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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 3, 5, 7, 7, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 4, 2, 17, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 4, 11, 16, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 17 − 2 = 15
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 26, 19, 24, 25, 16. Gruppe Falken: 13, 15, 19, 10, 23. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 26 + 19 + 24 + 25 + 16 = 110, 110 : 5 = 22
  2. Gruppe Falken: 13 + 15 + 19 + 10 + 23 = 80, 80 : 5 = 16
  3. 22 ist mehr als 16.
  1. Gruppe Adler: 26 + 19 + 24 + 25 + 16 = 110, 110 : 5 = 22
  2. Gruppe Falken: 13 + 15 + 19 + 10 + 23 = 80, 80 : 5 = 16
  3. 22 ist mehr als 16.
Ergebnis:
Gruppe Adler (22 Punkte gegen 16 Punkte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 343, 358, 350, 270, 329. Team Süd: 387, 348, 273, 252, 280. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Team Nord: 343 + 358 + 350 + 270 + 329 = 1650, 1650 : 5 = 330
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 343 + 358 + 350 + 270 + 329 = 1650, 1650 : 5 = 330
    2. Team Süd: 387 + 348 + 273 + 252 + 280 = 1540, 1540 : 5 = 308
    3. 330 ist mehr als 308.
    Ergebnis:
    Team Nord (330 cm gegen 308 cm)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 291, 303, 290, 316, 375. Team Süd: 249, 314, 345, 378, 279. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 291 + 303 + 290 + 316 + 375 = 1575, 1575 : 5 = 315
    2. Team Süd: 249 + 314 + 345 + 378 + 279 = 1565, 1565 : 5 = 313
    3. 315 ist mehr als 313.
    Ergebnis:
    Team Nord (315 cm gegen 313 cm)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 21, 22, 16, 10, 11. Team Süd: 26, 22, 19, 21. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 10, 11, 16, 21, 22, Median 16
    2. Team Süd geordnet: 19, 21, 22, 26, Median 21,5
    3. 21,5 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 21,5 gegen 16)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 7, 55, 4, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 3, 4, 6, 7, 55
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 3, 4, 6, 7, 55
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 322, 51, 21, 46, 50. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 98 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    So fängst du an:
    Geordnet: 21, 46, 50, 51, 322
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 21, 46, 50, 51, 322
    2. Median: 50
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 322.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 50 passt besser
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 29, 17, 10, 28, 196. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. 196 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 280 : 5 = 56
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 196, Mittelwert 56 statt 21
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 39, 42, 308, 45, 43, 51. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 88 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 39, 42, 43, 45, 51, 308
    2. Median: 44
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 308.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 44 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 305 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 260, 335, 367, 246. Welches Ergebnis fehlt?
bisher240260280300320340360380400?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 305 = 1525
  2. Summe der bekannten: 260 + 335 + 367 + 246 = 1208
  3. 1525 − 1208 = 317
  1. Summe aller Werte: 5 · 305 = 1525
  2. Summe der bekannten: 260 + 335 + 367 + 246 = 1208
  3. 1525 − 1208 = 317
Ergebnis:
317 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 12 Treffer. Bekannt sind 17, 15, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
    2. Summe der bekannten: 17 + 15 + 13 = 45
    3. 48 − 45 = 3
    Ergebnis:
    3 Treffer
  2. ●8
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 20 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 18, 25, 19. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher181920212223242526?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 20 = 80
    2. Summe der bekannten: 18 + 25 + 19 = 62
    3. 80 − 62 = 18
    Ergebnis:
    18 Punkte
  3. ★9
    Tim hat die Ergebnisse von 6 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 11 Treffer. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 16, 4, 11, 8, 15. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher4681012141618?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 11 = 66
    2. Summe der bekannten: 16 + 4 + 11 + 8 + 15 = 54
    3. 66 − 54 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 21 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A21 von 50B7 von 10
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 2150 = 0,42
  2. Klasse 6b: 710 = 0,7
  3. 0,7 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 2150 = 0,42
  2. Klasse 6b: 710 = 0,7
  3. 0,7 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6b (0,7)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 30 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 10B30 von 40
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 810 = 0,8
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 810 = 0,8
    2. Klasse 6b: 3040 = 0,75
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord12 von 20Team Süd8 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1220 = 0,6
    2. Team Süd: 840 = 0,2
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,6)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 18 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A18 von 50B7 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1850 = 0,36
    2. Schule am See: 720 = 0,35
    3. 0,36 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,36)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
AG jaAG neingesamtKlasse 591019Klasse 6?410gesamt151429
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6: zusammen 10.
  2. 10 − 4 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 9 = 15
  1. Zeile Klasse 6: zusammen 10.
  2. 10 − 4 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 9 = 15
Ergebnis:
6

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht
52 − 27 = 35
So richtig
52 − 27: 12 − 7 = 5, 4 − 2 = 2 → 25

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a14??Klasse 6b81018gesamt?15?
    So fängst du an:
    Spalte Bus: 15 − 10 = 5
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 15 − 10 = 5
    2. Zeile Klasse 6a: 14 + 5 = 19
    3. Insgesamt: 19 + 18 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 23 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 4 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 40 − 23 = 17
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 17 − 4 = 13
    3. Kontrolle: 9 + 14 + 4 + 13 = 40
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 46 Kinder mit, davon sind 23 Mädchen. 15 Mädchen und 14 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 46 − 23 = 23
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 23 − 14 = 9
    3. Kontrolle: 15 + 8 + 14 + 9 = 46
    Ergebnis:
    9

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer21637197
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 197 : 500 = 0,394
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 197 : 500 = 0,394
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
Ergebnis:
Nein, eher 0,394

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer42239205
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 205 : 500 = 0,41
    Ergebnis:
    0,41
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21827151
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 27 : 100 = 0,27
    Ergebnis:
    0,27
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer42579390
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 390 : 1000 = 0,39
    Ergebnis:
    0,39

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 3 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 3: 1 und 3; 3 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Ben gewinnt 2-mal so oft.
    4. Mila braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 43, 22, 58, 13, 39. Gruppe Falken: 45, 13, 29, 15, 58. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 43 + 22 + 58 + 13 + 39 = 175, 175 : 5 = 35
    2. Gruppe Falken: 45 + 13 + 29 + 15 + 58 = 160, 160 : 5 = 32
    3. 35 ist mehr als 32.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (35 min gegen 32 min)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 10, 11, 12, 5, 7. Jungen: 8, 9, 9, 9, 10. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen56789101112
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 45 : 5 = 9
    2. Mädchen: 12 − 5 = 7
    3. Jungen: 10 − 8 = 2
    4. Die Werte von Jungen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 2 gegen 7)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 38, 37, 59, 336, 30. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 100 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 30, 37, 38, 59, 336
    2. Median: 38
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 336.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 38 passt besser
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 27, 9, 22, 8. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
    2. Summe der bekannten: 27 + 9 + 22 + 8 = 66
    3. 95 − 66 = 29
    Ergebnis:
    29 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 11-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord11 von 40Team Süd7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1140 = 0,275
    2. Team Süd: 710 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,7)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 100 Kinder. 70 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 70100
    2. Gekürzt: 70100 = 710
    3. Als Dezimalzahl: 70 : 100 = 0,7
    Ergebnis:
    710 = 0,7

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 30, 20, 6, 20, 34. Gruppe Falken: 9, 19, 16, 7, 39. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 20 gegen 16)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 13, 26, 14, 165, 27. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (26 statt 49)

  3. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    33
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer41827152
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,36

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (330 cm gegen 308 cm)
  2. Team Nord (315 cm gegen 313 cm)
  3. Team Süd (Median 21,5 gegen 16)
  4. Nein, der Median 50 passt besser
  5. Ausreißer 196, Mittelwert 56 statt 21
  6. Nein, der Median 44 passt besser
  7. 3 Treffer
  8. 18 Punkte
  9. 12 Treffer
  10. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  11. Team Nord (0,6)
  12. Schule am Park (0,36)
  13. 37
  14. 13
  15. 9
  16. 0,41
  17. 0,27
  18. 0,39
  19. 19
  20. 5 Ergebnisse
  21. 2 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. 2 Punkte
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Gruppe Adler (35 min gegen 32 min)
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 2 gegen 7)
  27. Nein, der Median 38 passt besser
  28. 29 Punkte
  29. Team Süd (0,7)
  30. 710 = 0,7
  31. Gruppe Adler (Median 20 gegen 16)
  32. Median (26 statt 49)
  33. 0,36
  34. fair (18 zu 18)
  35. x̄ = 6
  36. Median 11; Spannweite 15