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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 9, 7, 11, 9, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,4
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 2, 11, 4, 9, 4. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 4, 4, 9, 11
    2. Median = mittlerer Wert = 4
    3. Spannweite = 11 − 2 = 9
    Ergebnis:
    Median 4; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 327, 382, 256, 303, 332. Gruppe Falken: 326, 256, 377, 248, 373. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 256, 303, 327, 332, 382, Median 327
  2. Gruppe Falken geordnet: 248, 256, 326, 373, 377, Median 326
  3. 327 ist mehr als 326.
  1. Gruppe Adler geordnet: 256, 303, 327, 332, 382, Median 327
  2. Gruppe Falken geordnet: 248, 256, 326, 373, 377, Median 326
  3. 327 ist mehr als 326.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 327 gegen 326)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 15, 29, 11, 13, 12. Gruppe Falken: 10, 15, 8, 27, 25. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 15 + 29 + 11 + 13 + 12 = 80, 80 : 5 = 16
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 15 + 29 + 11 + 13 + 12 = 80, 80 : 5 = 16
    2. Gruppe Falken: 10 + 15 + 8 + 27 + 25 = 85, 85 : 5 = 17
    3. 17 − 16 = 1
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 1 Punkte
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 27, 30, 38, 18, 17. Gruppe Falken: 13, 21, 35, 10, 21. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 17, 18, 27, 30, 38, Median 27
    2. Gruppe Falken geordnet: 10, 13, 21, 21, 35, Median 21
    3. 27 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 27 gegen 21)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 29, 14, 27, 9, 21. Jungen: 27, 13, 36, 13, 36. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 9, 14, 21, 27, 29, Median 21
    2. Jungen geordnet: 13, 13, 27, 36, 36, Median 27
    3. 27 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 27 gegen 21)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 41, 6, 5, 8. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte51015202530354045
Schritt für Schritt
  1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 9, 41, 8, 2. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte051015202530354045
    So fängst du an:
    Geordnet: 2, 5, 8, 9, 41
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 5, 8, 9, 41
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 41.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 7, 9, 4, 4, 36. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 4, 7, 9, 36
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 36.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 59, 2, 2, 9, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 2, 6, 6, 9, 59
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 59.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 20 Punkte. Bekannt sind 16, 29, 20, 17. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
  2. Summe der bekannten: 16 + 29 + 20 + 17 = 82
  3. 100 − 82 = 18
  1. Summe aller Werte: 5 · 20 = 100
  2. Summe der bekannten: 16 + 29 + 20 + 17 = 82
  3. 100 − 82 = 18
Ergebnis:
18 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 42 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 39, 30, 47. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher303540455055?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
    2. Summe der bekannten: 39 + 30 + 47 = 116
    3. 168 − 116 = 52
    Ergebnis:
    52 min
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 318 cm. Bekannt sind 346, 272, 278, 304. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 318 = 1590
    2. Summe der bekannten: 346 + 272 + 278 + 304 = 1200
    3. 1590 − 1200 = 390
    Ergebnis:
    390 cm
  3. ★9
    Aylin hat in 3 Spielen im Mittel 11 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 12 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 3 · 11 = 33
    2. Summe nachher: 4 · 12 = 48
    3. 48 − 33 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 8 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A8 von 40B8 von 10
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 840 = 0,2
  2. Schule am See: 810 = 0,8
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 840 = 0,2
  2. Schule am See: 810 = 0,8
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 22-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord8 von 10Team Süd22 von 40
    So fängst du an:
    Team Nord: 810 = 0,8
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 810 = 0,8
    2. Team Süd: 2240 = 0,55
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,8)
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 12 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 50B8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1250 = 0,24
    2. Klasse 6b: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 8 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 10B19 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 810 = 0,8
    2. Schule am See: 1925 = 0,76
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 23 Kinder mit, davon sind 13 Mädchen. 9 Mädchen und 7 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 23 − 13 = 10
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 10 − 7 = 3
  3. Kontrolle: 9 + 4 + 7 + 3 = 23
  1. Jungen: 23 − 13 = 10
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 10 − 7 = 3
  3. Kontrolle: 9 + 4 + 7 + 3 = 23
Ergebnis:
3

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?1226Klasse 6b111021gesamt252247
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6a: zusammen 26.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 26.
    2. 26 − 12 = 14
    3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 11 = 25
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 14 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 13 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 40 − 14 = 26
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 26 − 13 = 13
    3. Kontrolle: 9 + 5 + 13 + 13 = 40
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Haustierkein TiergesamtMädchen15520Jungen358gesamt181028
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 1520 = 0,75
    2. Jungen: 38 = 0,375
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Mädchen (0,75)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer171581
Schritt für Schritt
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 81 : 500 = 0,162
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
  1. 1 : 10 = 0,1
  2. 81 : 500 = 0,162
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,16.
Ergebnis:
Nein, eher 0,162

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer22234176
    So fängst du an:
    2 : 10 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 34 : 100 = 0,34
    3. 176 : 500 = 0,352
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,352
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer191884
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 18 : 100 = 0,18
    3. 84 : 500 = 0,168
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,168
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer41573351
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 351 : 1000 = 0,351
    Ergebnis:
    0,351

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 2? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 2: 1 und 1
    3. 1 von 36, also 136 = 136
    Ergebnis:
    136

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 39, 18, 12, 25, 56. Jungen: 10, 24, 22, 44, 45. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 12, 18, 25, 39, 56, Median 25
    2. Jungen geordnet: 10, 22, 24, 44, 45, Median 24
    3. 25 ist mehr als 24.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 25 gegen 24)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 8, 12, 10, 7, 8. Team Süd: 11, 10, 9, 8, 7. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd789101112
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 45 : 5 = 9
    2. Team Nord: 12 − 7 = 5
    3. Team Süd: 11 − 7 = 4
    4. Die Werte von Team Süd liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 5)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 19, 15, 198, 23. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 54 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 15, 15, 19, 23, 198
    2. Median: 19
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 198.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 19 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Kopfrechentests ist 21 Punkte. Bekannt sind 25, 17, 18, 24. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 21 = 105
    2. Summe der bekannten: 25 + 17 + 18 + 24 = 84
    3. 105 − 84 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord13 von 50Team Süd6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1350 = 0,26
    2. Team Süd: 610 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 15 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1520
    2. Gekürzt: 1520 = 34
    3. Als Dezimalzahl: 15 : 20 = 0,75
    Ergebnis:
    34 = 0,75

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 262, 351, 246, 371, 345. Team Süd: 308, 376, 384, 321, 266. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 345 gegen 321)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 30, 21, 19, 18, 162. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 162, Mittelwert 50 statt 22

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila möchte bei 4 Kopfrechentests im Mittel genau 19 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 24, 17, 27. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher1618202224262830?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 20 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord18 von 40Team Süd15 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen13619Jungen14?19gesamt271138
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken, um 1 Punkte
  2. Gruppe Adler (Median 27 gegen 21)
  3. Jungen (Median 27 gegen 21)
  4. Nein, der Median 8 passt besser
  5. Nein, der Median 7 passt besser
  6. Nein, der Median 6 passt besser
  7. 52 min
  8. 390 cm
  9. 15 Punkte
  10. Team Nord (0,8)
  11. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  12. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  13. 14
  14. 13
  15. Mädchen (0,75)
  16. 0,352
  17. 0,168
  18. 0,351
  19. 112
  20. 2 Ergebnisse
  21. 136
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  24. fair (18 zu 18)
  25. Mädchen (Median 25 gegen 24)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 5)
  27. Nein, der Median 19 passt besser
  28. 21 Punkte
  29. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  30. 34 = 0,75
  31. Team Nord (Median 345 gegen 321)
  32. Ausreißer 162, Mittelwert 50 statt 22
  33. 8 Punkte
  34. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  35. 5
  36. fair (3 zu 3)
  37. x̄ = 8,4
  38. Median 4; Spannweite 9