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 810
2. Gekürzt: 810 = 45
3. Als Dezimalzahl: 8 : 10 = 0,8
Ergebnis:
45 = 0,8

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer: Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert: Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit: Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle: Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil: Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen: Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness: Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.
31
Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 7, 8, 14, 15, 16. Jungen: 12, 8, 4, 13, 13. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mädchen, um 2 Treffer
Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.
32
Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 9, 2, 41, 9. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.
33
Aylin hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 9 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 5, 10, 12, 12. Welches Ergebnis fehlt?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Treffer
Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.
34
In der Theater-AG haben 11 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 20 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.
35
Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 23 Mädchen. 14 Mädchen und 10 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
8
Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.
36
Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0,162
Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.
37
Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Lösung zeigen
Ergebnis:
2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

Jungen (Median 41 gegen 30)
Team Süd (Median 315 gegen 269)
Mädchen (Median 25,5 gegen 22)
Nein, der Median 8 passt besser
Nein, der Median 21 passt besser
Ausreißer 54, Mittelwert 14 statt 6
14 Treffer
15 Punkte
48 min
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
Schule am See (0,8)
Fußball-AG (0,675)
10
52
10
0,41
Nein, eher 0,172
Nein, eher 0,193
536
12 Ergebnisse, 2 davon günstig
12 Ergebnisse, 1 davon günstig
fair (15 zu 15)
fair (3 zu 3)
fair (15 zu 15)
Team Nord, um 31 cm
gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 4 gegen 10)
Median (5 statt 16)
8 Treffer
Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
45 = 0,8
Mädchen, um 2 Treffer
Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
6 Treffer
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
8
0,162
2 Punkte
x̄ = 5,4
Median 9; Spannweite 15