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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 9, 15, 14, 4, 11. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,6
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 2, 16, 13, 11, 13. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 11, 13, 13, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 16 − 2 = 14
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 43, 19, 13, 49, 26. Jungen: 28, 60, 39, 48, 35. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
MädchenJungen102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mädchen geordnet: 13, 19, 26, 43, 49, Median 26
  2. Jungen geordnet: 28, 35, 39, 48, 60, Median 39
  3. 39 ist mehr als 26.
  1. Mädchen geordnet: 13, 19, 26, 43, 49, Median 26
  2. Jungen geordnet: 28, 35, 39, 48, 60, Median 39
  3. 39 ist mehr als 26.
Ergebnis:
Jungen (Median 39 gegen 26)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 5, 11, 6, 6, 17. Jungen: 5, 13, 3, 18, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 5, 6, 6, 11, 17, Median 6
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 5, 6, 6, 11, 17, Median 6
    2. Jungen geordnet: 3, 5, 13, 16, 18, Median 13
    3. 13 ist mehr als 6.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 13 gegen 6)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 38, 15, 28, 25, 29. Jungen: 25, 36, 33, 7, 29. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 38 + 15 + 28 + 25 + 29 = 135, 135 : 5 = 27
    2. Jungen: 25 + 36 + 33 + 7 + 29 = 130, 130 : 5 = 26
    3. 27 − 26 = 1
    Ergebnis:
    Mädchen, um 1 Hundert Schritte
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 19, 15, 8, 18, 25. Team Süd: 15, 14, 10, 23, 28. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 19 + 15 + 8 + 18 + 25 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Team Süd: 15 + 14 + 10 + 23 + 28 = 90, 90 : 5 = 18
    3. 18 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Team Süd (18 Punkte gegen 17 Punkte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 6, 55, 3, 8, 3. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 3, 3, 6, 8, 55
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 3, 3, 6, 8, 55
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 52, 36, 30, 42, 400. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    So fängst du an:
    Mittelwert: 560 : 5 = 112
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 560 : 5 = 112
    2. Geordnet: 30, 36, 42, 52, 400, Median 42
    3. Der Wert 400 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (42 statt 112)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 218, 23, 14, 12, 23. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 290 : 5 = 58
    2. Geordnet: 12, 14, 23, 23, 218, Median 23
    3. Der Wert 218 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (23 statt 58)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 6, 5, 7, 4, 60. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 90 : 6 = 15
    2. Geordnet: 4, 5, 6, 7, 8, 60, Median 6,5
    3. Der Wert 60 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6,5 statt 15)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 302 cm. Bekannt sind 355, 277, 275, 358. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 302 = 1510
  2. Summe der bekannten: 355 + 277 + 275 + 358 = 1265
  3. 1510 − 1265 = 245
  1. Summe aller Werte: 5 · 302 = 1510
  2. Summe der bekannten: 355 + 277 + 275 + 358 = 1265
  3. 1510 − 1265 = 245
Ergebnis:
245 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas möchte bei 5 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 26, 27, 17, 18. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher1618202224262830?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
    2. Summe der bekannten: 26 + 27 + 17 + 18 = 88
    3. 100 − 88 = 12
    Ergebnis:
    12 Punkte
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 331 cm. Bekannt sind 390, 313, 310. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 331 = 1324
    2. Summe der bekannten: 390 + 313 + 310 = 1013
    3. 1324 − 1013 = 311
    Ergebnis:
    311 cm
  3. ★9
    Lukas hat in 4 Spielen im Mittel 7 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 8 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 4 · 7 = 28
    2. Summe nachher: 5 · 8 = 40
    3. 40 − 28 = 12
    Ergebnis:
    12 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord15 von 20Team Süd7 von 10
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1520 = 0,75
  2. Team Süd: 710 = 0,7
  3. 0,75 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 1520 = 0,75
  2. Team Süd: 710 = 0,7
  3. 0,75 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Nord (0,75)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 17 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 13 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A17 von 40B13 von 25
    So fängst du an:
    Schule am Park: 1740 = 0,425
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1740 = 0,425
    2. Schule am See: 1325 = 0,52
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 19-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord19 von 50Team Süd6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1950 = 0,38
    2. Team Süd: 610 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 24 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 31 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A24 von 40B31 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2440 = 0,6
    2. Klasse 6b: 3150 = 0,62
    3. 0,62 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,62)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 19 Kinder mit, davon sind 11 Kinder der Klasse 6a. 7 Kinder der Klasse 6a und 4 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 19 − 11 = 8
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 8 − 4 = 4
  3. Kontrolle: 7 + 4 + 4 + 4 = 19
  1. Kinder der Klasse 6b: 19 − 11 = 8
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 8 − 4 = 4
  3. Kontrolle: 7 + 4 + 4 + 4 = 19
Ergebnis:
4

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 57??Klasse 6121224gesamt?16?
    So fängst du an:
    Spalte AG nein: 16 − 12 = 4
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 16 − 12 = 4
    2. Zeile Klasse 5: 7 + 4 = 11
    3. Insgesamt: 11 + 24 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?721Jungen11415gesamt251136
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 21.
    2. 21 − 7 = 14
    3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 11 = 25
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5121325Klasse 613720gesamt252045
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 1225 = 0,48
    2. Klasse 6: 1320 = 0,65
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6 (0,65)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer31233148
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 12 : 50 = 0,24
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 12 : 50 = 0,24
Ergebnis:
0,24

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer3828130
    So fängst du an:
    3 : 10 = 0,3
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 130 : 500 = 0,26
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,26.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,26
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer61540205
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 40 : 100 = 0,4
    3. 205 : 500 = 0,41
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,41
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer41044209
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 209 : 1000 = 0,209
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,21.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,209

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
Ergebnis:
16

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
    4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 14, 7, 16, 12, 16. Team Süd: 3, 9, 8, 11, 9. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd246810121416
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 7, 12, 14, 16, 16, Median 14
    2. Team Süd geordnet: 3, 8, 9, 9, 11, Median 9
    3. 14 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 14 gegen 9)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 17, 30, 12, 22, 19. Gruppe Falken: 21, 21, 19, 20, 19. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 30 − 12 = 18
    2. Gruppe Falken: 21 − 19 = 2
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 2 gegen 18)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 35, 6, 2, 6, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 6, 6, 6, 35
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 35.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  4. ●28
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 22 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 26, 21, 20. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2021222324252627?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
    2. Summe der bekannten: 26 + 21 + 20 = 67
    3. 88 − 67 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 27-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 10-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord27 von 50Team Süd10 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2750 = 0,54
    2. Team Süd: 1020 = 0,5
    3. 0,54 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,54)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 10-mal geworfen. 5-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer5 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 510
    2. Gekürzt: 510 = 12
    3. Als Dezimalzahl: 5 : 10 = 0,5
    Ergebnis:
    12 = 0,5

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 19, 13, 22, 20, 21. Gruppe Falken: 26, 16, 26, 22, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (20 Punkte gegen 19 Punkte)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 36, 25, 300, 39, 40. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 88 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 39 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 308 cm. Bekannt sind 336, 257, 370, 306. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    271 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 40 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A40 von 50B7 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen12719Jungen14?23gesamt261642
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    9

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer61632181
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,362

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (Median 13 gegen 6)
  2. Mädchen, um 1 Hundert Schritte
  3. Team Süd (18 Punkte gegen 17 Punkte)
  4. Median (42 statt 112)
  5. Median (23 statt 58)
  6. Median (6,5 statt 15)
  7. 12 Punkte
  8. 311 cm
  9. 12 Punkte
  10. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  11. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  12. Klasse 6b (0,62)
  13. 35
  14. 14
  15. Klasse 6 (0,65)
  16. Nein, eher 0,26
  17. 0,41
  18. Nein, eher 0,209
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 112
  21. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  22. fair (15 zu 15)
  23. 2 Punkte
  24. 2 Punkte
  25. Team Nord (Median 14 gegen 9)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 2 gegen 18)
  27. Nein, der Median 6 passt besser
  28. 21 Punkte
  29. Team Nord (0,54)
  30. 12 = 0,5
  31. Gruppe Falken (20 Punkte gegen 19 Punkte)
  32. Nein, der Median 39 passt besser
  33. 271 cm
  34. Schule am Park (0,8)
  35. 9
  36. 0,362
  37. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  38. x̄ = 10,6
  39. Median 13; Spannweite 14