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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 12, 13, 11, 14, 1. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,2
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 7, 4, 16, 15. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 7, 10, 15, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 16 − 4 = 12
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 285, 279, 268, 383, 300. Gruppe Falken: 342, 301, 308, 325, 374. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 285 + 279 + 268 + 383 + 300 = 1515, 1515 : 5 = 303
  2. Gruppe Falken: 342 + 301 + 308 + 325 + 374 = 1650, 1650 : 5 = 330
  3. 330 − 303 = 27
  1. Gruppe Adler: 285 + 279 + 268 + 383 + 300 = 1515, 1515 : 5 = 303
  2. Gruppe Falken: 342 + 301 + 308 + 325 + 374 = 1650, 1650 : 5 = 330
  3. 330 − 303 = 27
Ergebnis:
Gruppe Falken, um 27 cm

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 380, 283, 260, 284, 258. Gruppe Falken: 268, 364, 347, 287, 349. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 380 + 283 + 260 + 284 + 258 = 1465, 1465 : 5 = 293
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 380 + 283 + 260 + 284 + 258 = 1465, 1465 : 5 = 293
    2. Gruppe Falken: 268 + 364 + 347 + 287 + 349 = 1615, 1615 : 5 = 323
    3. 323 − 293 = 30
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 30 cm
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 7, 13, 16, 8, 11. Team Süd: 5, 14, 10, 3, 13. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd246810121416
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 7 + 13 + 16 + 8 + 11 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Team Süd: 5 + 14 + 10 + 3 + 13 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 11 − 9 = 2
    Ergebnis:
    Team Nord, um 2 Treffer
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 19, 12, 16, 19, 39. Jungen: 11, 36, 16, 25, 11, 39. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 19 + 12 + 16 + 19 + 39 = 105, 105 : 5 = 21
    2. Jungen: 11 + 36 + 16 + 25 + 11 + 39 = 138, 138 : 6 = 23
    3. 23 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Jungen (23 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 51, 3, 6, 9, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
  2. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 51, Median 6
  3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
  2. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 51, Median 6
  3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (6 statt 15)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 21, 19, 24, 239, 12. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 63 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Geordnet: 12, 19, 21, 24, 239
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 12, 19, 21, 24, 239
    2. Median: 21
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 239.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 21 passt besser
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 34, 53, 292, 25, 36. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 440 : 5 = 88
    2. Geordnet: 25, 34, 36, 53, 292, Median 36
    3. Der Wert 292 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (36 statt 88)
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 23, 47, 45, 29, 56, 286. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. 286 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 486 : 6 = 81
    3. Ohne ihn: 200 : 5 = 40
    Ergebnis:
    Ausreißer 286, Mittelwert 81 statt 40

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 12, 25, 22, 8. Welches Ergebnis fehlt?
bisher51015202530?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
  2. Summe der bekannten: 12 + 25 + 22 + 8 = 67
  3. 95 − 67 = 28
  1. Summe aller Werte: 5 · 19 = 95
  2. Summe der bekannten: 12 + 25 + 22 + 8 = 67
  3. 95 − 67 = 28
Ergebnis:
28 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 338 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 314, 332, 385, 351. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher310320330340350360370380390400?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 338 = 1690
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 338 = 1690
    2. Summe der bekannten: 314 + 332 + 385 + 351 = 1382
    3. 1690 − 1382 = 308
    Ergebnis:
    308 cm
  2. ●8
    Mila hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 10, 10, 6, 7. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher67891011?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
    2. Summe der bekannten: 10 + 10 + 6 + 7 = 33
    3. 50 − 33 = 17
    Ergebnis:
    17 Treffer
  3. ★9
    Noah hat in 3 Spielen im Mittel 13 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 16 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 3 · 13 = 39
    2. Summe nachher: 4 · 16 = 64
    3. 64 − 39 = 25
    Ergebnis:
    25 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 38 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 7 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A38 von 50B7 von 20
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 3850 = 0,76
  2. Schule am See: 720 = 0,35
  3. 0,76 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 3850 = 0,76
  2. Schule am See: 720 = 0,35
  3. 0,76 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am Park (0,76)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 17 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 28 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A17 von 25B28 von 50
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1725 = 0,68
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1725 = 0,68
    2. Fußball-AG: 2850 = 0,56
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 9 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 17 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A9 von 25B17 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 925 = 0,36
    2. Klasse 6b: 1750 = 0,34
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 32 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 39 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A32 von 40B39 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 3240 = 0,8
    2. Schule am See: 3950 = 0,78
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 28 Kinder mit, davon sind 8 Kinder der Klasse 6a. 5 Kinder der Klasse 6a und 13 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 28 − 8 = 20
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 13 = 7
  3. Kontrolle: 5 + 3 + 13 + 7 = 28
  1. Kinder der Klasse 6b: 28 − 8 = 20
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 13 = 7
  3. Kontrolle: 5 + 3 + 13 + 7 = 28
Ergebnis:
7

AchtungZwischenergebnis statt der gefragten Größe

So nicht
Zinsen 52,50 €, Guthaben? → 52,50 €
So richtig
Zinsen 52,50 €, Guthaben → 1.500 € + 52,50 € = 1.552,50 €

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter, bis genau das dasteht.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 59312Klasse 611?18gesamt201030
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6: zusammen 18.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 18.
    2. 18 − 11 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 3 = 10
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 14 Kinder aus Klasse 5. 5 Kinder aus Klasse 5 und 14 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 42 − 14 = 28
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 28 − 14 = 14
    3. Kontrolle: 5 + 9 + 14 + 14 = 42
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 521425Klasse 618220gesamt39645
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 2125 = 0,84
    2. Klasse 6: 1820 = 0,9
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6 (0,9)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer51933152
Schritt für Schritt
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 33 : 100 = 0,33
  3. 152 : 500 = 0,304
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 33 : 100 = 0,33
  3. 152 : 500 = 0,304
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,304

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer11330154
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 13 : 50 = 0,26
    Ergebnis:
    0,26
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41935177
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 35 : 100 = 0,35
    3. 177 : 500 = 0,354
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,354
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer41582407
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 407 : 1000 = 0,407
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,41.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,407

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Ben bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 5, 16, 5, 10, 9. Team Süd: 13, 11, 16, 16, 4. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd46810121416
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 5 + 16 + 5 + 10 + 9 = 45, 45 : 5 = 9
    2. Team Süd: 13 + 11 + 16 + 16 + 4 = 60, 60 : 5 = 12
    3. 12 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    Team Süd (12 Treffer gegen 9 Treffer)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 25, 27, 24, 25, 29. Jungen: 33, 37, 31, 17, 12. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 29 − 24 = 5
    2. Jungen: 37 − 12 = 25
    3. Die kleinere Spannweite hat Mädchen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 25)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 7, 4, 8, 41. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
    2. Geordnet: 4, 5, 7, 8, 41, Median 7
    3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 13)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 312 cm. Bekannt sind 303, 361, 292. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 312 = 1248
    2. Summe der bekannten: 303 + 361 + 292 = 956
    3. 1248 − 956 = 292
    Ergebnis:
    292 cm
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 24-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 20-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord24 von 50Team Süd20 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 2450 = 0,48
    2. Team Süd: 2040 = 0,5
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 100 Kinder. 42 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 42100
    2. Gekürzt: 42100 = 2150
    3. Als Dezimalzahl: 42 : 100 = 0,42
    Ergebnis:
    2150 = 0,42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 298, 309, 275, 308, 325. Team Süd: 283, 251, 336, 255, 340. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 308 gegen 283)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 12, 244, 27, 13, 24. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 244, Mittelwert 64 statt 19

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 22 Punkte. Bekannt sind 17, 17, 28. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Theater-AG haben 35 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 25 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A35 von 50B5 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,7)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a14721Klasse 6b15?23gesamt291544
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer272084
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,168

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken, um 30 cm
  2. Team Nord, um 2 Treffer
  3. Jungen (23 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  4. Nein, der Median 21 passt besser
  5. Median (36 statt 88)
  6. Ausreißer 286, Mittelwert 81 statt 40
  7. 308 cm
  8. 17 Treffer
  9. 25 Punkte
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  12. Schule am Park (0,8)
  13. 7
  14. 14
  15. Klasse 6 (0,9)
  16. 0,26
  17. 0,354
  18. Nein, eher 0,407
  19. 4 Ergebnisse
  20. 5 Ergebnisse
  21. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  22. fair (15 zu 15)
  23. 2 Punkte
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Team Süd (12 Treffer gegen 9 Treffer)
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 5 gegen 25)
  27. Median (7 statt 13)
  28. 292 cm
  29. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  30. 2150 = 0,42
  31. Team Nord (Median 308 gegen 283)
  32. Ausreißer 244, Mittelwert 64 statt 19
  33. 26 Punkte
  34. Theater-AG (0,7)
  35. 8
  36. 0,168
  37. fair (15 zu 15)
  38. x̄ = 10,2
  39. Median 10; Spannweite 12